Нормированные кольца

УДК 512.5
ББК 22.144
Н 20

Н а й м а р к
М. А.
Нормированные
кольца.
—
3-е изд.,
—
М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 688 с. — ISBN 978-5-9221-1273-4.

В книге излагаются основы теории нормированных колец и их обобщений
и приложения этой теории к анализу, теории приближений функций в комплексной области, теории представлений групп, гармоническому анализу на
коммутативной группе и другим вопросам.
Краткое содержание книги.
Глава I — основные сведения из топологии, функционального анализа
и теории интегрирования в форме, удобной для использования в остальных
частях книги. Глава II — основные сведения из теории нормированных колец.
Глава III — теория коммутативных нормированных колец. Глава IV — теория
представлений симметричных колец. Глава V — теория различных классов
колец. Глава VI — групповые кольца, теория унитарных представлений топологических групп. Глава VII — слабо замкнутые кольца. Глава VIII — разложение
кольца операторов в гильбертовом пространстве на неприводимые кольца и
применение к разложению унитарного представления группы на неприводимые
представления (написана заново).
Добавление I — частично упорядоченные множества и лемма Цорна. Добавление II — борелевские множества и борелевские функции. Добавление III —
аналитические множества. (Добавления II и III написаны специально для
понимания главы VIII.)
В книгу включены примеры, поясняющие основной текст и указывающие на
различные применения теории, а также литературные указания о полученных
главным образом в последнее время усилениях излагаемых в основном тексте
результатов.
Во втором издании число примеров, литературных указаний, а также библиография существенно увеличены, текст подвергся переработке, для многих
результатов написаны новые, более простые доказательства, многие новые
результаты добалены в главах II–VII.
В книге 3 рисунка. Библиография содержит 1118 названий.

ISBN 978-5-9221-1273-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2010

c⃝ М. А. Наймарк, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Пр ед и с л о в и е к о в т о р о м у и з д а н и ю . . . . . . . . . . . . .. . . .. .. .. .
12
И з
п р ед и с л о в и я к
п е р в о м у и з д а н и ю . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
13

Г л а в а I. Основные сведения из топологии и функционального
анализа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
16
§ 1. Линейные пространства . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
16
1. Определение линейного пространства (16).
2. Линейная зависимость н независимость векторов (17). 3. Подпространства (19).
4. Факторпространство (20). 5. Линейные операторы (21). 6. Действия с операторами (24). 7. Инвариантные подпространства (28).
8. Выпуклые множества (28). 9. Теоремы о продолжении линейного функционала (33).
§ 2. Топологические пространства. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .. .. .. .
38
1. Определение топологического пространства (38).
2. Внутренность множества; окрестности (39).
3. Замкнутые множества;
замыкание множеств (40).
4. Подпространства (41).
5. Отображения топологических пространств (42).
6. Бикомпактные множества (43).
7. Хаусдорфовы пространства (44).
8. Нормальные
пространства (46). 9. Локально бикомпактные пространства (48).
10. Теорема Стоуна (49).
11. Слабая топология, определенная
семейством функций (52).
12. Топологическое произведение пространств (53). 13. Метрические пространства (56). 14. Компактные множества в метрических пространствах (61).
15. Топологическое произведение метрических пространств (62).
§ 3. Топологические линейные пространства. . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
65
1. Определение
топологического
линейного
пространства (65).
2. Замкнутые подпространства в топологических линейных пространствах (67).
3. Выпуклые множества в локально выпуклых
пространствах (68).
4. Задание локально выпуклой топологии
при помощи полунорм (69).
5. Случай конечномерного пространства (72).
6. Непрерывные линейные функционалы (74).
7. Сопряженное пространство (77). 8. Выпуклые множества в конечномерном пространстве (80). 9. Выпуклые множества в сопряженном
пространстве (81). 10. Конусы (86). 11. Аннуляторы в сопряженном пространстве (87).
12. Аналитические вектор-функции (89).
13. Полные локально выпуклые пространства (90).

Оглавление

§ 4. Нормированные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
90
1. Определение нормированного пространства (90). 2. Ряды в нормированном пространстве (96).
3. Факторпространства полного
нормированного пространства (97).
4. Ограниченные линейные
операторы (98).
5. Ограниченные линейные функционалы; сопряженное пространство (102).
6. Вполне непрерывные операторы (103).
7. Аналитические вектор-функции в полном нормированном пространстве (105).
§ 5. Гильбертово пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
107
1. Определение гильбертова пространства (107). 2. Проекция вектора на подпространство (110). 3. Ограниченные линейные функционалы в гильбертовом пространстве (113).
4. Ортогональные
системы векторов в гильбертовом пространстве (115).
5. Ортогональная сумма подпространств (121). 6. Прямая сумма гильбертовых пространств (122). 7. График оператора (123). 8. Замкнутые
операторы; замыкание оператора (124).
9. Сопряженный оператор (125). 10. Случай ограниченного оператора (129). 11. Обобщение на операторы в пространстве Банаха (132). 12. Операторы
проектирования (133).
13. Приводимость (137).
14. Частично
изометрические операторы (138).
15. Матричное представление
оператора (139).
§ 6. Интегрирование на локально бикомпактном пространстве. . . .. .. .. .
141
1. Основные понятия; постановка задачи (141). 2. Основные свойства интеграла (142).
3. Расширение интеграла на полунепрерывные снизу функции (143). 4. Верхний интеграл произвольной
неотрицательной вещественной функции (145).
5. Внешняя мера
множества (147). 6. Эквивалентные функции (148). 7. Простран
ства
L 1 и L1 (149).
8. Суммируемые множества (154).
9. Измеримые множества (157).
10. Измеримые функции (158).
11. Вещественное пространство L2 (164).
12. Комплексное пространство L2 (166).
13. Пространство L∞ (167).
14. Положительная
и отрицательная части линейного функционала (167).
15. Теорема Радона–Никодима (168).
16. Пространство, сопряженное
к L1 (170). 17. Комплексные меры (173). 18. Интеграл на прямом
произведении пространств (174).
19. Интегрирование векторных
и операторных функций (180).

Г л а в а II.
Основные понятия и предложения теории нормированных колец . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
182

§ 7. Основные алгебраические понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
182
1. Определение кольца (182).
2. Кольца с единицей (184).
3. Центр (187).
4. Идеалы (187).
5. Радикал (193).
6. Гомоморфизм и изоморфизм колец (196). 7. Регулярные представления
кольца (197).
§ 8. Топологические кольца . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .. .. .. .
199
1. Определение топологического кольца (199).
2. Топологическое присоединение единицы (201).
3. Кольца с непрерывным

Оглавление
7

обратным (201).
4. Резольвента в кольце с непрерывным обратным (204).
5. Топологические тела с непрерывным обратным (205). 6. Кольца с непрерывным квазиобратным (206).
§ 9. Нормированные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
207
1. Определение нормированного кольца (207).
2. Присоединение
единицы (208). 3. Радикал в нормированном кольце (208). 4. Банаховы кольца с единицей (209).
5. Резольвента в банаховом
кольце с единицей (211). 6. Непрерывный гомоморфизм нормированных колец (212). 7. Регулярные представления нормированного
кольца (213).
§ 10. Симметричные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
216
1.
Определение
и
простейшие
свойства
симметричного
кольца (216). 2. Положительные функционалы (219). 3. Нормированные симметричные кольца (221). 4. Положительные функционалы
в банаховом симметричном кольце (222).

Г л а в а III.
Коммутативные нормированные кольца . . . . . . . . .. .. .. .
225
§ 11. Реализация коммутативного нормированного кольца в виде кольца
функций. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
225
1. Факторкольцо по максимальному идеалу (225).
2. Функции
на максимальных идеалах, порожденные элементами кольца (226).
3. Топологизация множества всех максимальных идеалов (229).
4. Случай кольца без единицы (233).
5. Система образующих
кольца (234). 6. Аналитические функции элементов кольца (236).
7. Винеровские пары колец (240). 8. Функции нескольких элементов кольца; локально аналитические функции (242).
9. Разложение кольца в прямую сумму идеалов (244). 10. Кольца с радикалом (245).
§ 12. Гомоморфизм и изоморфизм коммутативных колец . . . . . . . .. .. .. .
247
1. Единственность нормы в полупростом кольце (247). 2. Случай
симметричных колец (249).
§ 13. Кольцевая граница. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
249
1. Определение и основные свойства кольцевой границы (249).
2. Расширение максимальных идеалов (251).
§ 14. Вполне симметричные коммутативные кольца. . . . . .. . . . . . .. .. .. .
254
1. Определение вполне симметричного кольца (254).
2. Критерий вполне симметричности (255).
3. Применение теоремы Стоуна (255).
4. Кольцевая граница вполне симметричного кольца (257).
§ 15. Регулярные кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
257
1. Определение регулярного кольца (257).
2. Нормальные кольца функций (258).
3. Структурное пространство кольца (260).
4. Свойства регулярных колец (262).
5. Случай кольца без единицы (267).
6. Достаточное условие регулярности кольца (267).
7. Примарные идеалы (267).
§ 16. Вполне регулярные коммутативные кольца. . . . . . .. . . . . . . .. .. .. .
269
1. Определение и простейшие свойства вполне регулярного кольца (269).
2. Реализация
вполне
регулярных
коммутативных

Оглавление

колец (271). 3. Обобщение на мультинормированные кольца (278).
4. Симметричные подкольца кольца C(T) и бикомпактные расширения пространства T (279). 5. Антисимметричные подкольца кольца C(T) (280).
6. Подкольца кольца C(T) и некоторые вопросы
теории приближений (281).

Г л а в а IV. Представления симметричных колец . . . . . . . . . . .. .. .. .
285

§ 17. Основные понятия и предложения теории представлений . . . .. .. .. .
285
1.
Определение
и
простейшие
свойства
представления (285).
2.
Прямая
сумма
представлений (286).
3.
Описание
представлений
при
помощи
положительных
функционалов
(288).
4.
Представления
вполне
регулярных
коммутативных
колец;
спектральная теорема (292).
5. Спектральные операторы (302).
6. Неприводимые представления (304). 7. Связь между векторами
и положительными функционалами (306).
§ 18. Включение симметричного кольца в кольцо операторов . . . . .. .. .. .
307
1. Регулярная норма (307). 2. Приведенное кольцо (308). 3. Минимальная регулярная норма (311).
§ 19. Неразложимые функционалы и неприводимые представления . .. .. .
314
1. Положительные функционалы, подчиненные данному (314).
2. Кольцо Cf (316). 3. Неразложимые положительные функционалы (317). 4. Теоремы полноты и аппроксимации (318).
§ 20. Применение к коммутативным симметричным кольцам. . .. . . .. .. .. .
322
1. Минимальная регулярная норма в коммутативном симметричном
кольце (322).
2. Положительные функционалы в коммутативном
симметричном кольце (323). 3. Примеры (326). 4. Случай вполне
симметричного кольца (331).
§ 21. Обобщенная лемма Шура . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
339
1. Каноническое разложение оператора (339).
2. Основная теорема (341).
3. Применение к прямым суммам попарно неэквивалентных представлений (343).
4. Применения к представлениям,
кратным данному неприводимому представлению (344).
§ 22. Некоторые представления кольца B(H) . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
346
1. Идеалы в кольце B(H) (346).
2. Кольцо I0 и его представления (350). 3. Представления кольца B(H) (352).

Г л а в а V. Некоторые специальные кольца . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
355

§ 23. Вполне симметричные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
355
1. Определение и примеры вполне симметричного кольца (355).
2. Спектр (356).
3. Теоремы о продолжении (358).
4. Критерий
вполне симметричности (366).
§ 24. Вполне регулярные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
368
1. Основные свойства вполне регулярных колец (368).
2. Реализация вполне регулярного кольца в виде кольца операторов (370).
3. Факторкольцо вполне регулярного кольца (373).

Оглавление
9

§ 25. Дуальные кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
375
1. Аннуляторные и дуальные кольца (375).
2. Идеалы в аннуляторном кольце (376). 3. Полупростые аннуляторные кольца (380).
4. Простые аннуляторные кольца (386).
5. Гильбертовы кольца (389). 6. Вполне регулярные дуальные кольца (392).

§ 26. Кольца вектор-функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
395
1. Определение кольца вектор-функций (395).
2. Идеалы в кольце вектор-функций (396).
3. Теоремы о принадлежности векторфункции кольцу (399). 4. Случай вполне регулярных колец (400).
5. Континуальный аналог леммы Шура (408).
6. Структурное
пространство вполне регулярного кольца (417).

Г л а в а VI. Групповые кольца . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
420

§ 27. Топологические группы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
420
1. Определение группы (420). 2. Подгруппы (422). 3. Определение и простейшие свойства топологической группы (422). 4. Инвариантный интеграл и инвариантная мера на локально бикомпактной
группе (424).
5. Существование инвариантного интеграла на локально бикомпактной группе (425).

§ 28. Определение и основные свойства группового кольца. . . . . . .. .. .. .
434
1. Определение группового кольца (434).
2. Некоторые свойства
группового кольца (437).

§ 29. Унитарные представления локально бикомпактной группы и их
связь с представлениями группового кольца . . . . . . . .. . . . . .. .. .. .
441
1. Унитарные представления группы (441).
2. Связь между представлениями группы и группового кольца (441).
3. Теорема полноты (446). 4. Примеры (447).

§ 30. Положительно определенные функции. . . . . . . . .. . . . . . . . .. .. .. .
461
1. Положительно определенные функции и их связь с унитарными представлениями (461). 2. Связь положительно определенных
функций с положительными функционалами в групповом кольце (464). 3. Регулярные множества (468). 4. Тригонометрические
многочлены на группе (471). 5. Спектр (472).

§ 31. Гармонический анализ на коммутативной локально бикомпактной
группе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
476
1. Максимальные идеалы группового кольца коммутативной группы; характеры (476).
2. Группа характеров (481).
3. Положительно определенные функции на коммутативной группе (483).
4. Формула обращения и теорема Планшереля для коммутативной
группы (485). 5. Свойство отделимости множества [L1 ∩ P] (490).
6. Теорема двойственности (491).
7. Унитарные представления
коммутативной
группы (493).
8. Теоремы
тауберовского
типа (493). 9. Случай бикомпактной группы (498). 10. Сферические
функции (500). 11. Операция обобщенного сдвига (502).

Оглавление

§ 32. Представления бикомпактных групп . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
506

1. Кольцо L2(G) (506).
2. Представления бикомпактной группы (507). 3. Тензорное произведение представлений (513). 4. Теорема двойственности для бикомпактной группы (514).

Г л а в а VII. Кольца операторов в гильбертовом пространстве . .. .. .
519

§ 33. Различные топологии в кольце B(H). . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
519
1. Слабая топология (519). 2. Сильная топология (519). 3. Сильнейшая топология (522). 4. Равномерная топология (522).
§ 34. Слабо замкнутые подкольца кольца B(H) . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
523
1.
Основные
понятия
(523).
2.
Главная
единица
(523).
3. Центр (528). 4. Факторизация (528).
§ 35. Относительная эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
529
1. Операторы и подпространства, присоединенные к кольцу (529).
2. Основная лемма (530).
3. Определение относительной эквивалентности (531).
4. Сравнение замкнутых подпространств (532).
5. Конечные и бесконечные подпространства (535).
§ 36. Относительная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
539
1. Целая часть отношения двух подпространств (539).
2. Случай
существования минимального подпространства (540).
3. Случай
отсутствия минимального подпространства (541).
4. Существование и свойства относительной размерности (542). 5. Область изменения относительной размерности; классификация факторов (547).
6. Инвариантность класса фактора по отношению к симметричному
изоморфизму (549).
§ 37. Относительный след. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
550
1. Определение следа (550).
2. Свойства следа (551).
3. След
в факторах классов (I∞) и (II∞) (557).
§ 38. Структура и примеры некоторых классов факторов . . . .. . . . .. .. .. .
557
1. Отображение M → M(M) (557).
2. Матричное описание факторов классов (I) и (II) (560).
3. Описание факторов класса
(I) (562).
4. Структура факторов класса (II∞) (564).
5. Пример
фактора класса (II1) (565). 6. Аппроксимативно конечные факторы
класса (II1) (567).
7. Соотношение между классами факторов M
и M ′ (568).
8. Соотношение между симметричным и пространственным изоморфизмами (568).
9. Неограниченные операторы,
присоединенные к фактору конечного класса (568).
§ 39. Унитарные кольца и кольца со следом . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
569
1. Определение унитарного кольца (569).
2. Определение кольца
со следом (569). 3. Унитарное кольцо, определенное следом (569).
4. Канонический след в унитарном кольце (570).

Г л а в а VIII.
Разложение
кольца
операторов
на
неприводимые
кольца. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
574

§ 40. Постановка задачи; каноническая форма коммутативного кольца
операторов в гильбертовом пространстве . . . . . . . . .. . . . . . .. .. .. .
574

Оглавление
11

1. Постановка задачи (574).
2. Лемма о сепарабельности (576).
3. Каноническая форма коммутативного кольца (577).
§ 41. Прямой интеграл гильбертовых пространств; разложение кольца
операторов в прямой интеграл неприводимых колец. . . . . . . .. .. .. .
580
1. Прямой интеграл гильбертовых пространств (580).
2. Разложение гильбертова пространства в прямой интеграл по заданному
коммутативному кольцу R (584). 3. Разложение по максимальному
коммутативному кольцу. Условие неприводимости (589).
4. Разложение унитарного представления локально бикомпактной группы
на неприводимые представления (593).
5. Центральные разложения и факторпредставления (598).
6. Представления в пространстве с индефинитной метрикой (598).

Д о б а в л е н и е
I.
Частично упорядоченные множества и лемма
Цорна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
601

До б а в л е н и е II. Борелевские пространства и борелевские функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
602

До б а в л е н и е III.
Аналитические множества . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
604
С п и с о к л и т е р а т у р ы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
612
И м е н н о й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. .. .
668
Пр ед м е т н ы й у к а з а т е л ь . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. .. .. .
674
Го т и ч е с к и й а л ф а в и т . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .. .. .. .
685

Предисловие ко второму изданию

В этом втором издании переработан и улучшен первоначальный
текст, отдельные части написаны заново; заново и более доступно
написана глава VIII. При этом учтены изменения и дополнения, сделанные автором в японском, немецком, первом и втором американских,
а также в румынском (литографированном) изданиях.
Для удобства читателя в книгу включены добавления II и III,
необходимые для понимания главы VIII.
В книге отражены многие новые результаты теории, интенсивно
развивавшейся за десятилетие, прошедшее после выхода в свет первого
издания. Разумеется, ограничения на объем книги заставили автора
произвести при этом жесткий отбор и во многих случаях ограничиться лишь формулировкой новых результатов или литературными
указаниями. Автор вынужден был также сделать отбор в исключительно обширном количестве новых работ при составлении дополненного
списка литературы. В этот список и в литературные указания к главам включены монографии и обзоры по отдельным вопросам теории,
вышедшие в свет за последнее десятилетие. Автор надеется, что эти
дополнения и литературные указания дадут читателю возможность
ориентироваться также в новых вопросах теории.
Автор весьма признателен всем коллегам, указавшим после выхода
в свет первого издания на отдельные содержавшиеся в нем опечатки
и неточности.
Д. А. Райков и М. Г. Сонис тщательно отредактировали рукопись
и своими замечаниями способствовали улучшению отдельных мест
книги; кроме того, М. Г. Сонисом написаны пп. 3, 5 § 9, п. 7 § 11,
IX п. 2 § 18, следствия 1–4 из I п. 3 § 23 и IV, V п. 3 § 23.
Автор считает своим приятным долгом выразить Д. А. Райкову
и М. Г. Сонису глубокую благодарность. Автор благодарен А. З. Рывкину за внимательное отношение к рукописи и выражает признательность
Д. П. Желобенко за помощь при чтении корректур.

Москва, февраль 1967 г.
М. А. Наймарк