Интенсивный курс общей методики преподавания математики

Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский педагогический государственный университет»

Н. Д. Кучугурова

ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ 
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Учебное пособие

МПГУ
Москва • 2014

УДК 372.851
ББК 74.262.21я73
 
К959

Автор-составитель: 
доктор педагогических наук, профессор Н. Д. Кучугурова

Рецензенты:
Л. И. Боженкова, доктор педагогических наук, доцент
И. Л. Тимофеева, доктор педагогических наук, профессор

 
Кучугурова, Нина Дмитриевна. 
К959  
Интенсивный курс общей методики преподавания математики : 
Учебное пособие / Н. Д. Кучугурова. –  Москва : МПГУ, 2014. – 
152 с. : ил.
 
 
ISBN 978-5-4263-0169-6

 
 
Учебное пособие составлено в соответствии с программой курса теории и методики обучения математике и предназначено для подготовки студентов к преподаванию математики в основной и старшей средней общеобразовательной школе 
и различных типах специализированных школ (гимназиях, лицеях). Данное пособие 
содержит курс лекций по общей методике преподавания математики, а также опорные конспекты и опорные сигналы практически к каждой теме.
 
 
Структура пособия предполагает использование интенсивных методов обучения, описание которых подробно дано во введении. Однако этим пособием можно 
пользоваться и при традиционной системе обучения.
 
 
Работа с опорными конспектами и сигналами поможет активизировать учебную 
деятельность студентов, научит выделять главное в изучаемом материале, вызовет 
стремление обучаемых к творческой и исследовательской деятельности, что, несомненно, повысит качество обучения, поможет сформировать целый комплекс профессиональных компетенций бакалавров и магистров.
 
 
Предназначено для студентов математических факультетов педагогических 
вузов, университетов, а также учителей математики.

УДК 372.851
ББК 74.262.21я73

ISBN 978-5-4263-0169-6 
 © МПГУ, 2014
 
 © Кучугурова Н. Д., 2014

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

ПРЕДМЕТ МЕТОДИКИ 
ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

РЕАЛИЗАЦИЯ ДИДАКТИЧЕСКИХ ПРИНЦИПОВ
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

МЕТОДЫ ОБУЧЕНИЯ МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

МЕТОДЫ НАУЧНОГО ПОЗНАНИЯ 
В ОБУЧЕНИИ МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ 
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ 
МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

КОНТРОЛЬ ЗНАНИЙ ПО МАТЕМАТИКЕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

ФОРМЫ ОРГАНИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ. УРОК . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

ВНЕКЛАССНАЯ РАБОТА ПО МАТЕМАТИКЕ  . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ ТЕОРЕМ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

ЛИТЕРАТУРА  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

ПРИЛОЖЕНИЯ  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

ВВЕДЕНИЕ

Изменения в социально-экономической и политической жизни 
России не могли не отразиться и на системе образования. Переход на 
двухуровненвую систему высшего профессионального образования 
«бакалавр-магистр» отразился и на подготовке педагогических кадров, в частности, на изучении предметов методического цикла. При 
подготовке бакалавров ощущается недостаток времени на курсы теории и методики обучения математике, а при работе в магистратуре 
по направлению «Педагогическое образование» выявляется нехватка 
методических знаний у обучаемых, особенно у тех студентов, которые 
обучались в технических вузах. Поэтому первоначально необходимо 
быстро и качественно изучить общие методические основы преподавания математики, на что и нацелено данное пособие.
В связи с этим акцент подготовки специалиста должен переместиться на сам процесс познания, эффективность которого полностью 
зависит от активности его субъекта. Достижение этой цели находится 
в прямой зависимости от той педагогической технологии, которую мы 
применяем, поэтому задачей педагога является оптимальный выбор 
имеющихся технологий или создание своей технологии, на что способен только педагог-мастер.
Основу технологии подготовки кадров составляют: рациональный 
отбор и структурирование учебного материала, выбор приемов и методов обучения, создание комплексного методического обеспечения, научная организация совместной деятельности преподавателей и студентов.
Первоначальным звеном формирования профессиональных умений 
является предварительная теоретическая подготовка, которая усиливается с началом изучения систематического курса «Теория и методика 
обучения математике». Для продолжения параллельной теоретической 
подготовки необходимо время, выделить которое при использовании 
только традиционных методов обучения практически невозможно. 
Поэтому возникает необходимость использования новых методов обучения на основе интенсификации учебного процесса.
Интенсификацию обучения можно определить как повышение производительности учебного труда учителя и ученика в каждую единицу 
времени. Идея интенсификации сегодня справедливо рассматривается 
многими учеными как стратегия и тактика развития высшей школы. 
Они сходятся на том мнении, что пути интенсификации различны, но 
при всем их многообразии логико-структурные схемы и опорные сиг

ВВЕДЕНИЕ

налы выступают одним из наиболее действенных средств. На чрезвычайную важность схем еще в свое время указывал известный историк 
Л. Н. Гумилев. «Схема, – писал он, – целенаправленное обобщение 
материала: она позволяет обозреть суть предмета исследования, отбросить затемняющие мелочи. Схему усвоить легко, значит, остаются 
силы на то, чтобы продвинуться дальше, то есть поставить гипотезы 
и организовать их проверку. Схема – это скелет работы, без которого 
она превращается в медузу...» [27].
Нами установлено, что только комплексное применение логикоструктурных схем и опорных сигналов позволяет устранить следующие противоречия:
• между растущим объемом содержания обучения и постоянным 
дефицитом учебного времени;
• между требованием включения студента в учебно-познавательную деятельность и существующим характером ее организации.
Наше исследование показало, что преодоление данных противоречий возможно, если при выборе средств и методики формирования 
умений будущих учителей исходить из выводов, полученных в результате многочисленных психолого-педагогических экспериментов, 
в частности, что:
• человек способен воспринять больше информации, содержащейся в образах, чем в словах;
• для увеличения объема памяти важнейшее значение имеет рациональная группировка исходного материала переход на более крупные единицы информации;
• для облегчения запоминания необходимо в запоминаемом материале исключить избыточную информацию;
• переводу информации в долговременную память способствует перекодирование запоминаемого материала;
• большую роль при запоминании учебного материала играет направленность обучаемого на длительное запоминание;
• продуктивность осмысленного запоминания примерно в 20 раз 
больше механического и связана с эмоциональной сферой личности обучаемого.
Отсюда следует принципиальный вывод, смысл которого состоит 
в том, что опорные конспекты (логико-структурные схемы) и опорные 
сигналы будут использованы как важнейшее средство формирования 
профессиональных умений будущих учителей.
Опорный конспект (логико-структурная схема) – это сжатое изложение основных моментов определенной темы, представленной 

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

в виде таблицы, где стрелками, знаками или другими средствами отражены существенные связи между структурными компонентами данной темы.
Опорный сигнал – это знаково-символическая модель, отражающая информацию указанной темы в закодированном виде.
Итак, поскольку информация закодирована, то требуется специальная учебная деятельность по раскрытию предметного смысла опорного сигнала, поэтому опорные сигналы можно рассматривать как 
схему ориентировочной основы действий как по освоению, так и по 
контролю за усвоением учебного материала. Указанное положение мы 
рассматриваем как основной подход использования опорных сигналов 
в учебном процессе – раскрытие структуры и сущности содержания 
учебного материала через развертывание структуры опорного сигнала и предметную интерпретацию его составляющих. Эти два момента 
являются важнейшими элементами формирования схемы ориентировочной основы действия, обеспечивающими ведущие предпосылки 
становления у студента целостного системного знания, на основе которых формируются соответствующие умения.
Опорный сигнал несет главную базовую информацию, опираясь на 
которую можно воспроизвести и некоторый связанный с ней материал, 
но не присутствующий реально в опорном носителе. Именно это свойство опорного сигнала как стимула к раскрытию сути всего объема 
связанной с ним информации и использовалось нами для активизации 
учебного процесса, без чего невозможно формирование умений.
В процессе разработки и составления опорных сигналов по методике обучения математике учитывалось, что лист опорного сигнала – это система опорных сигналов, имеющих структурную связь 
и представляющих собой наглядную конструкцию, имеющую систему 
значений, понятий, идей как взаимосвязанных элементов. В свою очередь опорный сигнал – это ассоциативный символ, заменяющий некое 
смысловое значение. Опорные сигналы могут быть в виде ключевых 
слов, букв, цифр, условных знаков, рисунков, схем, эскизов. Опорные 
сигналы – это то, что выработало человечество системой общения.
Для составления опорных сигналов были учтены принципы: лаконичность (300–400 печатных знаков); структурность (4–5 связок, логических блоков); смысловой акцент (рамки, отделение одного блока от 
другого, оригинальное расположение символов); унификация печатных знаков; автономность; доступность воспроизведения и др.
Нами установлено, что разработка листа опорного сигнала должна 
осуществляться в таком логическом порядке:

ВВЕДЕНИЕ

• выбирается тема изучаемого курса и разбивается на логические 
куски, или блоки (от 3 до 7);
• из изучаемой темы вычленяются основные вопросы, понятия, 
которые обозначаются опорными сигналами: буквенными, рисуночными, графическими и др. (например, метод обучения можно 
обозначать буквенным сигналом М, т. е. первыми буквами этих 
слов); лучше использовать различные символы;
• определяется центральный блок и обозначается цифрой – 1 (последующие блоки пронумеровываются (в углу блока) в логическом порядке);
• лист опорного сигнала должен быть достаточно емким (берутся 
только ключевые логические мысли), простым в рисовании, содержащим ряд ярких легко запоминающихся «вех», по которым 
легко восстанавливается весь материал лекции;
• основная опорная информация выделяется крупно;
• наносится цвет на блоки для лучшего запоминания материала;
• в одном из нижних углов опорного сигнала можно указать номер 
лекции, параграф и страницы учебника данной темы;
• к опорному сигналу дается дешифровка по блокам, т. е. краткое 
описание закодированного текста.
При разработке опорного сигнала надо начинать с анализа текста, 
так как он должен отражать смысловую структуру темы, сконцентрировать теоретический материал в блоки, композиция которых помогает лучше усвоить смысловые части изучаемой темы.
Блоки отделяются друг от друга цветом, графически. Каждый лист 
опорного сигнала унифицированный. Он может быть более запоминающимся, если опоры будут писаться броско, необычно, располагаться 
рельефно, будут разными по цвету. Цвет – сигнал важности материала. Но цвет блоков должен быть неярким и различным. «Каждый лист 
опорного сигнала – маленькое открытие» [27, с. 7].
Как мы уже отмечали, наряду с опорными сигналами мы используем 
и опорные конспекты, которые занимают как бы промежуточное положение между текстом лекции и опорным сигналом, т. е. это сжатое изложение текста лекции, представленное таблицей. Составляются они с учетом 
тех же психолого-педагогических требований на основе методики укрупнения дидактических единиц, разработанной П. М. Эрдниевым.
Таким образом, опорные сигналы – это не только наглядная схема 
(шаблон) для заполнения, но прежде всего средство для интерпретации учебной информации (ее кодовой формы), иными словами, для ее 
понимания.

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Представление учебной информации в виде опорных сигналов 
должно проводиться не только на основе анализа структуры и ее содержания, но и обязательно с учетом всех видов учебной деятельности 
по ее усвоению в ходе учебного процесса.
Итак, опорные сигналы в системе вузовского преподавания – одна 
из форм обучения, сутью которой является многократное развертывание опорного сигнала (конспекта) в полный текст и обратное его 
свертывание в схему, что способствует формированию у студента 
умения быстро и точно схватывать суть излагаемого, развивает способность мыслить зрительными образами, улучшает запоминание 
материала, умение выделять главное в нем и производить целесообразный отбор материала в связи с поставленной целью, в частности 
с целью контроля. 
Исследованием установлено: дешифровки опорных сигналов вырабатывают алгоритмы рассуждения, развивая логическое мышление. 
Благодаря им облегчается проблема управления процессом усвоения 
знаний путем тематического, блочного контроля, что приучает студентов к самостоятельной работе. Это создает благоприятную почву для 
формирования умения самоконтроля, его совершенствования, взаимоконтроля, а также умения осуществлять контроль и оценку учебно-познавательной деятельности обучающихся.
Кроме этого, при новом подходе к изложению материала студенты 
освобождаются от записей под диктовку учителя [у них имеются опорные конспекты] и усвоение материала идет за меньшее время и с меньшими затратами энергии. Слушая объяснение преподавателя (многократное), студенты не боятся что-то упустить (у студентов двойная 
страховка – конспекты и зарисованные опорные сигналы).
Чтобы лучше понять преимущества опорных сигналов и их применение в лекционных занятиях в вузе, необходимо указать на недостатки 
традиционной лекции. Главное состоит в том, что напряженная работа 
преподавателя в аудитории сочетается с пассивностью значительной 
части студентов, поэтому усвоение материала идет трудно. Методы 
и формы организации традиционной лекции не позволяют преподавателю реализовать развитие цели, не обеспечивают активность студентов на занятии, не дают преподавателю оперативной обратной связи, 
а в связи с этим затрудняют формирование умений.
В настоящее время в связи с переходом вузов на многоуровневую 
подготовку и выделением отдельного блока методической подготовки лекции не могут оставаться неизменными ни по содержанию, ни 
по направленности, ни по форме. Опорные же конспекты и сигналы 

ВВЕДЕНИЕ

позволяют придать лекции демонстрационно-развивающий или установочно-нацеливающий характер, они способствуют превращению 
лекции из информационно-репродуктивной в структурно-нацеливающую, или проблемно-поисковую, или обзорно-тематическую. Опорные сигналы придают лекции четкость и конкретность. В связи с этим 
изменяется их форма: наряду с классическими в систему включены 
лекция-диалог, лекция-размышление, лекция с элементами деловой 
игры, лекции вдвоем и т. п.
Новый подход в обучении позволяет изменить систему лекционных 
занятий: в условиях применения опорных сигналов на занятиях обеспечивается постоянное вовлечение студентов в совместную работу, 
диалог с преподавателем, что предполагает своеобразную подготовку 
студентов к лекции, они изучают схемы (есть варианты и с опережением), готовятся к 3–5-минутному опросу, анализируют предыдущую 
лекцию, задают по ней вопросы, осуществляют взаимоконтроль и по 
просьбе преподавателя придумывают разнообразные формы контроля данной темы. Это вырабатывает у студентов привычку готовиться 
к занятиям, повышает их ответственность, создает положительную 
мотивацию и благоприятную почву для формирования педагогического профессионализма.
Специфической особенностью применения опорных сигналов 
и конспектов является использование преподавателем новой системы 
изложения материала. Суть ее в многократности объяснения, повторения и осмысления с различных точек зрения подаваемого преподавателем материала.
Кроме опорных конспектов и сигналов после каждой лекции студентам даются вопросы для самоконтроля, а также предлагаются задания (т. е. выполнение их на данном этапе по желанию).
Наш опыт работы показал, что использование опорных сигналов 
позволяет снять у студентов внутреннюю напряженность, стимулирует мыслительные действия, способствует развитию таких творческих операций, как анализ, синтез, сравнение, обобщение; вызывает 
устойчивый интерес к изучаемой теме и учебной дисциплине в целом. 
Одна из причин положительных сдвигов в развитии обучающихся заключается в учете особенностей их возраста при разработке методики, 
где одним из ведущих принципов является кратковременная концентрация внимания (изложение нового материала по этапам в быстром 
темпе). Другой причиной является ориентир на гуманизацию образования, которая, согласно последним психолого-педагогическим исследованиям, «выступает как:

КУЧУГУРОВА Н. Д. ИНТЕНСИВНЫЙ КУРС ОБЩЕЙ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

• условие (фактор) гармоничного развития сущностных (физических и духовных) сил, творческого потенциала личности;
• процесс, направленный на развитие и саморазвитие личности как 
субъекта творческой деятельности;
• существенная характеристика образа жизни педагогов и воспитанников, предполагающая установление подлинно человеческих 
(гуманных) отношений между ними и с окружающими;
• аксиологический компонент педагогического мышления, утверждающий полисубъектную (диалогическую) сущность образовательного процесса» [59, с. 6].
При использовании опорных сигналов необходимо помнить 
о том, что они не существуют как средство учения без деятельности обучаемого (студента), поэтому к каждому опорному сигналу преподаватель продумывает систему заданий по усвоению 
содержания.
Особое внимание мы обратили на задания, связанные с помещением на листе опорного сигнала ошибочных вариантов образцов действий. Можно это делать или нельзя? Зависит ли понимание сущности 
таких заданий от возраста обучаемых? Проверив экспериментально 
реакцию студентов и школьников разных возрастных групп на включение в задания ошибочных вариантов рассуждений, мы убедились 
в справедливости высказывания: «Обучение только на идеальных 
образцах профессионально не полноценно». В жизни не все безупречно и безошибочно, поэтому работу с неадекватными опорными 
сигналами не только можно, а нужно планировать. И это есть один из 
методических приемов, который учит критически относиться к любой ситуации, оценке своего поведения при выполнении действий, 
помогает найти причину ошибки и составить план ее устранения. 
А это как раз является одним из трудных моментов формирования 
умения осуществлять контроль и оценку учебно-познавательной деятельности учащихся.
Рассмотрим, например, опорный конспект (см. таблицу в приложении) и опорный сигнал (рисунок в приложении) по теме «Задачи в обучении математике». Опорный конспект является сжатым изложением 
текста лекции, которая охватывает следующий круг вопросов: определение задачи, разъяснение смысла выражения: «Задача является целью 
и средством обучения математике», функции задач в обучении математике, классификация задач, процесс решения задачи, общие приемы 
мыслительной деятельности при решении задач и организация обучения решению математических задач.