Начертательная геометрия

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
В. В. Дергач, И. Г. Борисенко, А. К. Толстихин  
 
 
 
 
 
 
НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ  
ГЕОМЕТРИЯ 
 
 
Рекомендовано Федеральным государственным бюджетным образовательным учреждением высшего профессионального образования «Московский государственный 
технологический университет «СТАНКИН» в качестве 
учебника для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по направлениям подготовки в области 
техники и технологии (рег. № 133/501 от 06.11.2013)  
 
7-е издание, переработанное и дополненное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2014 

УДК 514.18(07) 
ББК 22.15я73 
        Д36 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
И. И. Астапкович, канд. техн. наук, доц., зав. кафедрой инженерной 
графики СибГТУ; 
Г. В. Ефремов, доц., зав. кафедрой инженерной графики СибГАУ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Дергач, В. В. 
Д36            Начертательная геометрия : учеб. / В. В. Дергач, И. Г. Борисенко, А. К. Толстихин. – 7-е изд., перераб. и доп. – Красноярск : Сиб. 
федер. ун-т, 2014. – 260 с. 
ISBN 978-5-7638-2982-2 
 
Изложены основные методы проецирования, позволяющие строить изображения пространственных геометрических образов на плоскости. Рассмотрены способы решения позиционных и метрических задач, имеющих практическое 
значение. 
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям подготовки 
в области техники и технологии. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
        http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 514.18(07) 
ББК 22.15я73 
 
ISBN 978-5-7638-2982-2                                                             © Сибирский федеральный  
                                                                                                           университет, 2014 

ВВЕДЕНИЕ 
 
 
В начертательной геометрии под геометрическим телом понимают предмет, лишенный всех свойств, кроме пространственных. Поэтому точка рассматривается как тело, лишенное размеров, линия – 
тело, лишенное толщины и ширины, а поверхность – часть тела, мысленно отделенная от него и лишенная толщины. След, оставляемый  при 
движении точки в пространстве, образует линию, а линия при ее движении формирует поверхность, которая, в свою очередь формирует тело. 
В природе нет геометрических точек, линий и поверхностей,             
но все их геометрические свойства находят применение при изучении 
и проектировании тех или иных объектов. Изучение геометрических 
свойств в чистом виде является основной задачей дисциплины «Начертательная геометрия», рассматривающей геометрические модели, 
в отличие от математических, которые отображаются в виде формул, 
описывающих основные свойства объекта, и физических моделей. 
Начертательная геометрия – область науки и техники, занимающаяся разработкой научных основ построения и исследования 
геометрических моделей проектируемых инженерных объектов              
и процессов и их графического отображения. Задачи этой науки – 
создание оптимальных геометрических форм объектов машиностроения, архитектуры и строительства, разработка геометрических основ 
их воспроизведения в процессе производства, оптимизация технологических процессов на основе их геометрических моделей, разработка 
теории графического отображения объектов и процессов при их проектировании в промышленности и строительстве. 
Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в котором пространственные формы (совокупности точек,         
линий, поверхностей) с геометрическими закономерностями изучаются 
в виде их изображений на плоскости. 
В процессе изучения начертательной геометрии приходит умение изображать всевозможные сочетания геометрических форм              
на плоскости, решать позиционные и метрические задачи, производить исследования геометрических образов по их изображениям. 
Начертательную геометрию называют «грамматикой языка техники». Кроме того, она по своему содержанию и методам занимает 

особое положение среди других наук. Наглядность и простота решения многих задач не только обогащают точные науки, но и помогают 
тем, кто занимается изобразительным искусством (художникам, архитекторам, скульпторам) в создании их произведений. Художнику               
и архитектору знания по начертательной геометрии нужны для построения перспективы предметов, т. е. для изображения предметов 
такими, какими они представляются в действительности нашему глазу. Скульптору они нужны для определения очертания ваяния, которое создается из куска камня, дерева, глины и т. п. 
В инженерной практике мы часто встречаемся с геометрическими моделями в виде чертежей, которые являются средством общения 
людей в их производственной деятельности. 
Словесное описание не может заменить чертежа, построенного 
по определенным геометрическим правилам. Начертательная геометрия – наилучшее средство развития у человека пространственного воображения, без которого немыслимо никакое техническое творчество. 
Без живой силы воображения и наглядности мышления нельзя прийти 
и к абстрактной, математической формулировке проблемы, невозможно вывести понятия, а тем более осуществить экспериментальные 
исследования на практике. 
При использовании систем автоматизированного проектирования основной проблемой является математическое описание геометрических форм рассматриваемых объектов. На качестве проектируемых технических объектов в значительной степени будут сказываться 
знания и умение использовать геометрические закономерности. 
В математических науках вопросы теории геометрических форм 
сопровождаются реальным и конкретным их представлением. Решая 
математические задачи в графическом изложении, начертательная 
геометрия находит применение в физике, астрономии, химии, механике, кристаллографии и многих других науках. Методы начертательной геометрии служат связующим звеном между прикладной         
математической наукой и профессиональными техническими дисциплинами. 
 
 
 
 
 
 

1. ОСНОВНЫЕ   
ПОНЯТИЯ  И  ПОЛОЖЕНИЯ 
 
В начертательной геометрии, как и в любой другой области математики, для упрощения записи условий и решения задач принята 
система условных обозначений элементов и действий. Ниже приведены символы и условные обозначения, используемые в процессе изучения дисциплины. 
 
 
1.1. Обозначения и символика 
 
При изучении дисциплины необходимо знать специальные символы и знаки, обозначающие те или иные геометрические элементы 
или понятия. Это позволяет кратко записывать геометрические положения, алгоритмы решения задач и доказательства теорем. 
Приведем условные обозначения объектов и действий, которые 
будут использоваться в данном курсе при изучении теоретического 
материала и записи алгоритмов решения задач. 
1. Геометрическая фигура – Ф.  
2. Точки – прописные буквы латинского алфавита или арабские 
цифры 
A, B, C, D, … или 1, 2, 3, 4, … . 
3. Линии, произвольно расположенные в пространстве по отношению к плоскостям проекций: 
a, b, c, d, … . 
Линии уровня: h – горизонталь;  f – фронталь;  р – профильная 
прямая линия уровня. 
Кроме того, прямые линии обозначаются так: 
 (АВ) – прямая, проходящая через точки А и В; 
 [AB) – луч с началом в точке А; 
 [AB] – отрезок прямой, ограниченный точками А и В; 
 |АВ| – расстояние от точки А до точки В (длина отрезка АВ); 
 |Аа| – расстояние от точки А до прямой линии а; 
 |АФ| – расстояние от точки А до плоскости Ф; 
 |ΣΩ| – расстояние между плоскостями Σ и Ω. 

4. Углы обозначают как α, β, γ, … , α, β, γ,  а также АВС – 
угол с вершиной в точке В.  
5. Поверхности обозначают строчными буквами греческого           
алфавита: α, β, γ, δ, … . 
Для описания способа задания поверхности указывают геометрические элементы, которыми она определяется, например: 
α (a ׀׀ b) – плоскость a задана двумя параллельными прямыми              
a и b; 
Ф (g, i) – поверхность определяется образующей g и осью вращения i. 
6. Центр и направление проецирования – S и S

 соответственно. 
Плоскости проекций обозначают греческой буквой П (), причем: 
П1, 1 – горизонтальная плоскость проекций x0y; 
П2, 2 – фронтальная плоскость проекций x0z; 
П3, 3 – профильная плоскость проекций y0z. 
При замене плоскостей проекций или введении новых плоскостей их обозначают как  4, 5 и т. д. 
Оси проекций: x – ось абсцисс; y – ось ординат; z – ось аппликат. 
7. Координаты точек  А, В, … обозначают как xA, yA, zA, xB, yB, zB, …  
8. Проекции точек, линий, поверхностей, любой геометрической 
фигуры обозначают теми же буквами (или цифрами), что и оригинал, 
с добавлением нижнего индекса, соответствующего плоскости проекции, на которой они получены: 
А1, В1, С1, … – горизонтальные проекции точек; 
А2, В2, С2, … – фронтальные проекции точек; 
Аn, Bn, Cn, … – проекции точек на дополнительную (n-ю) плоскость проекций; 
a1, b1, c1, … – горизонтальные проекции линий; 
a2, b2, c2, … – фронтальные проекции линий;  
an, bn, cn, … – проекции линий на дополнительную (n-ю) плоскость проекций. 
Символы, отражающие отношения между геометрическими фигурами, следующие: 
= – результат действия, знак равенства, например: |AB| = |CD| – 
длины отрезков АВ и CD равны; 
 – совпадение, тождество, например:  А1  В1 – горизонтальные 
проекции точек А и В  совпадают; 
 – конгруэнтность (отношение эквивалентности на множестве 
геометрических фигур); 

 – перпендикулярность; 
Õ – параллельность; 
æ – скрещивание; 
, ∩ – пересечение; 
 – импликация (логическое следствие). Например, а  b означает, что «если есть а, то есть и b, или из а следует b»; 
,  – принадлежность: например, А  а – точка А принадлежит 
прямой а; А  а – прямая а проходит через точку А; 
∞ – подобие; 
,  – включение (содержит в себе), например: Ω  а – плоскость Ω проходит через прямую а; а  Ω – прямая а принадлежит 
плоскости Ω; 
 – объединение множеств. Так, ABCD = [AB]  [BC]  [CD] – 
ломаная ABCD состоит из отрезков АВ, ВС, СD; 
, ,  – отрицание. Например, А  а – точка А не принадлежит 
прямой а, или прямая а не проходит через точку А; 
 – конъюнкция предложений, соответствует союзу «и»; 
 – дизъюнкция предложений, соответствует союзу «или»; 
 – квантор общности, читается так: «для всех, для любого». Выражение (х)Р(х) означает – «для всякого х имеет место свойство Р(х)»; 
 – квантор существования, читается так: «существует». Выражение (х)Р(х) означает – «существует х, обладающее свойством Р(х)»; 
1 – квантор единственности существования, читается так: «существует единственное (-я, -й) … ». Выражение (1х)(Рх) означает: 
существует единственное (только одно) х, обладающее свойством Р(х); 

 
Px  – отрицание высказывания (Рх). Например, аæb  ( 
 )          
(α   a, b). Если прямые а и b скрещиваются, то не существует плоскости α, которая содержит их; 
\ – отрицание знака. 
 
 
1.2. Свойства евклидова пространства  
и его реконструкция 
 
Изображение предмета на какой-либо поверхности можно получить путем проецирования его на данную поверхность. При этом 
предполагается, что основные свойства трехмерного пространства 
могут быть выражены следующими положениями. 

плоск

2

же и т
крайн

3

прина

4

плоск

П

полож

5

лежат
две пр

6

надлеж
пересе

1. Если 
кости α, т

2. Две ра
только о
ней мере, 

Р

3. Три ра
адлежат о

( A, B, C

4. Если д
кости α, т

(

Помимо 
жения, ка
5. Две пр
ть (рис. 1
рямые ли

6. Две пл
жать (ри
екаются,

точка А 
то точка А

азличные
одной пря

две точк

 ( A

Рис. 1.1 

азличные 
одной и т

C) (A ≠ B

две точки
то прямая

A, B)(A ≠

указанн

асающиес
рямые, п
.5, а) или
ибо перес

( а, b)(a

лоскости
с. 1.6, б) 
, либо пар

( α

принадл
А принад

А  а

е точки А
ямой а (
ки А и В)

A, B)(A ≠

точки А, 
той же и 

B ≠ C)  (A

и А и В, п
я а прина

≠ B)(А, В

ных свой
ся аксиом
принадлеж
и не прин
секаются

a ≠ b)(a, b

и могут п
одной и 
раллельн

α, β)(α ≠ β

8 

лежит пр
длежит п

а    А

А и В вс
(или каж
 (рис. 1.2

≠ B)  (

В и С, не
только о

A, B, C 

принадле
адлежит 

В  a)  (А

йств, мож
мы парал
жащие о
надлежат
я, либо па

b  α) 

принадле
той же п
ны: 

β)  (α ∩

рямой а,
лоскости

А  α. 

сегда при
дой прям
2): 

1a)(a  A

е принадл
одной пло

 a)  (

ежащие п
плоскост

А, В  α)

жно доб
ллельнос
дной пло
ть (рис. 1
араллель

 (a ∩ b) 

ежать (ри
прямой, т

∩ β)  (α

 которая
и α (рис. 

инадлежа
мой а пр

A, B). 

 

Рис. 1.2

лежащие 
оскости 

1 α)(α  (

прямой а
ти α (рис

)  (a  

бавить сл
сти. 
оскости, 
1.5, б) одн
ьны: 

 (a ׀׀ b)

ис. 1.6, а
т. е. две п

׀׀β). 

я принад
1.1):  

ат одной 
ринадлеж

2 

одной пр
(рис. 1.3)

(A, B, C))

а, принад
с. 1.4): 

α). 

ледующи

могут пр
ной точк

. 

а) или н
плоскости

длежит 

и той 

жат, по 

рямой, 
): 

). 

длежат 

ие три 

ринадке, т. е. 

е прии либо 

Рис. 1.3 

а 

а 

9 

Рис. 1.5

Рис. 1.6

Рис. 1.4

б 

б 

4