Методы математической физики в примерах и задачах

Допущено Учебно-методическим объединением вузов 
направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» 
в качестве учебного пособия для студентов 
высших учебных заведений, обучающихся по направлению 
«Ядерные физика и технологии»

МОСКВА 
ФИЗМАТЛИТ ®

2015

УДК 517.958(075)
ББК 22.161.1я7
Г 71

Го р ю н о в А. Ф. Методы математической физики в примерах
и задачах. В 2 т. Т. I.
— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 872 с. —
ISBN 978-5-9221-1641-1 (Т. I).

Учебное пособие ориентировано на специальности «Прикладная
математика и информатика», «Физика», «Механика», «Физика атомного ядра и частиц» и др. Пособие представляет собой сборник задач
и примеров по уравнениям математической физики. Темы первого тома:
построение математических моделей различных физических процессов,
решение задач методом Фурье и методом интегральных преобразований, интегральные уравнения. При решении задач используется аппарат обобщенных функций.
Пособие адресовано студентам, изучающим математическую и теоретическую физику; некоторые разделы могут быть полезны аспирантам, инженерно-техническим и научным работникам, интересующимся
данной областью знаний.

Допущено Учебно-методическим объединением вузов направления подготовки 140300 «Ядерные физика и технологии» в качестве
учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению «Ядерные физика и технологии».

Р е ц е н з е н т:
д.ф.-м.н., проф. Д. Б. Белостоцкий, Московский государственный
строительный университет (МГСУ)

ISBN 978-5-9221-1641-1 (Т. I)
ISBN 978-5-9221-1642-8

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2015

c⃝ А. Ф. Горюнов, 2015

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
5
Предисловие к первому тому . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
8
Обозначения . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
11

Г л а в а 1.
Модели математической физики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
13
Литература к главе 1. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
15
1.1. Модели механики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
16
1.2. Модели теплопроводности и диффузии . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
61
1.3. Модели газо- и гидродинамики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .
95
1.4. Модели электродинамики . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 123
1.5. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 157

Г л а в а 2.
Метод разделения переменных . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 234
Литература к главе 2. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 235
2.1. Задачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 236
2.2. Задачи для неоднородного уравнения. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 297
2.3. Задачи, в которых применяются специальные функции и ортогональные полиномы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 349
2.4. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 433

Г л а в а 3.
Метод интегральных преобразований . .. .. .. .. .. .. .. .. . 619
Литература к главе 3. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 620
3.1. Преобразование Фурье . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 620
3.2. Преобразование Лапласа . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 632
3.3. Преобразование Меллина . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 658
3.4. Преобразование Ганкеля . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 681
3.5. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 689

Оглавление

Г л а в а 4.
Методы решения интегральных уравнений . .. .. .. .. . 738
Литература к главе 4. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 739
4.1. Вывод интегральных уравнений. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 739
4.2. Решение интегральных уравнений . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 753
4.3. Ответы . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 803

Основные формулы. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 848
Литература . .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 864

Автор, окончивший Московский инженерно-физический
институт пользуется возможностью с великой
благодарностью вспомнить о замечательных
преподавателях первых лет существования МИФИ.
В те нелегкие послевоенные годы молодых людей, среди
которых было немало прошедших Великую
Отечественную Войну, воспитывали и прививали
истинную любовь к знаниям выдающиеся физики
И. Е. Тамм, М. А. Леонтович, А. Б. Мигдал, талантливые
математики Д. А. Васильков, В. Я. Арсенин, научный
руководитель автора В. И. Кондрашов и многие другие.

Их памяти посвящается этот труд

Предисловие

Математическая физика занимается моделированием физических явлений, которое состоит в построении математической
модели исследуемого явления и решении полученной задачи.
Математическая модель представляет собой набор уравнений
(условий), приближенно описывающих свойства изучаемого объекта; построение модели основано на фундаментальных законах
природы. Таким образом, математическая физика объединяет
математику на этапе решения задачи и физику в процессе формирования математической модели и физического анализа полученного решения. Одна и та же модель может описывать свойства
различных объектов физики, экономики, биологии, лингвистики и др. Изучение математической модели дает возможность
предсказывать новые эффекты, решать задачи прогнозирования
и управления, выбирать оптимальные условия дорогостоящих
экспериментов.
Математические методы играют первостепенную роль в естествознании; их развитие не только обогащает математику как
науку, но и расширяет границы познания внешнего мира, так
как становятся доступными решения более сложных задач. Объектами изучения этого раздела математики являются дифференциальные уравнения в частных производных, интегральные
и интегро-дифференциальные уравнения.
Прогресс науки и техники, разработка и внедрение новых
технологий, конструирование более совершенных приборов требует от научных работников и инженеров знания различных

Предисловие

областей физики и владения современным математическим аппаратом. Изучение математической физики — многотрудный процесс. Здесь важное значение имеет интуиция. Однако любое
предположение должно быть обосновано в рамках логики математических действий. В процессе изучения теории необходимо
обратить внимание на те задачи, решение которых безусловно
способствует более глубокому осмыслению теоретических положений.
Цель данного пособия — научить формированию достаточно
простых математических моделей, владению математическим аппаратом, применяемым для аналитического решения задач и умению критически оценивать эффективность различных методов
в конкретной ситуации. Пособие состоит из двух томов и представляет собой сборник задач по математической физике, значительная часть которых имеет физическое содержание. Задачи
каждой главы распределены по группам; в начале группы приводится пример, в котором излагается методика решения задач.
Задачи расположены по возрастанию сложности. В конце каждой
главы помещены ответы к задачам, а в более трудных случаях
даны указания или решения. В начале главы указана необходимая литература. В конце каждого тома имеется справочный
раздел и более широкий список литературы.
Сборник задач базируется на модернизированных курсах
уравнений математической физики, разработанных на кафедре
Прикладной математики НИЯУ МИФИ. Основа этих курсов
была заложена академиком А. Н. Тихоновым. При написании
данного пособия использованы известные сборники задач, учебники, а также другие источники, ссылки на которые приводятся
в соответствующих местах текста.
Значительная часть задач настоящего сборника доступна студентам, имеющим физико-математическую подготовку по учебным программам вузов РФ. Для решения ряда задач требуется
более высокий уровень знаний физики и математики: здесь автор
руководствовался программой подготовки специалистов, которую
реализует НИЯУ МИФИ.
Пособие адресовано студентам, изучающим математическую
физику, а также инженерам, желающим повысить квалификацию
в этой области науки; некоторые главы могут быть полезны
аспирантам.
Длительная работа над сборником задач вряд ли была бы
успешной без постоянной поддержки коллег. Автор особенно благодарен Н. А. Кудряшову, А. В. Кряневу, С. Г. Артышеву,

Предисловие
7

В. В. Шестакову; весьма признателен М. Б. Сухареву и В. И. Ростокину, указавшим ряд недостатков, которые были устранены
при подготовке к изданию учебного пособия. Автор выражает
глубокую благодарность М. А. Чмыхову, П. Н. Рябову, Д. И. Синельщикову, которые доброжелательно и терпеливо помогали
автору осваивать работу на компьютере; М. А. Чмыхов явился
фактическим и весьма квалифицированным редактором по созданию электронной версии пособия. Нельзя не выразить глубокую
признательность студентам факультета ЭТФ и Высшей школы
физиков им. Н. Г. Басова НИЯУ МИФИ, труд которых при решению домашних заданий способствовал улучшению качества
сборника. Рукопись задачника набрана в издательской системе
LATEX. Неоценимую помощь в освоении этой системы оказал
В. Э. Вольфенгаген, которому автор выражает искреннюю признательность. Автор также сердечно благодарен И. А. Горюновой,
внесшей большой вклад в компьютерное оформление рукописи.

Предисловие к первому тому

Первый том содержит четыре главы. В первой главе проводится построение математических моделей различных физических
процессов, или постановка задач, т. е. вывод системы условий,
которые в рамках данной модели описывают физическое явление. Формирование математической модели основано на фундаментальных законах физики и является необходимым этапом
процесса моделирования. Представлены задачи механики, теплопроводности, гидродинамики, фильтрации, нейтронной физики,
электродинамики, квантовой механики и др. Для вывода уравнений механики привлекается вариационный метод. В задачах
гидродинамики рассматриваются процессы, происходящие в идеальных жидкостях (газах): потенциальное обтекание твердых
тел, движение гравитационных волн в жидкости, распространение звука в газе и т. п. В задачах электродинамики формулируются условия для определения тока и потенциала в длинных линиях, плотности тока в тонких проводящих оболочках,
электромагнитных полей в проводниках и диэлектриках, электромагнитных волн в идеальных и диэлектрических волноводах
(световодах) и др. Даны примеры физических систем, поведение
которых описываются квазилинейными и нелинейными уравнениями.
Вторая глава содержит задачи, решение которых осуществляется методом разделения переменных (методом Фурье). Основу
метода составляет задача на собственные значения — источник
формирования полной ортогональной системы функций (точнее,
собственных функций), в виде ряда по которым представлено решение поставленной задачи. Выделена группа физических
задач, решение которых сводится к нахождению собственных
значений и собственных функций линейных дифференциальных
операторов, встречающихся в математической физике. Эти задачи помогают понять физический смысл собственных функций
и собственных значений. Сделан акцент на свойстве эрмитовости операторов, благодаря которому можно судить о свойствах
собственных значений и собственных функций задачи на собственные значения. С другой стороны, если оператор эрмитов,

Предисловие к первому тому
9

значительно сокращается процесс вычисления интегралов при
определении коэффициентов ряда Фурье, представляющего собой решение задачи. Важное значение имеет метод выделения
частных решений неоднородной задачи, суть которого состоит
в переходе к эквивалентной однородной задаче (редукция). Такой
способ существенно упрощает технику решения и улучшает сходимость соответствующих рядов. Другой метод редукции основан на применении обобщенных функций, который демонстрируется на задачах этой главы. Конструкция решений ряда задач
содержит специальные функции: классические ортогональные
многочлены, присоединенные функции Лежандра, сферические,
цилиндрические, гипергеометрические функции.
Тема третьей главы — интегральные преобразования. Наряду
с задачами, для решения которых применяются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ганкеля, предлагаются также
упражнения, дающие представление об основных свойствах этих
преобразований. Интегральные преобразования находят применения при решении задач в неограниченных областях, задач,
недоступных методу Фурье. Таковыми являются задачи Коши
для волнового уравнения и уравнения теплопроводности, некоторые краевые задач для уравнения Пуассона. Аппарат интегральных преобразований содержит прямое преобразование, которое
каждой функции некоторого класса ставит в соответствие ее
образ и обратное преобразование, восстанавливающее прообраз
по известному образу. Оно должно быть таким, чтобы оператору дифференцирования по некоторой переменной соответствовал
оператор умножения на число в задаче для образа. Это значит,
что задача для уравнения в частных производных преобразуется
в задачу для обыкновенного дифференциального уравнения или
алгебраического уравнения. Такая задача решается достаточно
просто и остается применить обратное преобразование. Техника
интегральных преобразований базируется на вычислении несобственных интегралов.
В четвертой главе рассмотрены задачи, приводящие к интегральным уравнениям, и даны упражнения, иллюстрирующие
различные методы их решения. Наряду с линейными уравнениями представлены задачи для нелинейных интегральных уравнений. В этих случаях речь идет о точных решениях (точным
считается любое из возможных решений). Некоторые уравнения определенной структуры (сингулярные, содержащие свертку) могут быть решены с помощью интегральных преобразований. Представлены уравнения, решения которых достигается

Предисловие к первому тому

применением операторов Коши–Лиувилля (дифференцирование
и интегрирование дробного порядка). Интегральные уравнения
служат средством изучения свойств решений задач для дифференциальных уравнений. Приложения интегральных уравнений
даны в некоторых из последующих глав.
При решении задач используется аппарат обобщенных функций; их применение существенно упрощает технику решения
многих задач.