Нелинейная динамика и управление. Вып. 7

УДК 519.71
ББК 32.965 Н 49

                               Издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований по проекту 07-07-07012



    Нелинейная динамика и управление: Сборник статей. Вып. 7 / Под ред. С.В. Емельянова, С.К. Коровина. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 400 с. — ISBN 978-5-9221-1242-0.
    В сборник включены работы за 2009-2010 гг., посвященные исследованиям фундаментального и прикладного характера в области нелинейной и хаотической динамики, управлению в условиях неопределенности, оптимизации, стабилизации и устойчивости сложных систем и вопросам их применения в биотехнологии, информатике, экономике и других высокотехнологичных сферах деятельности.
    Для специалистов по автоматическому управлению, аспирантов и студентов, интересующихся современным состоянием теории обратной связи и ее приложениями.




    NONLINEAR DYNAMICS AND CONTROL. Issue 7: Collected papers /Eds. S.V.Emelyanov, S.K.Korovin.—М.: FIZMATLIT, 2010.—400 p.—ISBN 978-5-9221-1242-0.
    The issue contains papers of 2009-2010 dealing with basic research in nonlinear and chaotic dynamics, control of uncertain systems, optimization, stability and stabilization of complex systems, and their applications in biotechnology, information science, economics and other high-tech fields.
    For specialists in control theory and its applications.



Ответственный за выпуск канд. физ.-мат. наук А. П. Носов


Рецензенты: член-корреспондент РАН Ю. С. Попков, академик РАН Е. И. Моисеев





















ISBN 978-5-9221-1242-0

                                                 (О С.В. Емельянов, С.К. Коровин, А.П. Носов, 2010
                  (О Физматлит, 2010

СОДЕРЖАНИЕ





С. К. Коровин, А. В. Кудрицкий, А. С. Фурсов. Конструктивный алгоритм поиска регулятора, одновременно стабилизирующего семейство объектов .......... 5
О. И. Гончаров, В. В. Фомичев. Наблюдатель для многосвязных систем с произвольным относительным порядком............................................ 17
И. В. Капалин, В. В. Фомичев. О построении минимальных стабилизаторов для скалярных систем ........................................................ 37
Г. И. Лозгачев, Л. А. Тютюнникова. Синтез робастного модального управления .... 53
Ю. М. Семенов. Об эволюции множеств достижимости и управляемости линейных управляемых систем с постоянными коэффициентами ...................... 61
А.Н. Канатников, Е.А. Шмагина. Задача терминального управления движением летательного аппарата ................................................ 79
Н.А. Магницкий. Неклассический подход к анализу гамильтоновых и консервативных систем ........................................................... 95
В. В. Дикусар, Г. А. Зеленков, Н.В. Зубов, В. И. Косюг. Квадратичные формы и выпуклые множества матриц, устойчивых по Важевскому ................. 127
В. В. Дикусар, Г. А. Зеленков, Н.В. Зубов, В. И. Косюг. Условия существования выпуклых множеств неустойчивых полиномов ............................ 133
М. С. Никольский. Некоторые численные аспекты прямых методов Л. С. Понтрягина в линейных дифференциальных играх.................................... 137
К. Кесман, В. И. Максимов. О реконструкции неизвестных характеристик в одной системе третьего порядка ............................................ 149
И.М. Макаров, Л. Л. Ахрем, В.З. Рахманкулов. Робастность математических моделей задач проектирования сложных динамических систем ................ 167
Л. Л. Ахрем. Грубые свойства специальных классов моделей сложных технических систем .............................................................. 191
Э. Р. Смольяков. Усложненные равновесия для конфликтных задач ........... 201
А. В. Дылевский, Г. И. Лозгачев, В. С. Малютина. Построение конечномерного регулятора температуры проходной печи ....................................... 211
И.М. Макаров, В.З. Рахманкулов, Л.Л. Ахрем. Математические модели процессов переноса и освоения производственных технологий и ноу-хау ........... 219
Л.А. Шоломов. К введению меры недоопределенной информации ............... 257
В. С. Левченков, Л. Г. Левченкова. Два подхода к проблеме поиска в WWW .. 275
А. В. Кряжимский, С.П. Коновалов, М.С. Никольский. Изучение упрощенной модели сбора налогов с предприятия государством с учетом белого и теневого капиталов ................................................................. 287
Э.Р. Смольяков. Динамика в сопряженных парах вселенных и новые фундаментальные физические постоянные ........................................... 311

СОДЕРЖАНИЕ

А. В. Краев. Некоторые алгоритмы обращения векторных дискретных систем . 327
А.П. Калашников. Моделирование процессов управления вращением твердого тела 335
А..4. Пискунов, А. В. Лычев, М.А. Пискунова, В.Е. Кривоножко. Инструментарий поддержки принятия решений при формировании транснациональных проектов 349
А. М. Формальский, П. В. Зайцев. Математическое моделирование управляемого продольного движения параплана........................................... 383

Нелинейная динамика и управление
Вып. 7, с. 5—16
М„ ФИЗМАТЛИТ, 2010




КОНСТРУКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА РЕГУЛЯТОРА, ОДНОВРЕМЕННО СТАБИЛИЗИРУЮЩЕГО СЕМЕЙСТВО ОБЪЕКТОВ

С. К. Коровин, А. В. Кудрицкий, А. С. Фурсов

  В работе изложен подход к решению задачи одновременной стабилизации конечного семейства линейных динамических объектов. При этом рассматриваются два основных вопроса, связанных с указанной задачей: нахождение условий существования единого рсп'лятора и алгоритм построения такого регулятора в случае его существования. Представленный в статье подход основан на исследовании свойств аффинных преобразований пространства параметров регулятора в пространство коэффициентов характеристических полиномов стабилизируемых объектов. Приведена общая схема исследования одновременной стабилизируемости конечных семейств объектов и подробно проанализирован численный алгоритм поиска стабилизирующего регулятора, построенного на основе методов интервального анализа.




1. Постановка задачи, основные понятия и утверждения
   В настоящей работе на основе результатов, изложенных в [2], описывается алгоритм поиска регулятора заданного порядка, одновременно стабилизирующего конечное семейство линейных объектов.
   Общая постановка задачи одновременной стабилизации для скалярных объектов формулируется следующим образом [2].
   Рассматривается k линейных стационарных объектов различных порядков ni с передаточными функциями

в¹⁽з⁾            в s
W 1 ⁽s)  CP'"’ W⁽ s )     I V                   ( )
ai(s)            ®k (s)

где

                     Ai ⁽s⁾ = bnᵢ-1,isⁿi ¹ + • • • + b0,i’
                     ai⁽s) = sni + anᵢ-1,isⁿi ¹ + • • • + a0,i’

причем полиномы AAs), ai(s) взаимно просты.
   Спрашивается [1], существует ли регулятор l-го порядка

_ P⁽s⁾ _ Pis¹ ⁺ Pi-1s¹⁻¹ + • • • + P1s + Ро     ₉
Я⁽в⁾ = ДА = si + ®-1«n-1 + ••' + ,b, + qo ’          ¹²¹


© С. К. Коровин, А. В. Кудрицкий, А. С. Фурсов, 2010

С. К. КОРОВИН. А. В. КУДРИЦКИЙ. А. С. ФУРСОВ

одновременно стабилизирующий все объекты (1), т. е. такой, что знаменатели передаточных функций всех замкнутых систем, полученных замыканием объектов (1) обратной связью (2), т. е. все полиномы

Pi (s) = ai(s)q(s) + A(s)p(s)

(i =1, 2,..., k"), являются устойчивыми?
   При k = 1,2 решение сформулированной задачи известно [1, 6]. В случае k > 3 каких-либо общих методов решения поставленной задачи нет [7]. При этом в ряде работ различных авторов (см. библиографию в [8]) представлены либо необходимые, либо достаточные условия одновременной стабилизации в случае k > 3, многие из которых относятся к некоторым узким классам объектов или носят неконструктивный характер. Найденные в настоящее время необходимые и достаточные условия одновременной стабилизации при k > 3, как правило, сводят одну нерешенную задачу к другой [4].
   В работе [2] для k > 3 линейных скалярных стационарных объектов произвольных порядков получены проверяемые численно необходимые условия одновременной стабилизации, а также достаточное условие одновременной стабилизации регулятором заданного порядка с указанием алгоритмов построения стабилизирующего регулятора, основанных на анализе структуры областей устойчивости в пространствах коэффициентов полиномов, линейно зависящих от параметров.
   В настоящей работе, на основе подходов, теоретически обоснованных в [2], приведена общая схема исследования одновременной стабилизируемости семейства объектов (1) и подробно проанализирован численный алгоритм поиска стабилизирующего регулятора с использованием методов прикладного интервального анализа [5]. Приведем основные определения и утверждения, необходимые для дальнейшего изложения.
   Для каждого знаменателя передаточной функции объекта Wi(s), замкнутого обратной связью с регулятором l-го порядка (2),

  Pi(s) = ai(s)q(s) + pi(s)p(s) = po,i + pi,i s + ... + pni+l-i,isⁿⁱ⁺l⁻ⁱ + sⁿi⁺l, (3)

определим вектор коэффициентов

^i = G?0,i, . . .,^ni + l-1,i).

Тогда для каждого i = 1,..., k найдется матрица

Ai(ai,/3i,l) G R⁽ⁿi⁺l⁾ x ⁽²l⁺¹⁾

и столбец
Bi(ai,pi,l) G R⁽ⁿi⁺l⁾

(однозначно построенные по коэффициентам передаточной функции Wi(s)) такие, что выполняются равенства


q0


^0,i

.УпЩ1 —1,i

= Ai(aij3i ,l)

ql-i
P0

\Pl /

+ Bi(ai, pi, l), i = 1, . .., k.

(4)

КОНСТРУКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА РЕГУЛЯТОРА

7

   Линейная система неравенств

(q \

Ai ⁽ai, 6i, l⁾

qi-i Po

+ Bi(ai,pi,l) > 0, i =1,...,k

(5)

                                    Pi


задает необходимое условие устойчивости полиномов p(s) i = 1,..., к.
   Вектор v = (q₀,..., qₗ—₁,p₀,.. .,pₗ) назовем устойчивым решением системы неравенств (5), если соответствующий полином

Pi ⁽s⁾ = P0,i + P1,is + ... + Pni +l— 1,is”i⁺l ¹ + s”ⁱ⁺l, i = ¹ . . ., k

с коэффициентами (4) устойчив. Для удобства устойчивые решения системы (5) назовем также стабилизирующими параметрами.
   Очевидное необходимое и достаточное условие одновременной стабилизации объектов (1) для удобства можно представить в виде следующего утверждения [2].

   Теорема 1. Линейные объекты (1) одновременно стабилизируемы регулятором l-го порядка (2) тогда и только тогда, когда существует хотя бы одно устойчивое решение системы линейных неравенств (5).

   Существование устойчивого решения системы (5) означает совместность этой системы и, таким образам, совместность системы (5) является необходимым условием одновременной стабилизации объектов (1). В [2] приведены проверяемые ранговые условия совместности этой системы, допускающие численную проверку. К сожалению, достаточное условие, приведенное в теореме 1, не является конструктивным. В настоящее время нет аналитических методов проверки существования устойчивого решения во множестве решений системы (5), поскольку такая проверка при применении известных критериев устойчивости сводится к решению сложных систем нелинейных неравенств. Поэтому для поиска устойчивых решений предлагается использовать иной подход, основанный на численных методах интервального анализа [5]. Теоретическое обоснование указанного подхода, как было указано выше, изложено в работе [2].
   Заметим, что необходимое условие теоремы 1 (совместность системы (5)) дает возможность построить множество в пространстве параметров регулятора (q₀,..., qₗ—₁,p₀,.. .,pₗ) [4], в котором могут содержаться стабилизирующие параметры (содержатся, если они существуют). При этом возможны три случая.
   1.   Система линейных неравенств (5) несовместна. Тогда стабилизирующих параметров не существует и объекты (1) одновременно не стабилизируемы.
   2.   Система линейных неравенств (5) совместна и множество ее решений ограничено. В этом случае можно построить (см. параграфы 2 и 3 настоящей работы) численный алгоритм поиска стабилизирующих параметров в ограниченной области пространства параметров


(qo, . . .,ql—i,po, . . .,pl)

С. К. КОРОВИН. А. В. КУДРИЦКИЙ. А. С. ФУРСОВ

регулятора ((2/ + 1)-мерном параллелепипеде) с использованием методов интервального анализа [5]. При этом упомянутая область поиска должна содержать все множество решений системы неравенств (5). Один из способов поиска ограниченной области приведен, например, в [3]. Заметим, что в случае ограниченности множества решений системы неравенств (5) соответствующая система однородных неравенств





(q \

Ai (ai,pi,l) q-¹ > 0, i = 1,...,k                              (6)



\ Pi /


несовместна. Действительно, если система (6) имеет хотя бы одно решение v*, то в силу однородности системы (6) для любого а > 0 век тор pv* также будет являться решением этой системы, при этом найдется такое значение А* > 0, что пр и всех а > а* вект оры щ¹* будут являться решениями неоднородной системы (5). Но тогда множество решений системы (5) не будет ограниченным.
   3.    Система линейных неравенств (5) совместна и множество ее решений не ограничено. В этом случае построение численной процедуры поиска стабилизирующих параметров осложняется тем, что непонятно, в какой именно ограниченной области во множестве решений системы (5) надо искать эти стабилизирующие параметры, поскольку численные алгоритмы работают только на ограниченных множествах. Заметим, что в случае неограниченности множества решений системы (5) система (6) совместна.
   Таким образом, основной проблемой построения численных алгоритмов поиска одновременно стабилизирующего регулятора для объектов (1) в случае 3 является задача локализации ограниченной области в пространстве параметров
(qo, . . .,qi-1,Po, . . .,Pl),

в которой, в случае их существования, содержатся стабилизирующие параметры.
   В [2] получены результаты, на основе которых в случае 3 возможно локализовать ограниченную область в пространстве параметров


(qo, . . .,qi-i,po, . . .,pi),


содержащую так называемые ^-стабилизирующие параметры (определение см. ниже), в случае их существования. В параграфе 2 (теорема 4) настоящей работы сформулировано утверждение об указанной локализации. В [2] показано также, что по ^-стабилизирующим параметрам всегда можно построить регулятор, одновременно стабилизирующий объекты (1).
   Ниже приведены некоторые необходимые для понимания дальнейшего изложения факты.
   Вектор параметров u = (u₀,..., uₙ₋₁)T G R" поли нома p(s) = u₀ + u₁s + + ... + uₙ₋₁sⁿ⁻¹ + sⁿ ^-устойчивый [2], если полином степени (n — 1)


u(s) = uo + uis + ... + uₙ₋isⁿ ¹


устойчив.

КОНСТРУКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА РЕГУЛЯТОРА

9

   Теорема 2. ([2]) Пусть a = ир — прямая в пространстве Rⁿ, р G R, причем вектор
U = (ио, . . .,Un-!)T

ш-устойчивый. Тогда существует та»е значение р* > 0, что для всех р > р* полиномы

u(s) = р* ио + p*U1S + ... + р* Uₙ₋1Sⁿ⁻1 + sⁿ

устойчивые.

   Вектор v = (q₀,.. .,qₗ₋₁,p₀,.. .,pₗ) назовем ш-устойчивым решением системы неравенств (6), если для него все векторы




(qo \

Toy

.ТЩ 1-1,

= Ai⁽ai, Pi, l⁾

qi-i Po


i = 1, . .., k

(7)

                                                      pl


ш-устойчивы.
   В [2] вектор
                       v = (qo, . . ., qi-i,Po, ■ ■ -,Pl), являющийся ш-устойчивым решением системы неравенств (6), назван ш-ста-билизирующим, а соответствующие параметры — ш-стабилизирующими.
   Следующая теорема, являющаяся вариантом теоремы 6 из [2], устанавливает достаточное условие одновременной стабилизации объектов (1) регулятором l-го порядка (2).


   Теорема 3. Пусть для системы неравенств (6) (построенной по коэффициентам передаточных функций объектов (1)) существует ш-устойчи-вое решение. Тогда объекты (1) одновременно стабилизируемы некоторым регулятором порядка l.


   Алгоритм расчета параметров одновременно стабилизирующего регулятора по ш-устойчивому решению системы (6) можно построить на основе результатов работы [2] (приведен в параграфе 4 настоящей работы).

   Таким образом, задачу поиска одновременно стабилизирующего регулятора для объектов (1) в случае, когда система (5) имеет неограниченное

множество решений, можно разбить на три этапа.

   1. Поиск ш-устойчивого решения системы (6).
   2.   Построение устойчивого решения системы (5) по ш-устойчивому решению системы (6).
   3.   Построение одновременно стабилизирующего регулятора по устойчивому решению системы (5).
   Ниже, в параграфе 2 приведено утверждение о локализации области поиска ш-устойчивого решения системы (6), сформулированы основные понятия интервального анализа [5] и приведен алгоритм поиска ш-устойчивого решения системы (6) на основе методов интервального анализа.

С. К. КОРОВИН. А. В. КУДРИЦКИЙ. А. С. ФУРСОВ

2. Применение методов интервального анализа для построения алгоритма поиска ^-стабилизирующих параметров

   Методы интервального анализа [5] позволяют строить численные алгоритмы, обеспечивающие гарантированную аппроксимацию множеств, описанных с помощью различных систем равенств и неравенств и, в силу этого, появляется возможность применения этих методов в инженерной практике и компьютерных расчетах. Ниже приведены основные понятия интервального анализа.
   Основным объектом интервального анализа является так называемое вещественное интервальное число.
   Вещественное интервальное число [x] — односвязное подмножество из R, для простоты называемое интервалом. Нижняя граница интервала [x] обозначается x и определяется как

x = sup{a G R U {—то, то} | Vx G [x] a < x}, верхняя граница интервала [x] обозначается x и определяется как

                  x = inf{b G R U {-то, то} | Vx G [x] b > x}, ширина непустого интервала [x] определяется как
w([x]) = x — x.

Обозначим через IR множество всех замкнутых интервалов. Тогда любой интервал [x] из IR может быть единственным образом задан своей нижней x и верхней x границами:
[x] = [x, x].
   Для интервальных чисел вводятся основные арифметические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и теоретико-множественные операции (объединение, пересечение, декартово произведение и др., см. [5]).
   Вещественный интервальный вектор [x] G IRⁿ (параллелотоп) — это подмножество Rⁿ, которое определяется как декартово произведение n замкнутых интервалов
[x] = [xi] х [x2] х ... х [x„],
где [xi] = [xi,xi] для i = 1,.. .,n. Операции, введенные для интервалов, переносятся на параллелотопы [5].
   Ширина непустого интервального вектора [x] определяется как

w([x]) = max w([xi]).
1<i<n


   Основное отличие численных алгоритмов, построенных на основе методов интервального анализа от алгоритмов, предполагающих использование сеточных методов, заключается в том, что результаты, получаемые с помощью обычных численных методов носят локальный характер и не гарантируют, что все точки множества, покрытого сеткой, удовлетворяют тем же свойствам, которым удовлетворяют узлы сетки. Методы интервального анализа, в свою очередь, дают возможность аппроксимировать множество, удовлетворяющее необходимым свойствам, выпуклыми множествами — параллелотопами, внутренние точки которых гарантированно обладают нужными свойствами.
   Следующая теорема позволяет локализовать область поиска w-устойчивых решений системы (6).

КОНСТРУКТИВНЫЙ АЛГОРИТМ ПОИСКА РЕГУЛЯТОРА

11

   Теорема 4. Пусть однородная система линейных неравенств (6) имеет ютя бы одно ш-устойчивое решение. Тогда она имеет бесконечно много таких решений, причем любой параллелотоп в пространстве параметров

v = (qo, . . ., qi—i,po, . . .,pi),

для которого точка (0,..., 0) является внутренней, содержит ш-устойчи-вые решения.

   Доказательство теоремы 4 следует из теоремы 2 и однородности системы (6).
   Следующая теорема устанавливает факт существования внутренних точек множества ш-устойчивых решений системы (6).

   Теорема 5. Пусть

v* = ⁽q0,...,q*i-i,Po ,...,p*⁾

— ш-устойчивое решение системы (6). Тогда существует такое 5 > 0, что все векторы семейства

     v*s = {(qo,.. .,qi-i,Po,.. .,pi) : qi - 5 < qi < qi + 5, Pi - 5 < Pi < Pi + 5} шляются ш-устойчивыми.
   Доказательство теоремы 5 следует из непрерывной зависимости корней полиномов от коэффициентов.
   Перейдем к описанию процедуры поиска ш-устойчивого решения системы (6) с использованием методов интервального анализа.
   Выберем начальный параллелотоп — произвольный n-мерный куб такой, что точка (0,..., 0) является внутренней. Обозначим его через

           [v⁰] = ([v0], [v0], . . ., [v₂⁰i₊₁]) = ([q0], . . ., [qO-1], [p0], . . ., [p0]). ₍₈₎

   Введем вектор-функцию

                       Hn(u) = (un, hi(u),..., hn(u)), определенную на множестве полиномов
u(s) = U0 + uis + ... + uₙ₋isⁿ⁻1 + uₙsⁿ,           (9)

где hi(u) — угловые миноры матрицы Гурвица: устойчивость полинома (9) эквивалентна условиям uₙ > 0, hi(u) > 0.
   Интервальная функция
                             [f ] : IRⁿ ^ IRm называется функцией включения для функции
f : IRn ^ iRm,

если V[x] G IRⁿ, f([x]) C [f]([x]) [5].
   Интервальным аналогом приведенного условия устойчивости является следующее условие на функцию включения [H]([u]):

            [Hi]([u]) C [Yi], г де [Yj] = (]0, +«>[,..., ]0, +^[) G IRi.                    (10)