Экономико-математическое моделирование

экономико-математическое 

моделирование

практическое пособие 

по решению задач

Москва

ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК • ВЗФЭИ

2008

И.В. ОРЛОВА

УДК 338.24(075.8)
ББК 65.23я73
     О66

всероссиЙскиЙ ЗаочнЫЙ Финансово-экономическиЙ инститУт

Ректор – акад. А.Н. Романов

Председатель научно-методического совета –

проф. Д.М. Дайитбегов

Орлова И.В. 
Экономико-математическое моделирование: Практическое посо
бие по решению задач. — М.: Вузовский учебник, 2008. — 144 с.

ISBN 978-5-9558-0007-3

Рассмотрены задачи математического моделирования экономических 

процессов на базе компьютерных технологий подготовки и принятия решений. В качестве инструментального средства моделирования используется 
стандартная офисная программа EXCEL.

Учебное пособие предназначено для студентов и аспирантов всех 

экономических специальностей вузов при изучении курса «Экономикоматематические методы и прикладные модели» и выполнении выпускных 
квалификационных работ, а также для практических работников, занимающихся анализом текущего финансово-экономического состояния и будущего развития фирм и предприятий.

УДК 338.24(075.8)

ББК 65.23я73

О66

ISBN 978-5-9558-0007-3
© ВЗФЭИ, 2004

‚‚…„…Ќ€…

Ќовый ѓосудаpственный стандаpт высшего пpофессионального обpазованиЯ обЯзывает активизиpовать лабоpатоpный
компонент обpазованиЯ. ‚ тpебованиЯх к учебно-методическому
обеспечению учебного пpоцесса указано: ЗPеализациЯ основной
обpазовательной пpогpаммы подготовки дипломиpованного специалиста должна включать выполнение студентом лабоpатоpнопpактических pабот по дисциплинам специальности, включаЯ как
обЯзательный компонент выполнение пpактических заданий на
пеpсональных компьютеpах с использованием пакетов пpикладных пpогpаммИ1.
“чебное пособие составлено в соответствии с тpебованиЯми
ѓосудаpственных обpазовательных стандаpтов подготовки специалистов по специальностЯм ЗЃухгалтеpский учет и аудитИ, ЗЊенеджментИ, З”инансы и кpедитИ, ЗЊаpкетингИ, Зќкономика тpудаИ и
Зѓосудаpственное и муниципальное упpавлениеИ.
Џособие состоит из четыpех глав.
‚ пеpвой главе ЗЋптимизационные экономико-математические
моделиИ подpобно pассмотpена технологиЯ pешениЯ задач оптимального использованиЯ pесуpсов и специальных задач линейного
пpогpаммиpованиЯ (тpанспоpтнаЯ задача, задача о назначениЯх,
задачи целочисленного пpогpаммиpованиЯ) с помощью надстpойки
Excel/Џоиск pешениЯ. Ѓольшое внимание уделено анализу полученных оптимальных pешений с помощью двойственных оценок.
€зложение пpактических пpимеpов показывает возможные
пути совеpшенствованиЯ учебного пpоцесса за счет пеpедачи pутинных вычислений компьютеpу. ќто позволЯет пpеподавателю
напpавить внимание учащихсЯ на глубокое осмысление изучаемых Явлений, пpименЯть активные методы обучениЯ.
‚тораЯ глава ЗЃалансовые моделиИ содеpжит описание метода
Ззатpаты С выпускИ. ‚ ней пpиведены пpимеpы постpоениЯ моделей междунаpодной тоpговли и межотpаслевого баланса.
‚ тpетьей главе ЗЊетоды и модели анализа и пpогнозиpованиЯ
экономических пpоцессов с использованием вpеменных pЯдовИ
пpиведены пpимеpы постpоениЯ пpогнозов с использованием
ЗЏакета анализаИ/Excel.

1 ѓосудаpственный обpазовательный стандаpт высшего пpофессионального
обpазованиЯ. ‘пециальность С 060500 Ѓухгалтеpский учет, анализ и аудит.

—етвеpтаЯ глава С лабоpатоpнаЯ pабота ЗPешение задач линейного пpогpаммиpованиЯ с использованием Microsoft ExcelИ. Ћна
содеpжит pуководство к выполнению лабоpатоpной pаботы,
инстpукцию по использованию Microsoft Excel длЯ pешениЯ задач
и поpЯдок выполнениЯ pаботы. ‚се заданиЯ длЯ выполнениЯ
лабоpатоpных pабот имеют выpаженное экономическое содеpжание.

ѓлава 1. ЋЏ’€Њ€‡Ђ–€ЋЌЌ›…
ќЉЋЌЋЊ€ЉЋ-ЊЂ’…ЊЂ’€—…‘Љ€…
ЊЋ„…‹€

1.1.
ЋЃ™Ђџ ‡Ђ„Ђ—Ђ ЋЏ’€Њ€‡Ђ–€€.
ЏP€Њ…P› ‡Ђ„Ђ— ‹€Ќ…‰ЌЋѓЋ
ЏPЋѓPЂЊЊ€PЋ‚ЂЌ€џ

‚ экономике оптимизационные задачи возникают
в свЯзи с многочисленностью возможных ваpиантов функциониpованиЯ конкpетного экономического объекта, когда возникает
ситуациЯ выбоpа ваpианта, наилучшего по некотоpому пpавилу,
кpитеpию, хаpактеpизуемому соответствующей целевой функцией (напpимеp, иметь минимум затpат, максимум пpодукции).
Ћптимизационные модели отpажают в математической фоpме
смысл экономической задачи. Ћтличительной особенностью этих
моделей ЯвлЯетсЯ наличие условиЯ нахождениЯ оптимального
pешениЯ (кpитеpиЯ оптимальности), котоpое записываетсЯ в виде
функционала. ќти модели пpи опpеделенных исходных данных
задачи позволЯют получить множество pешений, удовлетвоpЯющих
условиЯм задачи, и обеспечивают выбоp оптимального pешениЯ,
отвечающего кpитеpию оптимальности.
‚ общем виде математическаЯ постановка задачи математического пpогpаммиpованиЯ состоит в опpеделении наибольшего
или наименьшего значениЯ целевой функции f (х1, х2, ..., хn) пpи
условиЯх gi (х1, х2, ..., хn) ≤ bi; (i = 1, 2, ..., m), где f и gi С заданные
функции, а bi С некотоpые действительные числа.
‡адачи математического пpогpаммиpованиЯ делЯтсЯ на задачи
линейного и нелинейного пpогpаммиpованиЯ. …сли все функции
f и gi С линейные, то соответствующаЯ задача ЯвлЯетсЯ задачей
линейного пpогpаммиpованиЯ. …сли хотЯ бы одна из указанных
функций С нелинейнаЯ, то соответствующаЯ задача ЯвлЯетсЯ задачей нелинейного пpогpаммиpованиЯ.
‹инейное пpогpаммиpование С область математики, pазpабатывающаЯ теоpию и численные методы pешениЯ задач нахождениЯ экстpемума (максимума или минимума) линейной функции
многих пеpеменных пpи наличии линейных огpаничений, т.е.
линейных pавенств или неpавенств, свЯзывающих эти пеpемен

ные. Љ задачам линейного пpогpаммиpованиЯ сводитсЯ шиpокий
кpуг вопpосов планиpованиЯ экономических пpоцессов, где ставитсЯ задача поиска наилучшего (оптимального) pешениЯ.
‘pеди задач нелинейного пpогpаммиpованиЯ наиболее глубоко изучены задачи выпуклого пpогpаммиpованиЯ. ќто задачи, в
pезультате pешениЯ котоpых опpеделЯетсЯ минимум выпуклой
(или максимум вогнутой) функции, заданной на выпуклом замкнутом множестве.
‚ свою очеpедь, сpеди задач выпуклого пpогpаммиpованиЯ
более подpобно исследованы задачи квадpатичного пpогpаммиpованиЯ. ‚ pезультате pешениЯ таких задач тpебуетсЯ в общем
случае найти максимум (или минимум) квадpатичной функции
пpи условии, что ее пеpеменные удовлетвоpЯют некотоpой системе
линейных неpавенств или линейных уpавнений либо некотоpой
системе, содеpжащей как линейные неpавенства, так и линейные
уpавнениЯ.
Ћтдельными классами задач математического пpогpаммиpованиЯ ЯвлЯютсЯ задачи целочисленного, паpаметpического и дpобно-линейного пpогpаммиpованиЯ.
‚ общем виде задача линейного пpогpаммиpованиЯ (‡‹Џ) ставитсЯ следующим обpазом:
найти вектоp X  = (х1, х2, ..., хn), максимизиpующий линейную
фоpму

f X
c x
j
j
j

n
( )
max
=
→
∑
=1
(1.1)

и удовлетвоpЯющий условиЯм

    
a x
b
ij
j
i
j

n
≤
∑
=
,
1
(1.2)

xj ≥ 0,  j = 1, ..., n.
(1.3)

‹инейнаЯ функциЯ f X
( ) называетсЯ целевой функцией задачи.
“словиЯ (1.2) называютсЯ функциональными, а (1.3) С пpЯмыми
огpаничениЯми задачи.
‚ектоp X  = (х1, х2, ..., хn), компоненты котоpого удовлетвоpЯют
функциональным и пpЯмым огpаничениЯм задачи, будем называть планом, или допустимым pешением ‡‹Џ.
‚се допустимые pешениЯ обpазуют область опpеделениЯ задачи линейного пpогpаммиpованиЯ, или область допустимых

pешений. „опустимое pешение, максимизиpующее целевую
функцию f X
( ) , называетсЯ оптимальным планом задачи

f X
f X
(
)
max
( ),
* =

где X
x
x
xn
*
*
*
*
(
,
,...,
)
=
1
2
С оптимальное pешение ‡‹Џ.

Ќа пpактике хоpошо заpекомендовали себЯ следующие модели, относЯщиесЯ к оптимизационным: опpеделениЯ оптимальной
пpоизводственной пpогpаммы; оптимального смешиваниЯ компонентов; оптимального pаскpоЯ; оптимального pазмещениЯ
пpедпpиЯтий некотоpой отpасли на опpеделенной теppитоpии;
фоpмиpованиЯ оптимального поpтфелЯ ценных бумаг; тpанспоpтной задачи.
„лЯ pешениЯ ‡‹Џ существует унивеpсальный метод С метод
последовательного улучшениЯ плана, или симплекс-метод, котоpый состоит из двух вычислительных пpоцедуp: симплекс-метода
с естественным базисом и симплекс-метода с искусственным
базисом (Њ-метод).
‚ыбоp конкpетной вычислительной пpоцедуpы осуществлЯетсЯ после пpиведениЯ исходной задачи к каноническому виду задачи линейного пpогpаммиpованиЯ (Љ‡‹Џ):

    max
(
,
,...,
)
,
f x
x
x
c x
n
j
j
1
2
= ∑

    a x
b
i
m
ij
j
i
=
=
∑
,
, ,...,
,
1 2

xj ≥  0,   j = 1, 2, ..., n;   bi ≥  0,    i = 1, 2, ..., m.

Ѓудем считать, что ‡‹Џ записана в канонической фоpме, если
ее целеваЯ функциЯ максимизиpуетсЯ, огpаничениЯ имеют вид
pавенств с неотpицательной пpавой частью и все пеpеменные
неотpицательные.
‚ теоpии линейного пpогpаммиpованиЯ показано, что оптимальное pешение ‡‹Џ свЯзано с угловыми (кpайними) точками
многогpанника pешений, котоpым отвечают опоpные планы
(неотpицательные базисные pешениЯ системы уpавнений Љ‡‹Џ).
Љаждый из опоpных планов опpеделЯетсЯ системой m линейно
независимых вектоpов, содеpжащихсЯ в данной системе из n
вектоpов Ђ1, Ђ2, ..., Ђn. ‚еpхнЯЯ гpаница количества опоpных планов, содеpжащихсЯ в данной задаче, опpеделЯетсЯ числом соче
таний   Cm
n .

Pешение ‡‹Џ симплекс-методом ЗвpучнуюИ подpобно pассмотpено в [1], [5] и дp.
Pассмотpим несколько пpимеpов задач линейного пpогpаммиpованиЯ.

1.1.1. ‡адача оптимального использованиЯ pесуpсов
(задача о ковpах)

‚ pаспоpЯжении фабpики имеетсЯ опpеделенное
количество pесуpсов: pабочаЯ сила, деньги, сыpье, обоpудование,
пpоизводственные площади и т.п. Ќапpимеp, пусть это будут
pесуpсы тpех видов: pабочаЯ сила (80 чел./дней), сыpье (480 кг) и
обоpудование (130 станко/час). ”абpика может выпускать ковpы
четыpех видов. €нфоpмациЯ о количестве единиц каждого pесуpса,
необходимых длЯ пpоизводства одного ковpа каждого вида, и доходах, получаемых пpедпpиЯтием от единицы каждого вида
товаpов, пpиведена в табл. 1.1.

’аблица 1.1

’pебуетсЯ найти такой план выпуска пpодукции, пpи котоpом
общаЯ стоимость пpодукции будет максимальной.

ќкономико-математическаЯ модель задачи

Ћбозначим чеpез x1, x2, x3, x4 число ковpов каждого типа.
–елеваЯ функциЯ С это выpажение, котоpое необходимо максимизиpовать:

f X
x
x
x
x
( )
.
=
+
+
+
3
4
3
1
2
3
4

ЋгpаничениЯ по pесуpсам
7x1 + 2x2 + 2x3 + 6x4 ≤ 80,

5x1 + 8x2 + 4x3 + 3x4 ≤ 480,

ы
с
p
у
с
е
P
Я
и
л
е
д
з
и
у
ц
и
н
и
д
е
а
н
в
о
с
p
у
с
е
p
а
д
о
х
с
а
p
ы
м
p
о
Ќ
и
л
а
Ќ
е
и
ч
в
о
с
p
у
с
е
p
p
е
в
о
Љ
И
а
к
й
а
ж
у
‹
З
p
е
в
о
Љ
И
т
э
у
л
и
‘
З
p
е
в
о
Љ
И
й
и
к
с
т
е
„
З
p
е
в
о
Љ
И
а
к
м
ы
„
З

д
у
p
’
7
2
2
6
0
8

е
ь
p
ы
‘
5
8
4
3
0
8
4

е
и
н
а
в
о
д
у
p
о
б
Ћ
2
4
1
8
0
3
1

Я
и
л
е
д
з
и
.д
е
а
н
е
–
).
б
у
p
.с
ы
т
(
3
4
3
1

2x1 + 4x2 + x3 + 8x4 ≤ 130,

x1, x2, x3, x4 ≥ 0.

1.1.2. ‡адача о pазмещении пpоизводственных
заказов [3]

‚ планиpуемом пеpиоде пpедпpиЯтию необходимо
обеспечить пpоизводство 300 тыс. одноpодных новых изделий,
котоpые могут выпускать четыpе филиала. „лЯ освоениЯ этого
нового вида изделий выделены капитальные вложениЯ в pазмеpе
18 млн pуб. Pазpаботанные длЯ каждого филиала пpедпpиЯтиЯ
пpоекты освоениЯ нового вида изделиЯ хаpактеpизуютсЯ величинами удельных капитальных вложений и себестоимостью единицы
пpодукции в соответствии с табл. 1.2.

’аблица 1.2

‘ебестоимость пpоизводства и удельные капиталовложениЯ длЯ
каждого из филиалов условно пpинЯты постоЯнными, т.е. потpебность в капитальных вложениЯх и общие издеpжки будут
изменЯтьсЯ пpопоpционально изменению объемов пpоизводства
изделий.
Ќеобходимо найти такой ваpиант pаспpеделениЯ объемов пpоизводства пpодукции и капитальных вложений по филиалам, пpи
котоpом суммаpнаЯ стоимость изделий будет минимальной.

ќкономико-математическаЯ модель задачи

‚ведем следующие обозначениЯ:
i
С номеp филиала (i = 1, ..., n; n = 4);
xi С объем выпускаемой пpодукции в филиале i;
’ С суммаpнаЯ потpебность в изделиЯх (’ = 300 тыс. шт.);
Љ С выделЯемые капиталовложениЯ (Љ = 18 млн pуб.);
ci С себестоимость пpоизводства пpодукции в филиале i;
ki С удельные капитальные вложениЯ на единицу пpодукции в
филиале i.

и
л
е
т
а
з
а
к
о
Џ
Я
и
т
Я
и
p
п
д
е
p
п
ы
л
а
и
л
и
”

1
2
3
4

.
б
у
p
,
Я
и
л
е
д
з
и
а
в
т
с
д
о
в
з
и
о
p
п
ь
т
с
о
м
и
о
т
с
е
б
е
‘
3
8
9
8
5
9
8
9

.
б
у
p
,
Я
и
н
е
ж
о
л
в
о
л
а
т
и
п
а
к
е
ы
н
ь
л
е
д
“
0
2
1
0
8
0
9
0
4

ќкономико-математическаЯ модель задачи будет иметь вид:

f X
c x
i
i
i

n
( )
min;
=
→
∑
=1

    
x
T
i
i

n
≥
∑
=
;
1

    
k x
K
i
i
i

n
≤
∑
=
;
1

xi ≥ 0;    i = 1, ..., n.

ЏодставлЯЯ исходные данные, имеем:

f X
x
x
x
x
( )
min,
=
+
+
+
→
83
89
95
98
1
2
3
4

огpаничениЯ

x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 300 (тыс. шт.),

120x1 + 80x2 + 50x3 + 40x4 ≤ 18 (млн pуб.),

x1, 2, 3, 4 ≥ 0.

1.2.
ѓPЂ”€—…‘Љ€‰ Њ…’Ћ„ P……Ќ€џ ‡Ђ„Ђ—
‹€Ќ…‰ЌЋѓЋ ЏPЋѓPЂЊЊ€PЋ‚ЂЌ€џ

Ќаиболее пpостым и наглЯдным методом линейного
пpогpаммиpованиЯ (‹Џ) ЯвлЯетсЯ гpафический метод. Ћн пpименЯетсЯ длЯ pешениЯ задач ‹Џ с двумЯ пеpеменными. Pассмотpим
задачу ‹Џ в стандаpтной фоpме:

    
max
(
,
,...,
)
,
f x
x
x
c x
n
j
j
j

n
1
2
1
= ∑
=

    
a x
b
i
m
ij
j
i
j

n
≤
=
∑
=
,
, ,...,
,
1 2
1

xj ≥ 0,      j = 1, 2, ..., n.

Џоложим n = 2 и будем pассматpивать задачу на плоскости.
Џусть система неpавенств совместна (имеет хотЯ бы одно pешение).