Безопасность в техносфере, 2016, №4 (61)

№ 4 (61)/2016 
июль–август

НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ И ИНФОРМАЦИОННЫЙ ЖУРНАЛ
SCIENTIFIC, METHODICAL AND INFORMATION MAGAZINE

В номере 
In this issue

Рискология
Riskology

Н.А. Махутов, Д.О. Резников
N.A. Makhutov, D.O. Reznikov
Многоуровневая оценка живучести сложных технических систем  
с учетом масштабно-структурной иерархии процессов накопления 
повреждений и разрушения  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 3
Multilevel Survivability Assessment of Complex Technical Systems  
with Account for Large-Scale and Structural Hierarchy of Damages  
and Destruction Accumulation Processes

Е.Н. Бельская, Е.В. Сугак, О.В. Бразговка
E.N. Bel’skaya, E.V. Sugak, O.V. Brazgovka
Расчет и прогнозирование индивидуального риска смерти населения 
промышленного региона  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 18
Calculation and Forecasting of Individual Death Risk for Industrial Region’s 
Population

контРоль и монитоРинг
Control and Monytoring

И.В. Мошарова, В.В. Ильинский, М. Н. Корсак
I.V. Mosharova, V.V. Ilinskii, M.N. Korsak
Экологический мониторинг водных экосистем на основе нового  
микробиологического метода  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 23
Environmental Monitoring of Water Ecosystems Based on a New  
Microbiological Method

Экологическая безопасность

ECologiCal SafEty

А.И. Андреев, Л.М. Кондратьева
A.I. Andreev, L.M. Kondratieva
Комплексная оценка качества подземных водных источников 
на территории города Хабаровска  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 30
Complex Assessment of Underground Water Sources’ Quality  
in Khabarovsk City Territory

методы и сРедства обеспечения безопасности

MEthodS and MEanS of SafEty

Б.С. Ксенофонтов, Е.С. Антонова
B.S. Ksenofontov, E.S. Antonova
Исследование дисперсного состава водовоздушной смеси, генерируемой 
эжекционной системой аэрации, в процессе флотационной очистки  
сточных вод  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 38
Research of Disperse Composition of Air-and-Water Mix Generated  
by Ejector Aeration System During Wastewater Floatation Treatment

Свидетельство Роскомнадзора

ПИ № ФС77-44004
Издается с 2006 года
Учредитель:
Коллектив редакции журнала
Издается: 
при поддержке МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
Федерального учебно-методического объединения 
в системе высшего образования по укрупненной 
группе специальностей и направлений подготовки 
20.00.00 «Техносферная безопасность и природообустройство»
Главный редактор 
Владимир Девисилов
Издатель:
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
Отдел предпечатной подготовки 
Белла Руссо
Выпускающий редактор 
Дарья Склянкина 
Тел. (495) 280-15-96 (доб. 501) 
e-mail: 501@infra-m.ru
Отдел подписки 
Маргарита Назарова 
Тел.: (495) 280-15-96 (доб. 249) 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать  
с мнением авторов публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно  
подбирать к авторским материалам иллюстрации, менять 
заголовки, сокращать тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с авторами. 
Поступившие в редакцию материалы будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается  
с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Безопасность 
в техносфере» обязательна.
Письма и материалы для публикации  
высылать по адресу:  
127282, Россия, Москва, ул. Полярная,  
д. 31в, стр. 1, журнал «БвТ»  
Тел.: (495) 280-15-96 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29 
e-mail: magbvt@list.ru, mag12@infra-m.ru,  
bvt@magbvt.ru 
Сайты журнала:  
http://www.magbvt.ru, http://www. naukaru.ru

© ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М», 
2016

Формат 60×84/8.  Бумага офсетная № 1. 
Тираж 1000 экз.
Подписные индексы:  
в каталоге агентства «Роспечать» —  
18316, объединенном каталоге  
«Пресса России» — 11237

DOI 10 .12737/issn .1998-071X

Н.Б. Рубцова, Ю.П. Пальцев, Л.В. Походзей, С.Ю. Перова, А.Ю. Токарский
N.B. Rubtsova, Yu.P. Pal’tsev, L.V. Pokhodzey, S.Yu. Perova, A.Yu. Tokarsky
Обеспечение профессиональной и экологической электромагнитной 
безопасности: проблемы, состояние и пути решения   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 45
Ensuring of Professional and Ecological Electromagnetic Safety:  
Problems, State and Solutions

А.Б. Ивашкин, А.С. Камруков, Д.О. Новиков, К.И. Малков
A.B. Ivashkin, A.S. Kamrukov, D.O. Novikov, K.I. Malkov
Расчетная модель фотохимического реактора с импульсной 
ксеноновой лампой для  очистки воды  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 51
Calculation Model of Photochemical Reactor with a Pulse Xenon Lamp  
for Water Treatment

чРезвычайные ситуации

EMErgEnCy

Е.В. Арефьева, А.В. Рыбаков
E.V. Arefyeva, A.V. Rybakov
Повышение достоверности прогнозирования поражающих факторов 
техногенного характера на пожаровзрывоопасных объектах  .  .  .  .  . 58
Increase in Reliability for Injurious Effects Forecasting on Fire- and Explosion 
Hazardous Facilities

менеджмент Риска

riSk ManagEMEnt

Э.А. Грановский
E.A. Granovsky
Техническое регулирование безопасности промышленных  
объектов: анализ опасности   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 63
Technical Regulation of Industrial Facilities’ Safety: Hazard Analysis

пРавовое и ноРмативное обеспечение

lEgal and rEgulatory CovEragE

М.Ю. Сербиновский, М.А. Костенко, О.В. Попова 
M.Yu. Serbinovsky, M.A. Kostenko, O.V. Popova
Диагностика энергетических котлов как фактор обеспечения 
безопасных условий их эксплуатации (технический и правовой 
аспекты)   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 71
Power-Generating Boilers Diagnostics As Factor for Providing of Safe Service 
Conditions (Technical and Legal Aspects)

инфоРмиРуем читателя

inforMation

В.А. Девисилов
V.A. Devisilov
О Неделе охраны труда и проведении заседания федерального 
учебно-методического объединения «Техносферная безопасность  
и природообустройство» в 2017 г .   .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 77
On the week of the Labour Protection and Meeting of the Federal Education  
and Methodological Association “Technosphere Safety and Enviromental  
Engineering” in 2017

Профессор Валентин Алексеевич Зайцев  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  .  . 79
Professor Valentin Alekseevich Zaycev

Журнал «Безопасность в техносфере» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендациям 
ВАК РФ должны быть опубли кованы научные результаты 
диссертаций на соискание ученых степеней доктора  
и кандидата наук, а также в американскую базу периодических 
и продолжающихся изданий Ulrich’s и базу лучших российских 
научных журналов, размещенную на платформе Web of Science 
в виде Russian Science Citation Index (RSCI) .

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ
Александров Анатолий Александрович (Председатель совета),
ректор МГТУ им. Н.Э. Баумана, зав. кафедрой, д-р техн. наук, 
профессор
Алёшин Николай Павлович, 
зав. кафедрой МГТУ им. Н.Э. Баумана, академик РАН,  
д-р техн. наук, профессор
Аткиссон Алан (Alan AtKisson) — Швеция (Sweden),
президент Atkisson Group, советник Комиссии ООН по 
устойчивому развитию, член Комиссии по науке и технологическому развитию при Президенте Еврокомиссии (EU Commission 
President’s Council of Advisors on Science and Technology)
Бабешко Владимир Андреевич,
зав. кафедрой Кубанского государственного университета, 
директор НЦ прогнозирования и предупреждения 
геоэкологических и техногенных катастроф, академик РАН,  
д-р физ.-мат. наук, профессор
Бухтияров Игорь Валентинович
директор НИИ медицины труда РАМН, чл.-кор. РАН, д-р мед. наук, 
профессор
Гарелик Хемда (Hemda Garelick) — Великобритания (United Kingdom), 
Professor of Environmental Science and Public Health Education, 
School of Health and Social Sciences (HSSC) Middlesex University,
Programme Leader for Doctorate in Professional Studies Environment and Risk (HSSC), PhD.
Касимов Николай Сергеевич, 
Президент географического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова, 
вице-президент Русского географического общества,  
зав. кафедрой, академик РАН, д-р геогр. наук, профессор
Махутов Николай Андреевич, 
главный научный сотрудник Института машиноведения  
им. А.А. Благонравова РАН, руководитель рабочей группы  
при Президиуме РАН по проблемам безопасности, чл.-кор. РАН,  
д-р техн. наук, профессор
Мейер Нильс И . (Niels I . Meer) — Дания (Denmark), 
профессор Датского технического университета (дат. Danmarks 
Tekniske Universitet, DTU, англ. Technical University of Denmark)
Соломенцев Юрий Михайлович, 
президент МГТУ «Станкин», зав. кафедрой, чл.-кор. РАН, 
д-р техн. наук, профессор
Тарасова Наталия Павловна,
директор института  проблем устойчивого развития, 
заведующая кафедрой РХТУ им. Д.И. Менделеева,  
чл.-кор. РАН, д-р хим. наук

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ
Васильев Андрей Витальевич,
зав. кафедрой Самарского государственного технического 
университета, д-р техн. наук, профессор
Вараксин Алексей Юрьевич, 
заведующий отделением Объединенного института высоких 
температур РАН, чл.-кор. РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор
Девисилов Владимир Аркадьевич,
доцент кафедры МГТУ им. Н.Э. Баумана, канд. техн. наук
Дыганова Роза Яхиевна,
зав. кафедрой Казанского государственного энергетического 
университета, д-р биол. наук, профессор
Дьяченко Владимир Викторович,
заместитель директора по научной и учебной работе 
Новороссийского политехнического института (филиала) КубГТУ, 
профессор, канд. сел.-хоз. наук, д-р геогр. наук
Егоров Александр Федорович,
зав. кафедрой РХТУ им. Д.И. Менделеева, д-р техн. наук, профессор
Кручинина Наталия Евгеньевна,
декан инженерного экологического факультета, зав. кафедрой 
РХТУ им. Д.И. Менделеева, канд. хим. наук, д-р техн. наук, профессор
Майстренко Валерий Николаевич,
зав. кафедрой Башкирского государственного университета,  
чл.-кор. АН Республики Башкортостан, д-р хим. наук, профессор
Никулин Валерий Александрович,
исполнительный вице-президент Российской инженерной 
академии, ректор Камского института гуманитарных  
и инженерных технологий,  д-р техн. наук, профессор
Павлихин Геннадий Петрович,
д-р техн. наук, профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана
Петров Борис Германович,
руководитель Приволжского Управления Ростехнадзора,  
канд. техн. наук, профессор
Пушенко Сергей Леонардович,
директор ИИЭС Ростовского государственного строительного 
университета, канд. техн. наук, профессор
Рахманов Борис Николаевич,
профессор Московского государственного университета путей 
сообщения, д-р техн. наук
Реветрио Роберто ( Roberto Revetrio)
д-р наук (PhD), профессор Университета Генуи, Италия
Рубцова Нина Борисовна,
заведующая научным координационно-информационным 
отделом ГУ НИИ медицины труда РАМН, д-р биол. наук
Севастьянов Борис Владимирович,
зав. кафедрой «Безопасность жизнедеятельности»  
Ижевского государственного технического университета,  
канд. пед. наук, д-р техн. наук, профессор
Сущев Сергей Петрович, 
генеральный директор ООО «Центр исследований 
экстремальных ситуаций», д-р техн. наук, профессор
Трофименко Юрий Васильевич,
зав. кафедрой Московского автомобильно-дорожного института 
(государственного технического университета),  
д-р техн. наук, профессор
Федорец Александр Григорьевич,
директор Автономной некоммерческой организации  
«Институт безопасности труда», канд. техн. наук, доцент

Рискология
Riskology

Безопасность в техносфере, №4 (июль–август), 2016
3

УДК:  531(063)  
DOI: 10.12737/23757
Многоуровневая оценка живучести сложных  
технических систем с учетом масштабно-структурной 
иерархии процессов накопления повреждений  
и разрушения

Н.А. Махутов, главный научный сотрудник, чл.-корр. Российской академии наук, д-р техн. наук,
Д.О. Резников, ведущий научный сотрудник 

Институт машиноведения имени А.А. Благонравова Российской академии наук, канд. техн. наук

e-mail: mibsts@mail.ru, ImashReznikoff@yandex.ru

Обеспечение живучести, определяемой как способность технической системы, 
находящейся в поврежденном состоянии, выполнять (полностью или частично) 
свои функции и не допускать катастрофических разрушений, является важным 
элементом комплексной проблемы обеспечения безопасности объектов техносферы. В статье рассмотрены основные подходы к проведению количественной 
оценки живучести сложных технических систем с учетом того, что процессы накопления повреждений и разрушения развиваются по широкому спектру 
масштабно-структурных уровней, начиная от наномасштабов, соизмеримых 
с межатомными расстояниями, вплоть до макроскопического масштаба, определяемого структурой системы в целом. Из всей иерархии масштабов выделены 
три базовых масштабно-структурных уровня, позволяющих описать развитие 
процессов разрушения, и предложена совокупность показателей, характеризующих живучесть систем на выделенных масштабных уровнях. В статье сопоставлены основные подходы к проведению количественной оценки живучести 
технических систем, в том числе, основанные на детерминистических и вероятностных оценках остаточной прочности системы после возникновения макроповреждений, а также интегральные подходы, базирующиеся на проведении 
риск-анализа системы и на оценке снижения ее определяющих прочностных характеристик при варьировании степени повреждения системы.

Ключевые слова:  
безопасность технических систем, 
прочность,  
структурная целостность,  
живучесть,  
стойкость,  
разномасштабные модели,  
повреждение,  
разрушение.

1 . Введение
Безопасность сложных технических систем (далее —  СТС) в значительной степени определяется их 
конструкционной прочностью и способностью сохранять свою структурную целостность при различных режимах нагружения. Различают два базовых 
подхода к обеспечению конструкционной прочности 
и структурной целостности СТС [1].
1. Создание систем, которые способны функционировать при наличии локальных повреждений 
(принцип безопасности повреждения, англ. fail-safe 

design). При этом указанные локальные повреждения должны идентифицироваться в ходе проведения 
инспекций и устраняться путем ремонта и замены. 
Кроме того, создание подобных систем предполагает введение определенной избыточности (резервных 
связей), чтобы после возникновения локального повреждения имелся альтернативный путь передачи нагрузки и временной запас, необходимый для 
устранения повреждения.
2. Создание систем, практически гарантированных от возникновения критических локальных по

Рискология
Riskology

4

вреждений в течение установленного срока эксплуатации (принцип безопасного ресурса, англ. safe-life 
design). Этот подход реализуется в таких системах, 
как спутники или подводные конструкции, которые невозможно инспектировать и ремонтировать 
в процессе эксплуатации. Подобные системы проектируются и изготавливаются с высоким начальным запасом по основным механизмам достижения 
предельных состояний и подвергаются тщательному 
контролю до их ввода в эксплуатацию.
Второй подход чрезвычайно затратный и имеет 
ограниченную область применения. В большинстве 
случаев (иногда в неявной форме) используется первый подход, который предполагает эксплуатацию 
технических систем, получивших определенную степень повреждения. Ключевым при реализации этого 
подхода выступает понятие живучести системы (допустимости повреждения, англ. damage tolerance), которое характеризует ее способность выполнять свои 
функции при наличии повреждений.
Традиционные методы проектирования СТС 
предполагают расчет реакции элементов систем 
на проектные воздействия, которые определяются, 
исходя из нормальных условий эксплуатации. Ввиду 
высокого уровня вариативности основных механических свойств конструкционных материалов и действующих нагрузок оценка конструкционной прочности и структурной целостности СТС должна быть 
вероятностной. В связи с этим вводится понятие 
прочностной надежности системы Resys, под которой 
понимается вероятность неразрушения системы под 
действием расчетных режимов эксплуатационного 
нагружения [2, 3].
При оценках прочностной надежности, как правило, не учитываются запроектные воздействия 
на систему (нерасчетные режимы нагружения, ошибки операторов, экстремальные условия внешней 
среды), которые с высокой вероятностью вызывают 
повреждения системы на различных масштабных 
уровнях (в том числе макроповреждения), способные инициировать разрушение системы в целом. Это 
объясняет, что фактическая вероятность отказов 
сложных систем PF
Ф оказывается на порядок выше 
расчетных оценок PF
R, полученных методами теории 
надежности: PF
Ф ~10 PF
R [4, 5]. Поскольку при оценке 
прочностной надежности из рассмотрения выводятся запроектные воздействия и не исследуется реакция системы на них, оценка прочностной надежности системы должна быть дополнена оценкой ее 
живучести, в рамках которой детально исследуются 
свойства системы, получившей различного рода повреждения.

Обеспечение живучести является одним из ключевых элементом комплексной задачи по обеспечению защищенности объектов техносферы. В исторической ретроспективе решение этой задачи 
осуществляется поэтапно и представляет собой последовательную постановку и поиск решения задач 
прочности Rs, ресурса RN,tнадежности PP R
, , живучести Ll d, , безопасности S, риска R и защищенности ZR:

 
R
R
P
L
S
R
Z
N
P R
l d
R
σ
τ
→
→
→
→
→
→
,
,
,
.

При этом каждый элемент этой цепочки, представляющий собой этап развития науки и техники, 
опирается и использует в обязательном порядке предыдущие.
В общем случае под живучестью системы понимается ее свойство сохранять в течение некоторого 
времени работоспособность при наличии развивающихся дефектов и повреждений различного характера. В более узкой постановке, связанной с обеспечением конструкционной прочности и структурной 
целостности СТС, может быть введено понятие прочностной (конструкционной) живучести, под которым понимается способность системы продолжать 
воспринимать нагрузки и сопротивляться деформированию и разрушению после возникновения 
повреждений на различных масштабных уровнях. 
К источникам прочностной живучести относятся: 
физико-механические свойства конструкционных 
материалов, позволяющие системе сопротивляться 
деформированию и разрушению; заложенный в систему запас прочности по различным механизмам 
достижения предельных состояний; наличие в системе структурной избыточности и альтернативных 
путей передачи нагрузки [6–13].
Понятие прочностной живучести системы центральное при анализе ее поведения после того как в ней 
возникают локальные повреждения. Системы, обладающие большой живучестью, разрушаются постепенно, 
сохраняя при этом ограниченную работоспособность. 
Это позволяет оператору системы принять защитные 
меры (провести ремонт, замену поврежденных элементов, перевести систему в безопасный режим эксплуатации, выполнить аварийный останов и т. д.), тем самым, 
сводя последствия аварии главным образом к первичному ущербу от повреждения элементов системы. Системы с малой живучестью разрушаются резко и катастрофически, что сопровождается как значительными 
вторичными и каскадными разрушениями, несоразмерными (непропорциональными) инициирующим 
воздействиям, так и вызванными ими первичными повреждениями. Накопление повреждений и разрушение 

Рискология
Riskology

Безопасность в техносфере, №4 (июль–август), 2016
5

СТС представляет собой иерархически организованный процесс, который развивается по всей иерархии 
масштабов, начиная от наномасштабов, соизмеримых 
с межатомными расстояниями, вплоть до макроскопического масштаба, определяемого структурой системы 
в целом.
На основании моделей и подходов, разработанных в рамках таких дисциплин, как физика прочности, физическая мезомеханика, механика накопления повреждений, механика разрушения, теория 
надежности, теория систем, механика катастроф, 
было показано, что для обеспечения адекватных 
результатов моделирования процессов накопления 
повреждений и разрушения, а в ряде случаев и для 
получения достаточно точных количественных оценок, явный одновременный учет всего множества 
масштабов избыточен и для описания указанных 
процессов вполне достаточно трех масштабно-структурных уровней [14, 15] (рис. 1).
• Мезоуровень интегрально учитывает более мелкие масштабы и характеризует физико-механические свойства конструкционного материала. 

Снизу мезоуровень задается минимальным 
объемом структурно-неоднородного материала, который можно наделить осредненными 
свойствами макрообъема. Для тела с трещиной 
мезоуровень определяется зернистостью материала в окрестности трещины.
• Макроуровень описывает процессы накопления повреждений и разрушение отдельных конструктивных элементов с учетом макродефектов (элементный уровень).
• Макроуровень характеризует последовательность разрушения в сопряженных элементах 
и системе в целом (системный уровень). В простейшей постановке полагается, что элементы 
СТС могут находиться в двух дискретных состояниях: «неповрежденном» и «разрушенном».
В простейшей постановке при современных методах технической диагностики (металлография, 
дефектоскопия, дефектометрия) можно ограничиться рассмотрением процессов разрушения на трех 
масштабных уровнях: 1) мезоуровне —  накопление 
повреждений в материале и разрушение мезообъемов; 2) элементном/локальном уровне —  развитие 
макродефектов и разрушение на уровне конструктивных элементов; 3) системном (глобальном) уровне —  последовательность разрушений конструктивных элементов, приводящая к разрушению системы 
в целом. При этом процессы, протекающие на нано-, 
микро- и мезоуровне, учитываются через механические характеристики конструкционных материалов. 
В соответствии с выделенными уровнями могут быть 
сформированы три уровня оценки живучести: 1) живучесть (стойкость) конструкционного материала; 
2) живучесть конструктивных элементов системы; 
3) структурная живучесть системы в целом.

2 . Живучесть конструкционного материала
Под живучестью (стойкостью) конструкционного 
материала понимается его способность полностью 
или частично сохранять свои физико-механические 
свойства и сопротивляться деформированию и разрушению при наличии деградационных повреждений различной природы (усталостных, радиационных, коррозионных и др.). Иными словами, стойкость 
материала в процессе развития деградационных процессов определяется стабильностью характеристик:
• диаграмм статического деформирования (предел текучести sT , предел прочности sb, истинное сопротивление разрыву в шейке SK, предельная пластическая деформация eC, модуль 
упрочнения m, предельная пластичность ψmax);

Рис . 1 . Масштабно-структурные уровни процесса накопления повреждений и разрушения системы:
а) мезомасштабный уровень (I); б) макромасштабный уровень 
разрушения конструктивных элементов (II); в) макромасштабный 
уровень разрушения системы (III)

·
·

1
2
3
4
k – 1
k
 

( )
L t

( )
L t

k

L(t)
k

I 
II 
III

( )
L t

( )
L t

a) 

б) 

в) 

( )
L t

·
·
·

Рискология
Riskology

6

• диаграмм циклического деформирования (размах напряжений S k
max
( )  в полуцикле k, ширина 
петли гистерезиса d( )
k , односторонне накопленная деформация за полуцикл D(k));
• диаграмм усталости (предел выносливости σ−1 , 
тангенс угла наклона левой ветви кривой усталости α);
• ударной вязкости KCV;
• характеристик механики разрушения (трещиностойкостью KIC);
• коррозионной, радиационной, химической 
стойкостью.
В такой постановке перечисленные характеристики следует рассматривать не как постоянные материала, а как функции от накопленной им степени 
повреждения D. При этом живучесть (стойкость) 
конструкционного материала может оцениваться 
на основании лабораторных испытаний стандартных образцов, в ходе которых будет фиксироваться 
снижение указанных характеристик при увеличении степени повреждения материала. В зависимости от того, какая из характеристик выбрана для 
оценки, могут быть предложены различные показатели живучести/стойкости конструкционного материала: силовые, деформационные, жесткостные, 
энергетические и т. д.
Пусть конструкционный материал получил (например, в случае предварительного циклического нагружения) определенную степень повреждения d* = 
NЭ/NC = 0,25, где NЭ и NC соответственно количество 
фактических циклов нагружения и циклов нагружения до разрушения при амплитуде напряжений sa. 
Тогда для рассматриваемой степени повреждения 
материала может быть предложен ряд точечных индексов живучести.
• Силовой индекс живучести материала, характеризующий снижение остаточной прочности 
материала при фиксированной степени повреждения d*:

 
λ
σ
σ
σ =
=
=
C
C
D
d
D
(
)/
(
)
*
0 .  
 (1)

Причем значение индекса λσ будет варьировать 
в интервале от 0 до 1 (для абсолютно живучего материала λσ →1, а в случае нулевой стойкости λσ → 0).
• Деформационный индекс стойкости материала, 
описывающий снижение способности поврежденного материла претерпевать пластические 
деформации до разрушения:

 
λe
C
C
e
D
d
e
D
=
=
=
(
)/
(
)
*
0 . 
 (2)

Аналогично могут быть введены индексы, характеризующие снижение модуля упругости материала, 
трещиностойкости, ударной вязкости и т. д.:

 
λE
E D
d
E D
=
=
=
(
)/ (
)
*
0 , 
(3)

 
λK
I
I
I C
C
C
K
D
d
K
D
=
=
=
(
)/
(
)
*
0 , 
(4)

 
λKCV
KCV D
d
KCV D
=
=
=
(
)/
(
)
*
0 . 
(5)

Точечные индексы живучести могут быть использованы, когда известна степень повреждения, 
которую получил материал. В иных случаях может 
быть предложен интегральный подход к определению стойкости материала, описывающий снижение 
механических свойств материала при варьировании 
степени его повреждения от D = 0 (состояние неповрежденного материала) до D =1 (состояние полного 
разрушения).
При этом в качестве интегрального показателя 
живучести используется площадь под кривой деградации механических свойств материала λ( )
D :

 
St
D dD
I

D

D

=

=

=
∫ λ( )

0

1

, 
(6)

где λ
ζ
ζ
( )
(
)/ (
)
D
D
d
D
=
=
= 0  —  отношение выбранной характеристики механических свойств поврежденного (D = d) и неповрежденного (D = 0) материала. 
В зависимости от доминирующего механизма разрушения в качестве характеристики механических 
свойств материала ζ могут использоваться различные переменные: предел прочности sb, предельная 
пластическая деформация eC, предел трещиностойкости KIC, и др. Зависимость λ( )
D , характеризующую 
снижение механических характеристик материала 
при накоплении им повреждений, можно назвать 
профилем живучести (стойкости) материала. Следует отметить, что совокупность профилей живучести, 
при построении которых в качестве характеристической переменной ζ выбираются стандартные (предел 
текучести sT, предел прочности sb, модуль упругости E, предел выносливости σ−1, трещиностойкость 
KIC) и дополнительные (модуль упрочнения G, истинное сопротивление разрыву Sk) механические свойства материала, будет наиболее полно описывать его 
стойкость в процессе деградации и накопления рассеянных повреждений.
Как и в случае точечных индексов, интегральный 
индекс живучести материала StI будет варьировать 
в интервале от 0 до 1 (для абсолютно живучего материала StI →1, а в случае нулевой живучести StI → 0). 
Например, отношение остаточной прочности sC  по

Рискология
Riskology

Безопасность в техносфере, №4 (июль–август), 2016
7

врежденного (D = d) и неповрежденного (D = 0) материала λ
σ
σ
σ =
=
=
C
C
D
d
D
(
)
(
)
0 . Тогда:

 
St
D
d
D
dD
I
C

C
D

D

,

(
)
(
)

σ
σ
σ
=
=
=
=

=
∫
0
0

1

. 
(7)

При этом показатель живучести StI,s становится 
интегральной характеристикой остаточной прочности поврежденного материала.
Аналогично могут быть введены другие интегральные индексы живучести материала:

 
St
e
D
d
e
D
dD
I e
C

C
D

D

,

(
)
(
)
=
=
=
=

=
∫
0
0

1

, 
(8)

 
St
E D
d
E D
dD
I e

D

D

,

(
)
(
)
=
=
=
=

=
∫
0
0

1

, 
(9)

 
St

K
D
d

K
D
dD
I K
I

I
D

D

I C

C

C

,

(
)

(
)
=

=

=
=

=
∫
0
0

1

,

 
St
KCV D
d
KCV D
dD
I KCV

D

D

,

(
)
(
)
=
=
=
=

=
∫
0
0

1

. 
(10)

При этом следует иметь в виду, что наиболее полно живучесть материала определяют не точечные 
оценки по выражениям (1)–(5) или интегральные 
оценки вида (7)–(10), а сами характеристики λ( )
D , 

называемые профилями живучести, которые описывают деградацию механических свойств при накоплении рассеянных микроповреждений материала.
Значения стойкости конструкционного материала 
к действию различных режимов термомеханического 
нагружения и воздействию агрессивных сред определяют вид соответствующих функций предельных 
состояний и являются определяющими параметрами при проведении дальнейшей оценки живучести 
системы на более высоких масштабно-структурных 
уровнях.

3 . Оценки живучести при проведении сценарного 
анализа разрушений СТС на макромасштабном 
уровне
Функционирование сложной технической системы может, как правило, быть представлено в виде 
траектории S0 в пространстве состояний, называемой сценарием успеха, призванным обеспечить переход из исходного состояния HC в заданное конечное 
состояние KC0. В ходе эксплуатации системы под 
действием различных режимов термомеханического 
нагружения, воздействием агрессивных сред и т. д. 
(H H
Hn
1
2
,
,...,
) ее отдельные элементы могут достигать 
предельных состояний ЛПСi(i = 1, 2, …, n), каждое 
из которых может инициировать последовательность 
неблагоприятных событий, составляющих сценарий разрушения системы (рис. 3). Подобные сценарии представляют собой процессы, реализующиеся 
на двух макромасштабных уровнях.
1. Возникновение и развитие макроповреждений 
(макротрещины, зоны локализации пластических 
деформаций, зоны локальной потери устойчивости/
гофры, очаги коррозионных поражений) элементов 
СТС, достижение ими локальных предельных состояний и разрушение элементов (локальный уровень — 
инициация катастрофы).
2. Эскалация аварии, когда вслед за разрушением 
отдельного элемента(ов) системы происходит перераспределение нагрузок, изменение напряженно деформированного состояния системы и запускается 
последовательность разрушений других элементов 
при возрастающих нагрузках и, следовательно, вероятностях разрушения продолжающих работать 
элементов (структурный уровень —  эскалация катастрофы).
Необходимо отметить, что ввиду высокой неопределенности относительно интенсивности режимов 
эксплуатационного нагружения, структуры, механических свойств конструкционных материалов и геометрических параметров конструктивных элементов рассматриваемой системы процесс накопления 

D  

1

1 

StI 

λ

 
D 

1 

1 

StI 

λ

D 

1 

1 

StI 

λ

а)
б)

в)

Рис . 2 . Профили живучести материала
а) низкий уровень живучести; б) средний уровень живучести;
в) высокий уровень живучести

Рискология
Riskology

8

 повреждений и разрушения должен анализироваться 
в сценарной вероятностной постановке [3, 15, 16].
Как было отмечено ранее, в соответствии с рассмотренными уровнями реализации процессов 
разрушения могут быть сформированы два уровня 
оценки живучести на макромасштабном уровне: локальный (элементный) и структурный/глобальный.

3.1. Живучесть конструктивных элементов 
системы
Конструктивные элементы технических систем 
в процессе эксплуатации подвергаются комбинированному воздействию повреждающих факторов 
(механических, температурных, радиационных, химических воздействий агрессивных сред), которые 
составляют режимы нагружения Hi(i = 1, 2, …, n).  
Вследствие их действия в наиболее нагруженных 
зонах наряду с общей деградацией структуры материала возможно возникновение макродефектов 
(макротрещин, областей локальных пластических 
деформаций, зон локальной потери устойчивости 
и т. д.), развитие которых может привести к достижению локальных предельных состояний различного 
типа ЛПСj(j = 1, 2, …, m) и разрушению элемента.
Эти предельные состояния образуют поверхность 
локальных предельных состояний (рис. 4а) [15, 16]. 
В зависимости от свойств конструкционных матери
F
ε =
 

F
 

0 

0
S

1

F
S

1
S
d

m

F
S

1
S
d
 

m 

j 

 

H3 
 

0 
N  

H 2 
 

H4 

C 

H 1 
 

1 
 

4 
 
3 

2 
 

Структурный уровень

Локальный уровень

КС F
m  ⇒  Unpm + Uкосm;  Rnpm + Rкосm

КС F
1  ⇒  Unp1 + Uкос1;  Rnp1 + Rкос1

КС δ
m  ⇒  Unpm;  Rnpm 

КС δ
1  ⇒  Unp1;  Rnp1 

ЛПС

ЛПС

ЛПС

ЛПС

ЛПС

ЛПС

НС

КС

Рис . 3 . «Дерево» сценариев, иллюстрирующее процесс разрушения системы на макромасштабном уровне
Область допустимых конечных состояний системы e и область разрушений F, KCi
d  —  конечные состояния, находящиеся в допустимой 

области, KCi
F  —  конечные состояния, находящиеся в области разрушений, Si
d  и Si
F  —  сценарии реализации допустимых конечных состояний и сценарии разрушения

алов, размеров конструктивных элементов и характера режима нагружения катастрофический отклик 
системы на комбинированное воздействие силовых 
факторов и среды может иметь характер хрупкого, 
квазихрупкого и вязкого разрушения. Конструктивные элементы, выполненные из хрупких материалов, 
разрушаются практически мгновенно в момент образования макродефектов. Элементы из квазихрупких и вязких материалов способны воспринимать 
нагрузку при образовании и росте макродефектов, 
разрушение в этом случае более длительный процесс, 
который можно отслеживать, контролировать и блокировать. При этом живучесть конструктивного элемента будет определяться возможностями средств 
технической диагностики и ремонта.
В случае накопления микроповреждений и возникновения в конструктивном элементе макроповреждений (макротрещин, областей местных 
пластических деформаций, зон локальной потери 
устойчивости/гофров, очагов коррозионного поражения) его способность воспринимать нагрузки 
и сопротивляться деформированию и разрушению 
будет снижаться. Под прочностной живучестью конструктивного элемента (живучестью на элементном 
уровне СТС) будет пониматься его способность сохранять, по крайней мере, частично свою несущую 
способность в течение некоторого времени (циклов 

Рискология
Riskology

Безопасность в техносфере, №4 (июль–август), 2016
9

нагружения) после возникновения микро- и макроповреждений различного типа.
Будем считать степень повреждения конструктивного элемента DЭ функцией двух обобщенных 
параметров:

 
DЭ = F d
( , )
δ ,

где: d —  накопленный уровень рассеянных повреждений конструкционного материала, определяемый, 
например, отношением числа циклов нагружения NЭ 
к числу циклов до идентификации макродефектов 
NC; d —  уровень накопленных макроповреждений, 
характеризующийся относительным размером, количеством, ориентацией и месторасположением макродефектов.
В зависимости от длительности нагружения τ, 
числа циклов нагружения N, размерa дефектов l 
и температуры t могут рассматриваться различные 
механизмы накопления повреждений и достижения 
предельных состояний (рис. 4а и 4б).
1) Механизмы разрушения при перегрузках (механизмы типа 1) в начальной стадии деформации  
(τ
τ
=
=
0
0 ) обусловлены экстремальными воздействиями, которые могут вызывать разрушение при 
малой исходной степени повреждения материала. 
При рассмотрении механизмов инициации макроповреждений и достижения предельных состояний, 
обусловленных перегрузками, исходят из того, что 
в максимально нагруженном объеме достигается 
предельное состояние (smax = sc, emax = ec) в момент, 
когда нагрузка Q окажется выше предельной несущей 

Рис . 4 . Механизмы инициации макроповреждений и достижения предельных состояний элементов СТС:
а) из квазихрупких и вязких материалов; б) из хрупких материалов
Gm —  этап живучести материала, GЭ —  этап живучести элемента, содержащего макродефект, I —  поверхность инициации макродефектов, 
II —  поверхность предельных состояний (разрушения) элемента, (A A A A
1
2
3
4
,
,
,
) и (B B B B
1
2
3
4
,
,
,
) —  соответственно точки инициации макроповрежений и достижения локальных предельных состояний элемента СТС в режимах нагружения 1, 2, 3, 4

способности Qc: Q
Qc
>
. В такой постановке считается, что нагрузки интенсивностью ниже предельного 
уровня Q
Qc
<
 не оказывают необратимого влияния 
на систему (ее несущую способность). В этом случае 
разрушение трактуется как первый предельный выброс из области защищенных (допускаемых) состояний, а история эксплуатационного нагружения при 
t < t0 при этом не учитывается.
2) Кумулятивные деградационные механизмы 
разрушения (усталость, износ, ползучесть, коррозия, 
эрозия) обусловлены непостоянством Q и постепенным накоплением повреждений d(τ, N) материала 
в мезообъеме, возникновением и ростом макродефектов. В процессе эксплуатации системы происходят снижение предельной несущей способности Qc 
и достижение предельных состояний на локальном 
и глобальном уровне (механизмы типа 2), при которых разрушение наступает при проектных (ординарных) воздействиях на систему при N = Nc (τ = τc или 
t = tc). В этом случае допускаемый циклический ресурс будет [N].
3) Накопление повреждений d(τ, N) может ускорить переход к предельному состоянию по линии 3, 
соответствующей реализации форсированного режима нагружения.
4) При эксплуатации возможна реализация программных режимов нагружения с экстремальными 
перегрузками Qф и деформациями [еф] по сценарию 4.
Особенность конструктивных элементов, материал 
которых находится в хрупком состоянии, —  их склонность к разрушению при образовании макро дефектов 
(рис.4б) [17]. В этом случае поверхность инициации 

0

I

2  

4  

1  

II 

3  

 

lg N

lg t
lg τ

Nc

B2

А2

А3

А4
B4

B1
A1

B3

GЭ
Gm

NЭ

σa

σc

σc  (D = 0)

σ
=
э
c
c

N
D
N

0

lg N

А2

А3

А4

B4

I

II

B1
A1

B3 GЭ → 0
Gm
σa

σc

2  

4  

1  

3  

lg τ

lg t

B2

Рискология
Riskology

10

макродефектов (I) и поверхность предельных состояний элемента (II) практически сливаются.
Уровень живучести конструкционного элемента 
может оцениваться путем сопоставления характеристик остаточной прочности, пластичности, жесткости поврежденного и неповрежденного элемента 
по выражениям, аналогичным уравнениям (1)–(5) 
для двух расчетных случаев поврежденных состояний элемента: накоплены микроповреждения материала элемента без образования макродефектов; наряду с накоплением микроповреждений произошла 
инициация макроповреждений конструкционного 
элемента.
Живучесть конструктивного элемента будет 
определяться стойкостью материала к накоплению 
микроповреждений и инициации макроповреждений, а также способностью элемента сопротивляться 
развитию макроповреждений, с учетом накопленной 
степени повреждения материала на нано-, микро- 
и мезомасштабном уровнях. Для первого расчетного 
случая оценка живучести конструктивного элемента 
может базироваться на использовании представленных в разделе 2 точечных индексах живучести конструкционного материала по выражениям (1)–(5) 
или интегральных показателей живучести по выражениям (7)–(10). Для второго расчетного случая необходимо отдельно решать задачи по оценке проч
d = 0

d = d* 

(t)
L
k

(t)
L
k

а)

б)

>

( ) 1

( )
( )

a
IC

a
б
IC
IC

K
const

K
K

P 

1

l
0

P F l

Рис . 5 . Макродефект в виде магистральной трещины

Рис . 6 . Макродефект в виде гофра

Рис . 7 . Функция живучести конструктивного элемента

ности, жесткости, устойчивости конструктивного 
элемента, содержащего макродефект: макротрещину 
(рис. 5), гофр (рис. 6) и т. д. Решение подобных задач 
осуществляется методами теории упругости, теории 
пластичности, механики накопления повреждений 
и механики разрушения. При этом необходимо учитывать накопленный уровень повреждения материала конструктивного элемента в окрестности макродефекта, изменение напряженно-деформированного 
состояния элемента после инициации макродефекта, 
эффекты концентрации напряжений и деформаций 
и проявление масштабного фактора.
В дополнение к указанным может быть введен 
временной показатель живучести конструктивного 
элемента:

 
L
t
t
T
cr
f
= −
1
/
,

где: tcr  —  промежуток времени от начала эксплуатации до момента, когда возникающий макродефект 
может быть обнаружен имеющимися средствами неразрушающего контроля; tf —  время до разрушения. 
Показатель LT варьирует в диапазоне от 0 (нулевая 
живучесть) до 1 (абсолютная живучесть) и характеризует резерв времени, который имеется на то, чтобы 
предпринять необходимые действия по ремонту или 
замене поврежденного элемента.

Рискология
Riskology

Безопасность в техносфере, №4 (июль–август), 2016
11

Оценка живучести конструктивного элемента 
может быть проведена в вероятностной постановке. В этом случае в качестве показателя живучести 
конструктивного элемента будет пониматься условная вероятность того, что элемент, находящийся под 
действием проектных режимов нагружения, не будет 
разрушен в течение заданного срока его эксплуатации, если в нем будет инициировано макроповреждение MD:

 
L
P F MD
P =
( |
) , 
(11)

где P F MD
( |
)  —  условная вероятность разрушения 
элемента, если в нем инициируется макродефект.
В более общей постановке может вводиться функция живучести конструктивного элемента, определяющая условную вероятность того, что рассматриваемый элемент, который подвергается проектному 
режиму нагружения, не разрушится в течение заданного срока эксплуатации, если в элементе будет инициирован макродефект с характерным размером l:

 
` L l
P F l
P( )
( | )
=
. 
(12)

В связи с тем, что помимо размера макродефекта 
на развитие процессов разрушения будет влиять накопленный уровень микроповреждений материала 
d*, функция живучести (12) может быть уточнена:

 
L l
P F l d
P( )
( | , )
=
.

В качестве косвенных показателей живучести 
конструктивных элементов могут рассматриваться 
запасы по различным механизмам достижения предельных состояний [6]:

 

1
max
(
/ )
[
]
;
;
;
Э
Э
в
в
T
n
n

в
T
в

Q
F
n
n
n
n

τ
−

σ
τ

σ
σ
σ
σ
σ = ϕ
= σ
= ,

где: sЭ
n— номинальное напряжение от максимальных 
нагрузок 
Э
max
Q
 в нормальных условиях эксплуатации; 
F —  площадь сечения; [sn] —  номинальное допускаемое напряжение; nв, nT, ns, nвt —  запасы прочности 
(по пределам прочности s2, текучести sT, выносливости s–1 и длительной прочности sвt). При этом, когда 
можно допустить наличие монотонно возрастающей функциональной зависимости между запасом 
ni по i-му механизму достижения предельных состояний и вероятностью неразрушения неповрежденного элемента по указанному механизму P Fi
( )  вида 

n
P F
i
i
= (
)
ϕ
( )  [21, 22], то можно утверждать, что и для 

поврежденного элемента вероятность его неразрушения P F l d
i
(
| , )  будет тем выше, чем больший начальный запас ni был установлен.

3.2. Живучесть системы на структурном уровне
Достижение предельного состояния и разрушение одного из (или нескольких) конструктивных 
элементов не означает обязательное и практически 
мгновенное разрушение системы в целом (рис. 3). 
Ввиду наличия избыточный связей и альтернативный путей передачи усилий воздействия, которые 
воспринимались разрушенным элементом, могут 
быть перераспределены на оставшиеся элементы, что 
в свою очередь может инициировать последовательность их разрушений и переход к магистральному 
макроразрушению. При этом состоявшееся достижение локального предельного состояния ЛПСj будет инициирующим событием, при котором происходят отклонение траектории системы от заданного 
сценария успеха S0 и «запуск» сценария разрушения 
Sl, приводящего систему в поврежденное состояние  
KCi(l = 0, 1, 2, ..., q) с ущербом U и с изменением параметров повреждаемости d(τ, N), сопротивления квазиупругому деформированию Еэ(τ, N).
Наиболее полной характеристикой структурной 
живучести системы является ее сценарный граф, 
а точнее, его часть, которая описывает события, происходящие после возникновения локальных повреждений, и характеризует реакцию системы на разрушение отдельных элементов. Анализ живучести 
на системном уровне предполагает исследование 
последовательности событий и причинно-следственных связей между ними, происходящими вслед за локальными повреждениями вплоть до достижения системой конечных состояний. Иными словами, анализ 
живучести системы заключается в проведении качественного и количественного исследования структуры сценариев эскалации аварии.
В качестве определяющих параметров, характеризующих прочностную живучесть как свойство технической системы сохранять работоспособное состояние 
после разрушения одного или нескольких элементов, 
могут быть использованы характеристики прочности, 
структурной целостности, жесткости, надежности 
и риска [15]. До настоящего времени не разработана 
унифицированная методология, позволяющая с единых позиций производить оценку живучести технических систем и нормативные показатели, которые 
должны обеспечиваться при проектировании. Однако 
были сформированы четыре основных подхода к решению задачи, в рамках которых были предложены 
соответствующие показатели живучести [9, 10, 18–22].

Рискология
Riskology

12

1) Детерминистский подход. В рамках этого подхода используются показатели, формирующиеся 
на основе сопоставлении различных (силовых, жесткостных, энергетических) детерминированных параметров системы в неповрежденном и поврежденном 
состояниях. В частности, живучесть может оцениваться исходя из силового критерия как отношение 
разрушающих нагрузок поврежденной (QF D
| ) и неповрежденной QF D
|  системы [18]:

 
L

Q

Q
Q
F D

F D
=
|

|

. 
 (13)

В более общей постановке, учитывающей множественность возможных повреждений (D1, D2,…, Dn), 
показатель живучести может быть определен как 
минимум отношения нагрузки QF Di
| , необходимой 
для разрушения системы, если система уже предварительно получила повреждение Di (разрушение i-го 
элемента), к величине нагрузки QF D| , необходимой 
для разрушения неповрежденной системы:

 
L
Q

Q
Q
i

F Di

F D
=
min
|

|

.  
 (14)

Рассматриваемая система считается живучей при 
LQ → 1. В рамках детерминистского подхода были 
предложены другие подобные показатели живучести, основанные на сравнении матриц жесткости 
неповрежденной и поврежденной систем. Детерминистская модель живучести системы лежит в основе 
механики катастроф, в рамках которой исследуются процессы накопления повреждений, достижения 
предельного (критического) состояния. Особое место 
в механике катастроф занимает изучение процесса 
закритического поведения элементов конструкций, 
они выходят из строя и оказывают влияние на другие элементы системы, порождая внутренние для самой конструкции негативные воздействия. Внешние 
и внутренние воздействия приводят к последовательности отказов элементов системы, инициирующих 
ее переход в аварийное состояние. Принципиальный недостаток детерминистского подхода к оценке 
оценки живучести заключается в том, что при его использовании не учитывается стохастическая природа характеристик механических свойств материалов 
и внешних нагрузок.
2) Вероятностный подход. В рамках этого подхода 
используются показатели, основанные на соотношении вероятностей разрушения P(F) (или показателей 

надежности b) неповрежденной и поврежденной систем [7]:

 
L
P F D
P F D
P =
( |
)
( |
)
.  
 (15)

Если P F D
P F D
( |
)
( |
)
=
, то система абсолютно 
живучая (LP =1). Если P F D
P F D
( |
)
( |
)
<<
, то LP → 0 
и система абсолютно неживучая. Если в системе возможны множественные локальные повреждения 
D D
Dn
1
2
,
,
,

, то показатель живучести может быть записан в виде:

 
L
P F D
P F D

P
i
n

i

=
=min
( |
)
( |
)
,...,
1
. 
(16)

Данный показатель сложно использовать 
на практике из-за трудности вычисления вероятности разрушения системы, а также широкого 
диапазона возможных значений вероятности, что 
осложняет сравнительный анализ проектных решений. Этот недостаток преодолевается при использовании индекса надежности b, который напрямую 
связан с вероятностью разрушения: β =
−
Φ 1(
)
PF , где 

Φ−1  —  функция, обратная нормированной функции Лапласа.
Рассмотрим величину резерва несущей способности M
g
R
Q
D
D
D
=
=
−
( )
X
, равную превышению 
несущей способности над нагрузкой. Поскольку r и q 
случайные величины, то M также случайная величина, имеющая математическое ожидание mM и среднеквадратическое отклонение sM. Их можно вычислить 
по математическим ожиданиям mR, mQ среднеквадратическим отклонениям sR, sQ величин R и Q:

 
µ
µ
µ
M
R
Q
=
−
. 
(17)

 
σ
σ
σ
ρ
σ σ
M
R
Q
RQ
R
Q
=
+
−
2
2
2
, 
(18)

где rRQ —  коэффициент корреляции между величинами R и Q.
Далее подсчитывается показатель надежности неповрежденной системы β
µ
σ
D
M
M
=
/
.
Аналогичным образом может быть рассчитать 
показатель надежности bD для системы, получившей 
локальное повреждение D. Для этого строится функция предельных состояний поврежденной системы 
λD
D
R
Q
( )
X =
−
 и определяется резерв несущей способности MD для поврежденной системы (здесь RD — 
несущая способность поврежденной системы после