Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Модели и критерии механики разрушения

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 080634.01.01
В монографии изложены современные представления о моделях и критериях физики и механики повреждений и разрушения твердых тел при наличии трещин в условиях воздействия различных видов нагружения, а также принципы анализа и обоснования безопасности и живучести технических систем в сильно поврежденных состояниях. В рамках механики усталостного и контактного разрушения, динамической, экспериментальной и вычислительной механики разрушения, механики трещин при ползучести и воздействии коррозионных сред рассмотрены особенности моделей и критериев физики и механики трещин в твердых телах. Использование основных теоретических положений и критериев механики трещин проиллюстрировано практическими примерами.Для студентов старших курсов, магистров и аспирантов технических университетов, а также научных и инженерно-технических работников, интересующихся проблемами прочности и разрушения, безопасности, живучести и ресурса технических систем.
Матвиенко, Ю. Г. Модели и критерии механики разрушения: монография / Ю. Г. Матвиенко. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2006. - 328 с. - ISBN 5-9221-0669-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/120750 (дата обращения: 24.06.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
УДК 539.3, 539.4
ББК 22.251
М 33

М а т в и е н к о Ю. Г.
Модели и критерии механики разрушения. —
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 328 с. — ISBN 5-9221-0669-4.
В монографии изложены современные представления о моделях и критериях физики и механики повреждений и разрушения твердых тел при наличии
трещин в условиях воздействия различных видов нагружения, а также принципы анализа и обоснования безопасности и живучести технических систем
в сильно поврежденных состояниях.
В рамках механики усталостного и контактного разрушения, динамической,
экспериментальной и вычислительной механики разрушения, механики трещин
при ползучести и воздействии коррозионных сред рассмотрены особенности
моделей и критериев физики и механики трещин в твердых телах. Использование основных теоретических положений и критериев механики трещин
проиллюстрировано практическими примерами.
Для студентов старших курсов, магистров и аспирантов технических университетов, а также научных и инженерно-технических работников, интересующихся проблемами прочности и разрушения, безопасности, живучести
и ресурса технических систем.

Рекомендовано к печати Ученым советом Института машиноведения
им. А.А. Благонравова РАН и Научным советом РАН по проблеме
«Надежность, ресурс и безопасность технических систем»
Р е ц е н з е н т ы
чл.-корр. РАН Махутов Н.А. (ИМАШ РАН), профессор Морозов Е.М.
(МИФИ)

Научное издание

МАТВИЕНКО Юрий Григорьевич

МОДЕЛИ И КРИТЕРИИ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: Е.А. Королева
Оформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 24.01.06. Формат 6090/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 20,5. Уч.-изд. л. 24,6. Тираж 1000 экз. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

ISBN 5-9221-0669-4

ISBN 5-9221-0669-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ Ю. Г. Матвиенко, 2006

СОДЕРЖАНИЕ

Г л а в а 1.
Физика и механика микроразрушений . . . . . . . . .
7
§ 1.1. Виды связей и тепловое движение частиц в твердых телах
7
§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела . . . . . . . . . . . . . .
9
§ 1.3. Пластическая деформация и теоретическая прочность
кристаллов на сдвиг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
§ 1.4. Структура и дефекты кристаллической решетки . . . . . . .
14
§ 1.5. Дислокационные
механизмы
и
критерий
образования
микротрещин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§ 1.6. Микромеханизмы разрушения твердых тел . . . . . . . . . . .
30
§ 1.7. Распространение микроструктурно и физически коротких
усталостных трещин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

Г л а в а 2.
Механика трещин в упругих телах . . . . . . . . . . . .
41
§ 2.1. Напряженное состояние в окрестности вершины трещины
41
§ 2.2. Коэффициент интенсивности напряжений. Приближенные
методы расчета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
§ 2.3. Критерий разрушения механики трещин. Силовой и энергетический критерии разрушения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
§ 2.4. Поток упругой энергии в вершину трещины . . . . . . . . . .
56
§ 2.5. Поправка Ирвина. Зона пластической деформации . . . . . .
59

Г л а в а 3.
Механика трещин в упругопластических телах. . .
63
§ 3.1. Критерий критического раскрытия в вершине трещины . .
63
§ 3.2. Энергетический контурный J-интеграл . . . . . . . . . . . . . .
66
§ 3.3. Коэффициент интенсивности деформаций в пластической
области. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
§ 3.4. Двухпараметрические критерии разрушения. Диаграмма
трещиностойкости тела с трещиной и надрезом . . . . . . . . . .
91
§ 3.5. Взаимосвязь критериев нелинейной механики разрушения 105
§ 3.6. Устойчивый и неустойчивый рост . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Г л а в а 4.
Специальные задачи механики трещин . . . . . . . . . 112
§ 4.1. Механика усталостного разрушения . . . . . . . . . . . . . . . . 112
§ 4.2. Динамическая механика разрушения . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§ 4.3. Механика контактного разрушения и изнашивания . . . . . 142
§ 4.4. Рост трещин при ползучести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

Содержание

§ 4.5. Механика коррозионного разрушения . . . . . . . . . . . . . . . 165
§ 4.6. Вычислительная механика разрушения . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 4.7. Экспериментальная механика разрушения . . . . . . . . . . . . 182

Г л а в а 5.
Эволюционные модели повреждений и разрушения твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222

§ 5.1. Эволюционный подход в задачах механики трещин . . . . . 222
§ 5.2. Двухпараметрический
J∗
c -критерий
разрушения
тела
с трещиной . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

§ 5.3. Анализ условий зарождения трещин малоцикловой усталости у концентратора напряжений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

§ 5.4. Кинетика водорода в зонах концентрации напряжений при
зарождении и росте трещин . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Г л а в а 6.
Безопасность и живучесть технических систем . . 252
§ 6.1. Механика катастроф . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
§ 6.2. Безопасность, живучесть и ресурс поврежденных технических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
§ 6.3. Безопасные трещиноподобные дефекты в линейной части
магистрального трубопровода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

П р и л о ж е н и е 1. Применение векторного подхода для определения больших пластических деформаций методом делительных сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295
П р и л о ж е н и е 2. Методика фотолитографического нанесения
делительных сеток на поверхность образца . . . . . . . . . . . . . 300

П р и л о ж е н и е 3. Погрешности определения J-интеграла методом делительных сеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Современная механика разрушения твердых тел достигла значительных успехов как в понимании механизмов разрушения, теории
построения моделей и критериев, так и в практике их применения для
оценки прочности. Свидетельством тому являются многотомные справочники и монографии, многие из которых отражены в библиографии
этой книги. Что же заставило автора взяться за написание настоящей
книги и рассмотреть проблемы физики и механики трещин в твердых
телах?
Прежде всего следует отметить не только отсутствие спада, но
и стремительное развитие механики трещин в твердых телах, несмотря на кажущиеся окончательно сформулированными и изложенными
в изданных в нашей стране справочниках и монографиях основы
механики трещин и рекомендации по их применению в расчетах на
прочность. Появляются новые модели и критерии разрушения. Кроме
того, известные монографии не всегда доступны для понимания в силу
перегруженности математическими выкладками и с этой точки зрения
требуют серьезных знаний в сопряженных направлениях физики и механики деформируемого твердого тела, а потому не всегда востребованы широким кругом читателей. При подготовке рукописи автор ставил перед собой задачу, избегая излишних математических выкладок,
представить современные отечественные и зарубежные достижения,
а также собственные оригинальные модели и критерии разрушения
твердых тел, сосредоточив основное внимание на рассмотрении самого
явления, моделей и критериев разрушения, а также проиллюстрировать
практическое применения механики трещин для анализа и обоснования
безопасности и живучести сильно поврежденных технических систем.
Содержание книги условно можно разделить на четыре части.
В первой части (гл. 1) даны представления о физике и механике
микроразрушений твердых тел, позволяющие проанализировать микромеханизмы разрушения, создать модели и сформулировать критерии зарождения и распространения микротрещин, а также физически и микроструктурно коротких усталостных трещин. Вторая часть (гл. 2, 3)
посвящена изложению основ механики хрупкого и упругопластического разрушения, построению моделей и критериев механики разрушения упругопластических тел. В третьей части книги (гл. 4) применение подходов механики разрушения продемонстрировано на примере

Предисловие автора

анализа закономерностей распространения трещин в твердых телах
с учетом специфики экстремальных физико-механических воздействий
и
коррозионно-активных
сред.
На основе
моделей развития
трещин развиты экспериментальные методы определения трещиностойкости материалов, а также методология вычислительного эксперимента. В заключительной части (гл. 5, 6) для решения проблем моделирования повреждений и разрушения твердых тел, а также безопасности
и живучести технических систем в сильно поврежденных состояниях
привлечены современные теоретические положения, принципы и методологические подходы прочности, физики и механики трещин.
Представляется, что последовательность и комплексность изложения основных положений, моделей и критериев механики трещин
в настоящей книге, примеры их практического использования будут способствовать проявлению интереса к дальнейшему развитию
механики трещин в твердых телах и повышению уровня эрудиции
заинтересованного читателя. Хочется также надеяться, что настоящая книга станет настольной не только для студентов, аспирантов,
научных и инженерно-технических работников, начинающих изучать
настоящий предмет, но и для маститых ученых и педагогов. Если
вы захотите связаться с автором, пожалуйста, пишите по адресу:
matvienko7@yahoo.com.
Автор выражает искреннюю признательность своим студентам и аспирантам за помощь в подготовке графического материала.
Исследования, подготовка рукописи и издание монографии осуществлены при финансовой поддержке РФФИ (проект № 05-08-17900-a)
и ООО НТЦ “Диатекс”.

Москва, май 2005 г.
Ю.Г. Матвиенко

Г л а в а 1

ФИЗИКА И МЕХАНИКА МИКРОРАЗРУШЕНИЙ

§ 1.1. Виды связей и тепловое движение частиц
в твердых телах

Виды связей частиц в твердых телах. Существование и прочность твердого тела обусловлены наличием сил взаимодействия между
структурными частицами при сближении их на достаточно малые
расстояния. Такими частицами могут быть атомы, ионы или молекулы. Прочность твердого тела обеспечивается силами притяжения
между частицами. Для возникновения из взаимодействующих частиц
устойчивой структуры твердого тела необходимо, чтобы между ними
возникали не только силы притяжения, но и силы отталкивания,
препятствующие беспредельному сближению частиц и их полному
слиянию. В условиях равновесия частиц вклад в полную энергию их
взаимодействия сил притяжения намного превышает вклад сил отталкивания, которые резко спадают пропорционально экспоненциальному
закону. Поэтому при отсутствии внешних напряжений полная энергия
приблизительно равна энергии притяжения и называется энергией
связи.
Не останавливаясь на природе сил взаимодействия, отметим следующие виды связей частиц в твердых телах, различающиеся по
величине энергии связи: первичные связи (ионная, ковалентная, металлическая), вторичные связи (связь Ван-дер-Ваальса) и водородная связь [29, 46]. Наиболее универсальной является связь Ван-дерВаальса. Она возникает во всех без исключения случаях. Вместе
с тем это наиболее слабая связь с энергией порядка 104 Дж/моль,
характерная для малоустойчивых и легко летучих структур с низкими точками плавления. Ионная связь является типичной химической
связью, широко распространенной среди неорганических соединений.
К таким соединениям относятся интерметаллические соединения, например карбиды и нитриды, а также окислы металлов, сульфиды
и другие полярные соединения. Энергия ионной связи составляет
∼ 106 Дж/моль, что характерно для соединений с высокой точкой
плавления. В некоторых металлах и во многих интерметаллических
соединениях встречается ковалентная связь с энергией ∼ 106 Дж/моль.
Металлическая связь, возникающая в результате обобществления валентных электронов, характерна для типичных металлов и многих
интерметаллических соединений. Энергия этой связи сопоставима с
энергией ковалентной связи. Водородная связь является относительно

Гл. 1. Физика и механика микроразрушений

слабой связью и возникает в результате образования постоянных диполей, обладающих тенденцией к присоединению других электронов в
результате ионного притяжения. В реальных твердых телах, как правило, имеет место сочетание двух и более видов связи, одна из которых
является определяющей для структуры и свойств твердого тела. При
этом энергия связи является важной характеристикой, оказывающей
значительное влияние на деформационное поведение и упругие константы кристаллических твердых тел.

Тепловое движение атомов. Атомы в кристаллических телах
совершают колебательные движения около положений равновесия.
Амплитуда этих колебаний зависит от температуры тела, увеличиваясь с ее ростом. Таким поведением атомов определяются временная
и температурная зависимости процессов деформирования и разрушения твердых тел. Рассмотрим тепловое движение атомов, привлекая
основные положения и формулировки статистической механики [46].
В устойчивом состоянии частицы не обладают постоянной энергией,
имеет место флуктуация этих энергий на фоне некоторой усредненной
энергии частиц. Вероятность того, что частица обладает энергией Ui
большей или равной U, определяется следующим соотношением:

p (Ui ⩾ U) = e−U/kT ,
(1.1.1)

где k = 1,38 · 10−23Дж/К — постоянная Больцмана, T — температура.
В модели атома, представляющей собой простой гармонический
осциллятор, его средняя энергия, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий, равна kT. Поэтому возбуждение колебаний атомов
с частотой ν в кристаллическом теле возникает при некоторой температуре T в соответствии с неравенством

kT ⩾ hν,
(1.1.2)

где h = 6,62 · 10−27 эрг · с — постоянная Планка. При этом, полагая
частоту колебаний решетки кристалла приближенно равной частоте
колебаний отдельного атома, можно записать

ν ≈

Ea0

M/NA
,
(1.1.3)

где E — модуль упругости, a0 — межатомное расстояние, M —
молярная масса, NA = 6,022 · 1023 моль−1 — постоянная Авогадро.
Тепловое движение атомов в узлах кристаллической решетки способствует постепенному изменению состояния. Примером тому служит
испарение атомов с поверхности твердого тела в вакуум. Кинетическая
энергия такого атома должна стать равной энергии связи U0, чтобы
преодолеть взаимодействие с соседними атомами. Вероятность этого

§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела
9

события, т. е. того, что кинетическая энергия атома не меньше требуемой, может быть оценена с помощью выражения (1.1.1). При этом полагаем, что частота смены энергетических состояний кристаллической
решетки будет иметь порядок частоты колебаний решетки, представленной соотношением (1.1.3). Таким образом, с учетом формулы (1.1.1)
выражение для скорости испарения атомов с поверхности, содержащей
N атомов, имеет следующий вид:

dN
dt = Nνe−U0/kT .
(1.1.4)

Приведенные модели теплового движения атомов могут быть распространены и на случаи, когда термическая активация играет основную роль. По аналогии с формулой (1.1.4) скорость активируемого
процесса ˙R запишем в виде

˙R = Naνae−U0/kT ,
(1.1.5)

где Na — число активационных центров, νa и U0 — преобладающая
частота и энергия активации соответственно.

§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела

Независимо от вида сил, возникающих при сближении частиц,
общий характер их остается одинаковым (pис. 1.1): на относительно

Рис. 1.1. Изменение силы взаимодействия между атомами

больших расстояниях появляются силы притяжения, быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния rмежду частицами (кривая 2); на
малых расстояниях возникают силы отталкивания, которые с уменьшением r увеличиваются значительно быстрее, чем силы притяжения
(кривая 3). При этом сила взаимодействия частиц (кривая 1) равна

Гл. 1. Физика и механика микроразрушений

алгебраической сумме силы притяжения и силы отталкивания. На расстоянии r = a0 силы отталкивания уравновешивают силы притяжения
и результирующая сила взаимодействия обращается в нуль, а энергия взаимодействия достигает минимального значения U0. Поэтому
состояние частиц, сближенных на расстояние a0, является состоянием
устойчивого равновесия, вследствие чего частицы, предоставленные
самим себе, должны выстраиваться в строгом порядке на расстоянии a0
друг от друга, образуя тело с правильной внутренней структурой —
кристалл. Частицы кристалла не могут свободно покидать свои положения равновесия, так как при удалении от этих положений энергия
частиц увеличивается и появляются силы, стремящиеся вернуть их в
положения равновесия. Единственной доступной формой движения для
них является беспорядочное колебание около положений равновесия.
Приложенная к совершенному металлическому кристаллу внешняя
растягивающая сила вызывает деформацию удлинения, т. е. увеличение
межатомных расстояний. В результате механическое равновесие между
атомами нарушается и равнодействующая сила становится отличной от
нуля. Изменение силы взаимодействия между двумя изолированными
атомами при удалении их друг от друга выражается изменением равнодействующей. Чтобы оторвать атомы друг от друга, нужно преодолеть максимум силы сцепления, который характеризует теоретическую
прочность σтеор. Сила межатомной связи при отдалении атомов друг
от друга на расстояние x изменяется по кривой, которую можно

Рис. 1.2. Аппроксимация силы межатомной связи (равнодействующая 1)

аппроксимировать простым синусоидальным законом, характеризующимся величиной полупериода λ/2 (рис. 1.2):

σ = σтеор sin
πx

(λ/2)

.
(1.2.1)

Продифференцировав уравнение (1.2.1), получим наклон кривой:

dσ
dx = 2πσтеор

λ
cos
2πx

λ

.
(1.2.2)

§ 1.2. Теоретическая прочность твердого тела
11

Для случая незначительного смещения атомов, т. е. в начале кривой,
cos (2πx/λ) ≈ 1, тогда наклон кривой в этой области (при x → 0)
становится равным
dσ
dx = 2πσтеор

λ
.
(1.2.3)

В связи с тем что эта область также хорошо описывается законом Гука,
наклон кривой может определяться как

E =
σ

(x/a0),
(1.2.4)

где a0 — равновесное расстояние между атомами, x/a0 — относительная деформация. После дифференцирования уравнения (1.2.4) по x
получаем
dσ
dx = E

a0
.
(1.2.5)

Решая совместно уравнения (1.2.3) и (1.2.5), приходим к полезному
соотношению
E
a0
= 2πσтеор

λ
.
(1.2.6)

Если рассматривать энергоемкость процесса разрушения, то работа,
затрачиваемая на преодоление сил сцепления атомов, равна заштрихованной на рис. 1.2 площади

A =

λ/2
0

σтеор sin
2πx

λ

dx = σтеор
λ
π .
(1.2.7)

При хрупком разрушении в кристалле образуются новые поверхности, поверхностная энергия которых может быть измерена посредством
определения энергии, необходимой для их образования при удалении
атомов друг от друга в области поверхности разрыва. При этом создаются незанятые межатомные связи в направлении нормали к поверхности. Также предполагается, что ни на что другое энергия в этом случае
не расходуется. Энергия незанятых межатомных связей поверхностных
атомов в данном случае может рассматриваться как поверхностная
энергия. Таким образом, приравнивая работу разрушения, отнесенную
к единице площади (1.2.7), к поверхностной энергии 2γ и учитывая
соотношение (1.2.6), получим теоретическую прочность совершенного
кристалла:

σтеор =

Eγ
a0
.
(1.2.8)

Более точный учет усилий и смещений для вычисления γ дает следующее приближенное соотношение для оценки теоретической

Гл. 1. Физика и механика микроразрушений

прочности совершенного твердого тела [28]:

σтеор ≈ E

10.
(1.2.9)

В табл. 1.1 приведены примеры соотношения между расчетной
величиной теоретической прочности для некоторых твердых тел и их

Т а б л и ц а 1.1. Сравнение теоретической и реальной прочности твердых тел

Материал
Реальная прочность, МПа
σтеор/σреал

Усы Al2 O3
1,54 × 104
3,3

Усы железа
1,3 × 104
2,3

Высокоуглеродистая
рояльная проволока

2,5 × 103
5,6

Борные волокна
2,4 × 103
14,5

Стекло
1,1 × 102
66

NaCl
1,0 × 102
40

реальной прочностью. Оценка теоретической прочности выполнена по
формуле (1.2.9) на основании гипотезы об отсутствии дефектов в
этих телах, предполагающей преодоление сил связи атомов при отрыве
одновременно по всему сечению тела. В реальном теле силы связи
преодолеваются не одновременно в силу наличия местных дефектов.
Разрушение происходит в результате возникновения трещин в зонах
дефектов и их распространения по сечению тела с его разделением
на части. Предположение о роли дефектов в разрушении твердых
тел имеет экспериментальное и теоретическое подтверждение. Таким
образом, реальная прочность твердых тел во многом обусловлена наличием в них дефектов, например дефектов строения кристаллической
решетки.

§ 1.3. Пластическая деформация и теоретическая
прочность кристаллов на сдвиг

Другим подтвреждением существования дефектов кристаллической
решетки служит различие теоретической прочности кристалла на сдвиг
и его реальной прочности.
Основным механизмом пластического течения кристаллов является
сдвигообразование [28, 63, 85]. Для того чтобы произвести синхронный сдвиг верхней части совершенного кристаллического тела, не
имеющего дефектов, относительно нижней его половины, необходимо
приложить к этому телу сдвиговые напряжения, равные теоретическим: τтеор. Предположим, что расстояние между атомами в направлении
скольжения равно b0, а в направлении, перпендикулярном плоскости

§ 1.3. Пластическая деформация и теоретическая прочность кристаллов 13

Рис. 1.3. Сдвиговые напряжения как функция перемещения атомов

скольжения, — a0 (рис. 1.3). Тогда под действием сдвига атом 2 переходит из положения x = A через состояние x = B в положение x = C.
При этом остальные атомы синхронно перемещаются на одинаковые
расстояния. Допустим, что атомы нижнего ряда 1′, 2′, . . . связаны друг
с другом и находятся в состоянии покоя. Для атома 2 в положении x =
= A и x = B напряжение τ, необходимое для сдвига, нулевое. В положении x = B атом 2 находится в состоянии неустойчивого равновесия.
Для перехода атома из положения x = A в положение x = B необходимо приложить сдвиговое напряжение. Напряжение сдвига в направлении оси x будет функцией периода смещения атома b0. Это напряжение
можно записать в виде простой синусоидальной функции:

τ = τтеор sin
2πx

b0

,
(1.3.1)

где τтеор — максимальное значение сдвигового напряжения, т. е. амплитуда сдвиговых напряжений, при которых происходит переход атома в следующее положение равновесия. При уменьшении расстояния
сдвига x равенство (1.3.1) приближается к следующей зависимости:

τ = τтеор

2πx

b0

.
(1.3.2)

В области малых перемещений сдвиговые напряжения можно представить исходя из закона Гука:

τ = Gx

a0
,
(1.3.3)

где G — модуль сдвига. Из соотношений (1.3.2) и (1.3.3) при a0 ≈ b0
получаем теоретические сдвиговые напряжения

τтеор = G

2π .
(1.3.4)