Динамика материальной точки: решебник
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Математика
Издательство:
Южный федеральный университет
Год издания: 2010
Кол-во страниц: 120
Дополнительно
Вид издания:
Практическое пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-9275-0773-3
Артикул: 632759.01.99
Доступ онлайн
65 ₽
В корзину
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.04: Прикладная математика
- ВО - Специалитет
- 01.05.01: Фундаментальные математика и механика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
МИНИСТЕРСТВО ОБР АЗОВАНИЯ И НА УКИ РОССИЙСК ОЙ ФЕДЕР АЦИИ Федеральное госу дарственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования ¾Ю ЖНЫЙ ФЕДЕР АЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ¿ Ф АКУ ЛЬ ТЕТ МА ТЕМА ТИКИ, МЕХАНИКИ И К ОМПЬЮТЕРНЫХ НА УК О. А. Беляк, С. В. Дерезин, А. В. Попов, В. М. Шутьк о, О. В. Явру ян ДИНАМИКА МА ТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ Р остов-на-Дону Издательство Южного федерального университет а 2010
У ДК 531.8 ББК 22.21 Д 46 Печатается по решению редакционно-издате льского совета Южного федер ального университета Р ецензенты: зав. кафедрой теоретической и ко мпьютерной гидро аэродинамики ЮФ У , доктор технических наук, про фессор Снопов А. И.; зав. кафедрой сопротивления материалов Д ТУ , доктор технических наук, про фессор Со ловь¼в А. Н. Р ешебник подготовлен и издан в р амках национального проекта ¾Обр азование¿ по ¾Прогр амме р азвития федер ального государственного обр азовате льного учреждения высшего про фессионального обр азования "Южный федер альный университет" на 20072010 гг.¿ Беляк О. А., Дерезин С. В., Попов А. В., Шутьк о В. М., Явру ян О. В. Д 46 Динамик а материальной точки: решебник / Беляк О. А., Дерезин С. В., Попов А. В., Шутьк о В. М., Явру ян О. В. Р остов н/Д: Изд-во ЮФ У , 2010. 120 с. ISBN 978-5-9275-0773-3 Р ешебник со дер жит решения наиболее пок азательных зада ч динамики материальной точки. В к аждом мо ду ле кратк о изло ж ены основные теоретические поло ж ения. В прило ж ение вынесены алгоритмы решения нек оторых зада ч, реализованные в среде Maple 10. Предназна чен для сту дентов факу ль тет а математики, мех аники, и к омпьютерных на ук, изучающих курс теоретическ ой мех аники. ISBN 978-5-9275-0773-3 У ДК 531.8 ББК 22.21 ⃝ Беляк О. А., мо ду ль 2, 2010 ⃝ Дерезин С. В., мо ду ль 4, 2010 ⃝ Попов А. В., мо ду ль 1, 2010 ⃝ Шутьк о В. М., мо ду ль 1, 2, 5, 2010 ⃝ Явру ян О. В., мо ду ль 3, 2010 ⃝ Южный федеральный университет , 2010 ⃝ Оформление. Мак ет . Издательство Южного федерального университет а, 2010
Ог лавление Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Мо ду ль 1. Дифференциальные уравнения движ ения материальной точки . Основные зада чи динамики точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Мо ду ль 2. Колебательное движ ение материальной точки . . . . . . . . . 27 Мо ду ль 3. Основные теоремы динамики материальной точки . . . . . . . 65 Мо ду ль 4. Смешанные зада чи динамики материальной точки . . . . . . . 85 Мо ду ль 5. Относительное движ ение материальной точки . . . . . . . . . 96 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Прило ж ение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
В В Е Д Е Н И Е Р ешебник по теоретическ ой мех аник е ¾Динамик а материальной точки¿ предназначен для сту дентов специальностей ¾мех аник а¿ , ¾математик а¿ и ¾прикладная математик а¿ факу ль тет а математики, мех аники и к омпьютерных на ук Южного федерального университет а, а т акж е мо ж ет быть рек омендован для препо давателей и сту дентов технических вузов. Р азработ ан решебник с целью облегчить сту дент ам у своение теоретическ ого и практическ ого материала на наиболее пок азательных примерах, к оторые о хватывают практически весь спектр зада ч по данной тематик е. Важность раздела ¾Динамик а материальной точки¿ в курсе теоретическ ой мех аники обу словлена тем, что знания, полученные сту дент ами при изучении этого раздела, являютс я основой для изучения следующих разделов курса: динамики материальной системы и динамики твер дого тела. Учтены особенности препо давания курса теоретическ ой мех аники для сту дентов специальности ¾мех аник а¿ в университете. Нек оторые из проанализированных в пособии зада ч помогут сту дент ам по дготовитьс я к самосто ятельной работе, в том числе к выполнению индивиду альных заданий. Р ешебник разбит на пять мо ду лей, освещающих следующие темы: дифференциальные уравнения движ ения материальной точки, к олебательное движ ение материальной точки, основные теоремы динамики материальной точки, смешанные зада чи динамики материальной точки и относительное движ ение материальной точки. Мо ду ли на чинаютс я с кратк ого изло ж ения теории, далее следуют у словия зада ч и их решения. По дбор зада ч в¼лс я с основной опорой на сборник И. В. Мещерск ого [8℄, поэтому при решении зада ч из этого сборник а ук азывалс я тольк о номер зада чи. В ост альных случаях приво дилась ссылк а на источник. Р асполо ж ены зада чи в пор ядк е возраст ания сло жности. В к аждом из мо ду лей сту дент ам предло ж ены зада чи для самосто ятельного решения с целью закрепления материала. Т акж е приведена программа алгоритма решения зада ч с использованием универсального математическ ого пак ет а MAPLE 10.
М О Д У Л Ь 1 Дифференциальные уравнения движ ения материальной точки. Основные зада чи динамики точки Динамика изучает движ ение мех анических систем в зависимости от причин, вызывающих движ ение, т . е. от действующих сил. Материальная точка это тело т аких малых размеров, что различием в движ ении его от дельных частей мо жно пренебречь, точк а имеет массу m , равную массе всего тела. Материальная точк а ¾по отношению к кинематическим х арактеристик ам (траектория, ск орость, у ск орение)... мо ж ет рассматриватьс я к ак геометрическ ая точк а, по отношению к действующим силам она ведет себ я к ак материальное тело приро ды¿ [5℄. Мо дель материальной точки вполне дост аточно описывает поступательное движ ение тела, т ак к ак в этом случае ¾мо жно ограничитьс я изучением движ ения о дной к ак ойнибу дь точки этого тела, приписав ей массу , равную массе всего тела¿ [12 ℄. Понятие материальной точки и зак оны е¼ движ ения используютс я и в динамик е системы материальных точек, и в динамик е твер дого тела, например при применении теоремы о движ ении центра масс. Далее материальную точку бу дем для кратк ости называть просто точк ой. В основу мо дели движущейс я материальной точки поло ж ен второй закон Ньютона. Производная по вре мени от ко личества движения точки mv р авна р авнодействующей F приложенных к точке сил: d i=1 Fi. (1.1) dt (mv) = F , F = n X
Мо ду ль 1 Для точки посто янной массы имеем [3, 6, 7, 13 ℄ mdv dt = F , mw = F . (1.2) В (1.1), (1.2) v ск орость, w у ск орение точки. Следовательно, второй зак он Ньютона мо жно сформу лировать ина че: произведение массы точки на ускорение р авно р авнодействующей силе, приложенной к точке постоянной массы. Уравнение (1.2) мо жно переписать в виде mЁ r = F , (1.3) г де r радиу с-вектор точки относительно инерциальной системы отсч¼т а. В пр ямо(1.3) да¼т систему дифференциальугольной дек артовой системе к оор динат Ox1x2x3 ных уравнений движ ения материальной точки в ск алярной форме: mЁ xk = Fk, k = 1, 2, 3. (1.4) В естественной системе к оор динат , г де τ к асательный орт , n г лавная нормаль, b бинормаль [3℄, (1.3) да¼т mЁ s = Fτ, mv2 ρ = Fn, 0 = Fb. (1.5) Напомним, что s(t) зак он движ ения точки, т . е. рассто яние от на чала отсч¼т а до движущейс я точки, измеренное вдоль дуги траектории. Т ог да v = ˙ s, wτ = Ё s, wn = v2 ρ , (1.6) г де ρ радиу с кривизны траектории. Отметим, что траектория движущейс я по д действием силы F точки т ак ова, что сила F располо ж ена в соприк асающейс я плоск ости, Fb = 0 сог ласно (1.5) [3 ℄. Первая (основная) зада ча динамики материальной точки заключаетс я в том, что по заданному зак ону движ ения точки xk = xk(t), k = 1, 2, 3 (1.7)
Дифференциальные уравнения движ ения материальной точки 7 и известной массе m нах о дят действующую на точку силу (или о дну из действующих , k = 1, 2, 3 , использу я (1.4) и (1.7). сил), т . е. функции Fk Вторая (основная) зада ча динамики материальной точки состоит в том, чтобы по заданным силам, прило ж енным к точк е массы m , определить зак он движ ения точки. Для этого следу ет проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (1.4). Это система тр¼х уравнений второго пор ядк а, общее решение к оторой получим в виде функций времени t и шести произвольных посто янных Cj (j = 1, 2, . . . , 6): xk = xk(t, C1, . . . , C6), k = 1, 2, 3. (1.8) в (1.8) используют на чальные у слоДля определения произвольных посто янных Cj вия движ ения точки, т . е. на чальное поло ж ение точки r0 и на чальную ск орость v0 : в на чальный момент времени t0 xk(t0, C1, . . . , C6) = xk0, ˙ xk(t0, C1, . . . , C6) = vk0, k = 1, 2, 3. (1.9) . В резу ль т ате получают систему шести алгебраических уравнений для нах о ждения Cj В случае, если на точку нало ж ены связи, пользуютс я ак сиомой освобо ждаемости добавляют г лавный вектор i=1 Fi пассивных сил (реакций связей) R. Т ог да дифференциальные уравнения движ ения от связей к г лавному вектору активных сил F = n P принимают вид: в векторной форме mЁ r = F + R (1.10) и в ск алярной форме (проекции на оси к оор динат) mЁ xk = Fk + Rk, k = 1, 2, 3. (1.11) К уравнениям (1.11) присоединяют уравнения связей. Нак онец, возмо жны частные случаи движ ения: движ ение в плоск ости (k = 1, 2 ) и пр ямолинейное (k = 1). Обратим внимание чит ателя, что в решениях зада ч этого и последующих мо ду лей для к оор динат дек артовой системы использовались обозна чения x, y, z , к ак это принято в [8℄. Привед¼м решения зада ч на нах о ждение силы, действующей на точку (первая зада ча динамики материальной точки).
Мо ду ль 1 Зада ча 1.1 (26.15) Т ело массы 2,04 кг совершает к олебательное движ ение по горизонт альной пр ямой м. Найти зависимость силы, действующей на тело, от к осог ласно зак ону x = 10 sin πt 2 ор динаты x , а т акж е наибольшую величину этой силы. Р ешение Движ ение точки являетс я пр ямолинейным, в (1.4) ост а¼тс я единственное уравнение, к оторое запишетс я в виде F = mЁ x. Найд¼м у ск орение w = Ё x = −10π2 4 sin πt 2 . Т ог да мо ж ет быть получена зависимость зна чения силы F от времени t : F = −π2 4 m10 sin πt 2 = −5 2 mπ2 sin πt 2 , т аким образом, к олебательное движ ение точк а совершает по д действием г армоническ ой силы. Получим зависимость зна чения силы F от к оор динаты x : F = −π2 4 mx = −2,04π2 4 x = −5,033x. (1.12) Наибольшей величины сила F достиг ает первый раз при t1 = 3 с, к ог да sin πt1 2 = −1 , Fmax = 50,33 Н. (1.13) Зада ча 1.2 (26.26) руз массы m = 600 кг посредством ворот а по днимают по наклонному шурфу , с горизонтом. Коэффициент трения f груза о повер хность сост авляющему угол α = 60◦ . Найти шурфа равен 0,2 . Ворот радиу са r = 0,2 м вращаетс я по зак ону ϕ = 0,4t3 нат яж ение троса к ак функцию времени и зна чение этого нат яж ения через 2 с после на чала по дъ¼ма.
Дифференциальные уравнения движ ения материальной точки 9 Р ешение По у словию зада чи, на по днимаемый груз действуют четыре силы (рис. 1.1). Сила т яж ести mg направлена по вертик али вниз. Сила давления повер хности шурфа N направлена вдоль повер хности шурфа тр по нормали к повер хности. Сила трения F в сторону , противополо жную направлению движ ения. Нат яж ение троса S вдоль повер хности по направлению движ ения. Систему к оор динат Oxy введ¼м т ак, чтобы на чало отсч¼т а O нах о дилось в поло ж ении, отку да груз на чинает движ ение, ось Ox была направлена вдоль наклонной повер хности шурфа. x S N тр F y mg α O Рис. 1.1 Уравнение движ ения (1.10) запишетс я в виде mЁ r = S + mg + F тр + N, в проекциях на оси к оор динат получаем тр, (1.14) mЁ x = S −mg sin α −F 0 = N −mg cos α. (1.15) Из соотношения (1.15) нах о дим величину нормального давления N = mg cos α . Зна чение силы трения определяетс я к ак предельное зна чение силы трения ск ольж ения [4℄ F тр = fN = fmg cos α.
Мо ду ль 1 Т аким образом, в правой части уравнения движ ения (1.14) величины всех сил, кроме иск омого нат яж ения троса S , найдены. Т еперь необ х о димо найти у ск орение w = Ё x груза. Длина троса уменьшаетс я, т ак к ак трос наматываетс я на вращающийс я ворот . Р ассто яние x , на к оторое переместитс я груз вдоль наклонного шурфа, равно длине намот анной части троса: x = rϕ = 0,2 · 0,4t3 = 0,08t3. Т ог да w = Ё x = 0,48t . Из (1.14) нах о дим нат яж ение троса S = mЁ x + mg(sin α + f cos α). По дст авляя численные зна чения m , α и f , получаем зна чение S к ак функцию времени 3 Н = (288t + 5680) Н = (0,288t + 5,68) кН. (1.16) 2 + 0,2 · 1 2 S = 600 0,48t + 9,8 √ Через 2 с после на чала по дъ¼ма нат яж ение троса примет зна чение S(2) = (0,288 · 2 + 5,68) Н = 6,256 кН. (1.17) Зада ча 1.3 (26.28) руз M веса 10 Н по двешен к тросу длины l = 2 м и совершает вместе с тросом к олебания сог ласно уравнению ϕ = π 6 sin 2πt , г де ϕ угол отклонения троса от вертитроса в нижнем к али в радианах, t время в секундах. Определить нат яж ения S1 и S2 и вер хнем поло ж ениях груза (рис. 1.2). Р ешение , найд¼м из у слоМоменты времени, соответствующие нижнему поло ж ению груза M1 являетс я к орнем уравнения sin 2πt = 0, отсю да t = k вия ϕ = 0 (рис. 1.2), т . е. t1 , k ∈Z , 2 тог да в к а честве наименьшего неотрицательного момент а времени возьм¼м t1 = 0. , Вер хние поло ж ения груза M2 и M3 (рис. 1.2) х арактеризуютс я у словием ϕ = ±π 6 . , t3 = 3 sin 2πt = ±1 , t = 1 , k ∈Z , тог да t2 = 1 4 + k 2 4 4
Доступ онлайн
65 ₽
В корзину