Физика линейных и нелинейных волновых процессов в избранных задачах. Электромагнитные и акустические волны

А.Н. ПАРШАКОВ

ФИЗИКА ЛИНЕЙНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ 
ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧАХ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ

А.Н. Паршаков
Физика линейных и нелинейных волновых процессов в избранных задачах. Электромагнитные и акустические волны:
Учебное пособие / А.Н. Паршаков – Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2014. – 144 с.
ISBN  9785915591706

Учебное пособие является введением в физику линейных и нелинейных волновых процессов на примере распространения электромагнитных и акустических волн.
Описаны механизмы дисперсии волн. Рассмотрены особенности
распространения нелинейных волн, практически не отраженные на
современном уровне во вводной учебной литературе.
Выбранные задачи носят принципиальный характер и создают основу для дальнейшего изучения предмета.
Необходимое дополнение к базовому курсу теории волн для студентов технических и физических специальностей.

 © 2014, А.Н. Паршаков
© 2014, ООО Издательский Дом
«Интеллект», оригиналмакет,
оформление

ISBN  9785915591706

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Глава 1. Колебательные процессы в распределенных
системах. Дисперсия волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.1. Фазовая и групповая скорость волн . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Волны в одномерной цепочке атомов . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3. Гравитационные волны на поверхности жидкости . . . . . .
21
1.4. Уравнение Клейна–Гордона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.5. Плазменные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
1.6. Природа дисперсии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

Глава 2. Акустические волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

2.1. Скорость распространения звуковых волн . . . . . . . . . . . .
46
2.2. Акустическое давление и интенсивность звуковых волн . .
54
2.3. Акустическая кавитация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
2.4. Стоячие волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
2.5. Отражение и преломление звука . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.6. Трансформация звуковых волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.7. Рассеяние и поглощение звука . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.8. Физиологическая акустика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.9. Применение акустических методов . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Глава 3. Распространение электромагнитных сигналов . . .
82

3.1. Волны в линиях передачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
3.2. Волноводы. Граничная частота и скорость волн в волноводе
89
3.3. Генерация сверхкоротких лазерных импульсов . . . . . . . .
93

Оглавление

Глава 4. Нелинейные волны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

4.1. Эталонные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
4.2. Распространение простых волн . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
4.3. Волны с дисперсией и диссипацией . . . . . . . . . . . . . . . .
124
4.4. Стационарные нелинейные волны. Солитоны . . . . . . . . . .
129
4.5. Стационарные волны для уравнения sin-Гордона . . . . . . .
134

Приложение. Невозможность сферически симметричных
электромагнитных волн . . . . . . . . . . . . . . . .
136

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142

ВВЕДЕНИЕ

Подобно тому, как колебания являются одним из наиболее
характерных и всепроникающих процессов, встречающихся в природе
при анализе движения отдельных тел или частиц, так и волновые процессы берут на себя роль типичных явлений в различных средах. Задание состояния отдельной частицы может быть определено с помощью
конечномерного вектора z = z(t) в фазовом пространстве. Состояние
же среды требует некоторого количества полей Fµ = Fµ(⃗r, t), заданных
в каждой точке пространства ⃗r в момент времени t. Это порождает
огромное разнообразие новых явлений.
Одно из лучших определений волны есть у Эйнштейна и Инфельда1): волна — перенос состояния. При этом происходит изменение
состояния среды или физического поля, сопровождающееся переносом
энергии. В связи с этим волновой процесс может иметь самую различную физическую природу: механическую, химическую, электромагнитную, гравитационную, спиновую, плотности вероятности и др. Важное
свойство волновых движений — наличие локальной (близкодействующей) связи между возмущениями в соседних точках пространства.
Среди всего многообразия волн выделяют их простейшие типы, которые возникают во многих физических ситуациях из-за математического сходства описывающих их законов. Об этих законах говорят как о
волновых уравнениях. Для непрерывных систем это обычно дифференциальные уравнения в частных производных в фазовом пространстве
системы. Важным частным случаем волн, для которых выполняется

1) Эйнштейн А., Инфельд Л. Эволюция физики. — М.: Наука, 1965. — 328 с.

Введение

принцип суперпозиции, являются линейные волны, описываемые уравнением (в одномерном случае)

∂2ξ
∂x2 = 1

v2
∂2ξ
∂t2 .

Это уравнение описывает волны, движущиеся как вдоль оси x, так и
против. Волны, распространяющиеся только вдоль оси x, описываются
так называемым одноволновым уравнением

∂ξ
∂t + v ∂ξ

∂x = 0.

В этих уравнениях v — скорость волны, ξ — изменяющаяся во времени
и пространстве величина, характеризующая волновое движение, например, плотность вещества, напряженность электрического и магнитного
полей и т. д.
В основном физические волны не переносят материю, но возможны
варианты, когда происходит перенос именно материи, а не только энергии. Такие волны способны распространяться и без наличия материальной среды: нестационарное излучение газа в вакуум, волны горения,
волны химической реакции, плотности транспортных потоков и др.
Исходя из физической природы, существуют различные классификации волн. В зависимости от характера среды распространения: упругие волны, волны в плазме, электромагнитные волны, гравитационные
и др. По законам, описывающим волновой процесс: линейные, подчиняющиеся принципу суперпозиции, и нелинейные, для которых принцип суперпозиции не выполняется. По зависимости скорости волны от
ее частоты: диспергирующие и недиспергирующие. По признаку распространения различают бегущие, стоячие волны, а также уединенные (солитоны). По характеру колебаний относительно направления
распространения волны: поперечные, продольные и смешанного типа.
По наличию границ среды: объемные и поверхностные. По характеру
волновых поверхностей: плоские, цилиндрические и сферические.
В твердых телах могут распространяться как продольные, так и
поперечные волны. В объеме жидкостей и газов — только продольные волны. Электромагнитные волны, способные распространяться и
в вакууме, являются поперечными волнами, причем, можно доказать,
что не существует сферически симметричных электромагнитных волн
(см. приложение).
Задачей данного пособия является иллюстрация всего вышеупомянутого спектра характеристик и особенностей волнового движения на
примере электромагнитных и акустических волн. При этом предполагается, что читатель знаком с предварительными сведениями о волновом
движении в рамках стандартного курса физики в техническом вузе.

Введение
7

Глава первая посвящена рассмотрению колебательных процессов в
распределенных системах и описанию механизма дисперсии волн. Во
второй главе описываются особенности распространения акустических
волн в различных средах. Третья глава посвящена распространению
электромагнитных сигналов в линиях передач и волноводах. Рассмотрен также механизм генерации сверхкоротких лазерных импульсов. В
заключительной четвертой главе рассмотрены особенности распространения нелинейных волн, при прохождении которых из-за большой интенсивности изменяются свойства среды, и проявляется взаимодействие
волн. Нелинейность — неотъемлемое свойство любой системы, эволюционирующй во времени. Общность нелинейных явлений различной
природы, общность их моделей и методов рассмотрения в настоящее
время стали почти очевидными, что привело к зарождению таких самостоятельных дисциплин как нелинейная физика плазмы, нелинейная
оптика и акустика, физика высоких энергий (включая физику взрыва
и ударных волн), нелинейная термодинамика, описывающая переходы
в системах, далеких от термодинамического равновесия и др.

Г Л А В А
1

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ.
ДИСПЕРСИЯ ВОЛН

1.1.
ФАЗОВАЯ И ГРУППОВАЯ СКОРОСТЬ ВОЛН

Основным уравнением, описывающим распространение колебаний, является волновое уравнение, которое для одномерных задач
выглядит как

∂2ξ
∂t2 = v2 ∂2ξ

∂x2 .
(1.1)

Здесь ξ = ξ(x, t) — некоторая изменяющаяся во времени и пространстве
величина. Например, для упругих волн это может быть смещением частиц от положения равновесия; для электромагнитных волн это может
быть проекцией напряженности электрического (или магнитного) поля;
v — так называемая фазовая скорость волны (скорость перемещения
в пространстве постоянного значения фазы волны). Значение фазовой
скорости v не следует путать со скоростью изменения величины ξ. Как
правило, v ≫ ∂ξ/∂t. Очень наглядным примером, поясняющим отличие v и ∂ξ/∂t, является трогание с места состава из большого числа
вагонов. Каждый из вагонов, начиная с первого, трогается с места с
небольшой скоростью (аналог ∂ξ/∂t), а вдоль состава с гораздо большей
скоростью бежит звук трогающихся вагонов (аналог v).
Общее решение уравнения (1.1), как легко убедиться, можно записать в виде

ξ(x, t) = f (t ± x/v) ,
(1.2)

где f — некоторая произвольная функция аргумента t ± x/v. Если источник волны совершает гармонические колебания с частотой ω, то

1.1. Фазовая и групповая скорость волн
9

выражение (1.2) приобретает вид так называемой бегущей монохроматической волны

ξ(x, t) = A cos(ωt ± kx + α).
(1.3)

Здесь k = 2π/λ — волновое число, λ — длина волны. Знак минус перед
kx относится к волне, распространяющейся вдоль оси X, знак плюс —
против оси X. Данное выражение часто представляют в комплексном
виде

ξ(x, t) = Re{A exp[i(ωt ± kx + α)]},

где знак Re означает вещественную часть комплексной экспоненты
и его обычно опускают. При подстановке выражения (1.3) в уравнение (1.1) между параметрами ω, k и v обнаруживается связь

ω = kv.
(1.4)

Выражение (1.4) называется дисперсионным соотношением или законом дисперсии и его можно воспринимать как определение фазовой
скорости волны

v = ω

k .

Если величины ω и k пропорциональны друг другу, то фазовая скорость
от них не зависит и определяется только свойствами среды. Волны,
удовлетворяющие простому дисперсионному соотношению ω/k = const,
называются недиспергирующими волнами и подчиняются волновому
уравнению (1.1). В общем случае закон дисперсии (1.4) может быть
более сложным, т. е. частота ω является нелинейной функцией волнового числа ω = ω(k), а это приводит к тому, что фазовая скорость
начинает зависеть от частоты. Нелинейная зависимость частоты волны
от волнового числа (дисперсия) имеет большое значение при распространении негармонических волн. Связано это с тем, что гармоническое
колебание определенной частоты и амплитуды не может нести никакой
информации о передаваемом сигнале, так как каждый последующий
цикл колебаний является точной копией предыдущего. Чтобы передать
определенную информацию с такой волной, ее нужно промодулировать, т. е. изменить какой-либо параметр волны в соответствии с изменением смыслового сигнала. В бегущей волне такими изменяющимися
параметрами могут быть амплитуда, частота и фаза. Соответственно
различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию. Во всех
этих случаях волны распространяются в виде так называемых волновых
пакетов, образованных из гармоник с близкими частотами, каждая из
которых распространяется со своей фазовой скоростью. В связи с этим

Гл. 1. Колебательные процессы в распределенных системах

возникает естественный вопрос, а с какой же скоростью распространяется волновой пакет? Для того чтобы это понять, рассмотрим простейший случай распространения в одном направлении двух бегущих
монохроматических волн с близкими значениями частоты ω, волнового
числа k и одинаковой амплитуды a

ξ1(x, t) = a cos[ωt − kx],
ξ2(x, t) = a cos[(ω + δω)t − (k + δk)x],

причем δω ≪ ω, δk ≪ k. В соответствии с принципом суперпозиции
результирующее колебание ξ(x, t) запишем в виде

ξ(x, t) = ξ1 + ξ2 = 2a cos
δω

2 t − δk

2 x
cos(ωt − kx).

При достаточно малых δω и δk последнее выражение можно интерпретировать как бегущую волну cos(ωt − kx) с переменной амплитудой

A =
2a cos
δω

2 t − δk

2 x
.

Если для монохроматической волны амплитуда постоянна, то теперь
она изменяется как во времени, так и в пространстве, т. е. максимум амплитуды перемещается в пространстве с некоторой скоростью. Разумно
принять за скорость движения волнового пакета скорость перемещения максимальной амплитуды, т. е. скорость перемещения постоянного
значения фазы амплитуды. Это и есть так называемая групповая скорость u. Для ее определения зафиксируем постоянное значение фазы
амплитуды (δω/2)t − (δk/2)x = const и найдем его дифференциал

d
δω

2 t − δk

2 x
= 0.

Отсюда получаем
dx
dt = u = δω

δk ,

или в пределе (δω → 0, δk → 0)

u = dω(k)

dk .
(1.5)

Определенное таким образом понятие групповой скорости для двух
бегущих монохроматических волн с близкими значениями частоты и
волнового числа можно обобщить на случай распространения волнового пакета, образованного наложением гармонических волн с мало
отличающимися частотами в интервале ∆ω ≪ ω0, ω0 — частота гармо