Методы аппроксимации обобщенных функций и их производных
Покупка
Основная коллекция
Тематика:
Прикладная математика
Издательство:
"Бял ГРАД-БГ" ООД
Автор:
Алюков Сергей Викторович
Год издания: 2012
Кол-во страниц: 7
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
- 01.04.02: Прикладная математика и информатика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция Алюков С. В. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ Обобщенные функции получили широкое распространение в XX веке, когда новые задачи в физике и математике привели к настоятельной потребности расширить определение функции. Например, при решении задач квантовой механики обычного определения функции, при котором каждому значению аргумента x, взятому из некоторой области, по определенному правилу ставится в соответствие одно значение у, оказалось недостаточно. Физики использовали функции, которые нельзя было определить с точки зрения обычной теории функций. Пусть Y — линейное пространство, элементами которого являются функции в смысле обычного определения. Если имеется правило, по которому каждой функции у е Y ставится в соответствие некоторое число, то говорят, что на множестве Y задан функционал. Обозначим функционал I: Y ^ R, или проще I(у). Функционал называется линейным, если выполняется условие I(«У1 + Ру2) = aI(У1) + PI(у2), VУ1, у2 е Y, Vа, р е R. * Функционал называется непрерывным, если из условия уп ^ у следует выполнение условия I (уп) ^ I (у *), Vуп, у * е Y. Будем рассматривать функции на множестве R. Назовем функцию ф(x) финитной, если она вне конечного промежутка [a, b] обращается в ноль, причем границы промежутка зависят от ф(x). Всякую непрерывную финитную функцию назовем основной. Совокупность основных функций обозначим С ₀. Пусть функция f (x) является обычной в смысле определения, причем она является непрерывной за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва, и ограниченной на любом конечном промежутке. г/. Определим функционал интегралом I(ф) = j f (x)ф(x)dx, который для лю-от бой основной функции ф( x) будет конечным. Функционал такого вида называется регулярным функционалом. Определение. Обобщенной функцией называется любой линейный непрерывный функционал I (ф), заданный на множестве С₀, обладающий свойствами 1. I(аф1 + рФ2) = aI(ф1) + PI(ф2), Vф1, ф2 е Со, Vа, р е R; 2. I⁽фп) ^I⁽ф)> если фп > ф в Со. 54
«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика Не всякая обобщенная функция является регулярной Обобщенная функ-г/. ция, которая не может быть представлена интегралом I(ф) = j f (x)ф(x)dx, на-/ зывается сингулярной. Примером сингулярной обобщенной функции может служить функция I (ф) = ф(0). Эту функцию называют 8 - функцией или функцией Дирака. В этой статье предложены методы, с помощью которых можно аппроксимировать сингулярные обобщенные функции и их производные, например, 8 -функцию. Смысл сингулярных обобщенных функций можно понять, основываясь на их приближениях, воспринимая обобщенную функцию как предел некоторой аппроксимирующей последовательности обычных функций. Например, 8 — функцию можно рассматривать как предел последовательности ступенчатых функций. Однако использование последовательности ступенчатых функций не позволяет в должной мере осуществить представление производных 8 — функции, которые, в свою очередь, также являются обобщенными функциями. Проблема заключается в том, что ступенчатые функции имеют точки разрывов, в которых они не являются дифференцируемыми. Поэтому для представления производных 8 — функции нужно воспользоваться аппроксимирующей последовательностью аналитических функций, имеющих производные любого порядка. Выражение, используемое для аппроксимации в этом случае, может иметь вид рекурсивной последовательности функций f (x) = cos( A (A (... A (x)))), где ,,,я..ч„ A(x) = —sin( x). В частности, на рис. 1 изображен график функции f (x) = 310cos( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (x))))))))))))))))))))). Рис. 1. График приближения 8 - функции 55
Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция Как видно из графика, предложенные методы аппроксимации дают гораздо достаточно точное приближение 8 - функции. Причем, точность аппроксимации можно повысить до сколь угодно большой степени, увеличивая число вложенных функций. Высоту пика аппроксимации (амплитуду) можно определить по интегральному условию в определении 8 - функции. Для определения высоты пика аппроксимации воспользуемся тем фактом, что 8 — функция является производной функции Хевисайда или функции еди-(1, Vx > 0; ничного скачка, которая определяется так H (x) = ( (0, Vx < 0. Функцию Хевисайда можно аппроксимировать последовательностью функций вида Hₙ (x) = 0,5(1 + fₙ (x)), где последовательность функций fₙ (x) определяется соотношением {f ₙ(x) | fₙ(x) = sⁱⁿ((—/²⁾ ■ fₙ _i⁽x))>f[(x) =sⁱⁿx;ⁿ -¹ eNI- c'[-n,n] и рассматривается на отрезке [ -п/ 2, п/ 2]. Например, на рис. 2 показаны графики трех последовательных приближений H 9 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (x)))))))))), H10 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (A (x)))))))))), H11 (x) = 0,5(1 + sin( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (x))))))))))), где A (x) =— sinx. 2 Толщина графика увеличивается по мере увеличения номера аппроксимирующей зависимости. Рис. 2. Графики аппроксимаций функции Хевисайда Находя первые производные приближений функции Хевисайда, мы полу _________________ d rx d dH9⁽x) dH 10⁽x)-dH 11(x) _ , чим последовательные приближения -------------------⁹-, -—- и -для 8 — dx dx dx функции. Их графики изображены на рис. 3. 56
«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика Дифференцируя аппроксимирующие функции рассмотренной последовательности Hₙ (x) = 0,5(1 + fₙ (x)), получим dHₙ (x) лⁿ ¹ .',' fn Л = — П cos ^ 2 fk ⁽x) J'C⁰S x • Подставляя в полученное выражение для производных x = 0, с учетом четности 8 — функции, найдем значение для высоты пика АП аппроксимирующих функций Hₙ (x) A _--1 ж n 2 ⁿ Рис. 3. Графики аппроксимаций 8 - функции Так как мы аппроксимировали обобщенные функции аналитическим функциями, то мы можем продифференцировать эти аппроксимирующие функции и найти их производные любого порядка. Тем самым мы можем получить приближения производных обобщенных функций с любой степенью точности. Например, аналогично с тем, как это было сделано в предыдущем параграфе, мы можем построить графики приближений производных 8 — функции. На рис. 4 изображены графики последовательных аппроксимаций первой, второй и третьей производных 8 - функции. Таким же образом можно найти и производные более высоких порядков. Построенные графики дают хорошее представление о характере поведения производных 8 - функции. Мысленно увеличивая номер аппроксимирующей функции, по графикам (рис. 4) можно продолжить прослеживаемые тенденции изменения аппроксимаций и представить предельные положения последовательностей функций, аппроксимирующих производные 8 - функции. Рассмотренный подход поможет улучшить понимание обобщенных функций, являющимися производными 8 - функции, использовать их не просто как абстрактный математический аппарат, а осознанно понимать их структуру, да 57
Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция же если они записаны в предельной форме. Данный подход может быть применим и для лучшего понимания других обобщенных функций и характера их поведения. Рис. 4. Графики аппроксимаций производных 8 — функции 58
«Найновите научни постижения - 2012» • Том 31. Математика Известно, что можно аппроксимировать 8 — функцию и другими непрерывно дифференцируемыми функциями, например, такими 8 (х,а) =--Д---, и > / , л (ах —1) а X а - 2 2ч 8(х,а) = -y=exp(-a х ), и>х, л/л а. а а sin (ах) 8(х,а) ---------— л их и>х, для которых lim 8 (х, а) = 0 (х * 0) и и>х —х lim J8(х, и)Ах = 1. и>х _ -х Недостаток аппроксимации 8 — функции с помощью третьей из этих функций заключается в высокой погрешности, так как эта функций имеет не только положительные, но и отрицательные значения. Причем последовательность отрицательных значений не ограничена снизу, то есть погрешность может быть сколь угодно большой. Что касается аппроксимации с помощью первых двух функций, то они позволяют аппроксимировать периодическую 8 — функции лишь в виде суммы —х 8(x) = ^8(х - 2 лk), что может быть неудобным для практического использова--х ния, тогда как аппроксимирующие функции по предложенному методу являются периодическими по своей природе и позволяют аппроксимировать периодическую 8 — функцию без каких-либо дополнительных построений. Примером может служить график функции 13 л л f (х) = ^4cos( A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (A (х)))))))))))))), A (х) = Л ^пх, 22 изображенный на рис. 5. Построенную функцию f (х) можно использовать для аппроксимации функции распределения дискретной случайной величины, используя соотноше-t ние F(х) = P J f (х)Ах, где P — параметр, определяемый из свойств функции t 0 распределения. Пример так построенной функции распределения приведен на рис. 6. 59
Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция Рис. 5. График функции, аппроксимирующей периодическую 8 — функцию Рис. 6. Пример аппроксимации функции распределения дискретной случайной величины Литература 1. Алюков С.В. Аппроксимация ступенчатых функций в задачах математического моделирования // Математическое моделирование, журнал РАН, 2011, том 23, №:3, С.75-88. 2. Alyukov S.V. Approximation of step functions in problems of mathematical modeling // Mathematical models and computer simulations, 2011, vol. 3, № 5, Р. 661 - 669. 3. Алюков С.В. Моделирование динамических процессов с кусочнолинейными характеристиками // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика, 2011, том 19, № 5, С. 27 - 34. 60