Методы аппроксимации обобщенных функций и их производных

Материалы за VIIIмеждународна научна практична конференция


Алюков С. В.




                МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ОБОБЩЕННЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПРОИЗВОДНЫХ




    Обобщенные функции получили широкое распространение в XX веке, когда новые задачи в физике и математике привели к настоятельной потребности расширить определение функции. Например, при решении задач квантовой механики обычного определения функции, при котором каждому значению аргумента x, взятому из некоторой области, по определенному правилу ставится в соответствие одно значение у, оказалось недостаточно. Физики использовали функции, которые нельзя было определить с точки зрения обычной теории функций.
    Пусть Y — линейное пространство, элементами которого являются функции в смысле обычного определения.
    Если имеется правило, по которому каждой функции у е Y ставится в соответствие некоторое число, то говорят, что на множестве Y задан функционал. Обозначим функционал I: Y ^ R, или проще I(у).
    Функционал называется линейным, если выполняется условие I(«У1 + Ру2) = aI(У1) + PI(у2), VУ1, у2 е Y, Vа, р е R.
*
    Функционал называется непрерывным, если из условия уп ^ у следует выполнение условия I (уп) ^ I (у *), Vуп, у * е Y.
    Будем рассматривать функции на множестве R.
    Назовем функцию ф(x) финитной, если она вне конечного промежутка [a, b] обращается в ноль, причем границы промежутка зависят от ф(x). Всякую непрерывную финитную функцию назовем основной. Совокупность основных функций обозначим С ₀.
    Пусть функция f (x) является обычной в смысле определения, причем она является непрерывной за исключением, быть может, конечного числа точек разрыва, и ограниченной на любом конечном промежутке.
                                         г/.
    Определим функционал интегралом I(ф) = j f (x)ф(x)dx, который для лю-от
бой основной функции ф( x) будет конечным. Функционал такого вида называется регулярным функционалом.
    Определение. Обобщенной функцией называется любой линейный непрерывный функционал I (ф), заданный на множестве С₀, обладающий свойствами
    1. I(аф1 + рФ2) = aI(ф1) + PI(ф2), Vф1, ф2 е Со, Vа, р е R;
    2. I⁽фп) ^I⁽ф)> если фп > ф в Со.

54