Механика


Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ






Л.П. ПАНАСЕНКО




МЕХАНИКА

Учебно-методическое пособие













НОВОСИБИРСК

2011

УДК 531(075.8) П 16

Рецензенты:
канд. пед. наук Э.Б. Селиванова канд. техн. наук СВ. Спутай





Работа подготовлена кафедрой прикладной и теоретической физики и утверждена Редакционно-издательским советом университета в качестве учебно-методического пособия




            Панасенко Л.П.


П 16 Механика : учебн.-метод. пособие / Л.П. Панасенко. - Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2011.- 116 с.
          ISBN978-5-7782-1826-0
          Физика - наука об общих формах материи, которые входят в состав сложных материальных объектов, о взаимодействии этих форм и их движениях. Поэтому физика является основой естествознания, технических наук и техники.
          Механика является основой для изучения всех разделов физики.
          Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или частей тела в пространстве.
          Надеемся, что пособие окажется полезным желающим освоить основы физики.



УДК 531(075.8)



ISBN 978-5-7782-1826-0

                    ©Панасенко Л Л.,2011
                    © Новосибирский государственный технический университет, 2011

                ВВЕДЕНИЕ




ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ

   Пространство характеризует расстояние между материальными объектами и их взаимную ориентацию; время - последовательность событий и длительность явлений. В космологии при описании движения очень больших тел с большими скоростями (близкими к скорости света) необходимо учитывать связь пространства и времени. В специальной теории относительности при описании очень быстрого движения тел тоже учитывается связь пространства и времени. Только при описании медленного движения тел можно рассматривать пространство и время как несвязанные между собой (независимые друг от друга) понятия.


            Система отсчета. Система координат


   Для ответа на вопрос «Где сейчас (в данный момент) находится точка?» используются понятия: система координат и система отсчета. Напомним их смысл.
   Тело, которое в данных условиях считается неподвижным (относительно которого рассматривается движение), называется телом отсчета. Телами отсчета в частных задачах могут быть Земля, Солнце, автомобиль, элементарная частица и т. д.
   Точка на теле отсчета, выбранная наблюдателем, называется началом отсчета. Через начало отсчета наблюдатель проводит прямые, которые называются осями координат. Оси координат и тело отсчета составляют систему координат. В физике широко применяются сферическая, цилиндрическая, полярная и декартова системы координат. Нередко используется прямоугольная декартова система координат. Это три прямые, пересекающиеся в одной точке под прямыми углами (рис. 1,«). Если движение исследуемого тела происходит в одной


3

плоскости, используют две оси (рис. 1,6). Если же тело двигается по прямой, используют единственную ось (рис. 1, <?).


Рис. 1. Системы координат

   Для описания движения материи во времени используют часы. Это может быть устройство, которое мы в быту называем «часы» или, например, человек. Отсчитывая удары пульса, мы можем составить суждение о том, сколько времени длится наблюдаемое явление. В качестве часов можно использовать и космические объекты. В частности, Земля делает один оборот вокруг своей оси регулярно за один сутки (24 часа), а вокруг Солнца за один год.
   Система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный прибор для измерения времени (часы) вместе образуют систему отсчета.
   Описание явления зависит от того, как расположена система отсчета по отношению к изучаемому объекту. Поэтому нередко выполняются перенос начала координат и поворот координатных осей.


ВЕКТОРЫ И СКАЛЯРЫ


   Физическими величинами называют количественные характеристики материальных объектов и процессов.
   Известны физические величины, которые характеризуются числом и знаком. Если они к тому же не изменяются при переносе начала отсчета и при повороте системы отсчета, то их называют скалярами. Это, например, масса, энергия, температура и т. д.
   Приращение скаляра X есть также скаляр VdX : dХ = Х 2 - X1.
   Известны физические величины, которые характеризуются не только числом, но и направлением. Такие величины называются век

4

торами. Это, например, линейная скорость, ускорение и т.д. Числовое значение вектора называется модулем вектора.
    Вектор обозначается буквой полужирного шрифта или буквой со стрелкой над ней: а или а.
    Модуль вектора обозначается той же буквой обычного шрифта или буквой со стрелкой, по бокам которой стоят вертикальные черточки:
а - |а|.

    На рисунке вектор изображается отрезком прямой со стрелкой на конце (рис. 2). Стрелка указывает направление вектора. Длина отрезка пропорциональна модулю вектора. На рис. 2 модуль вектора а? больше, чем модуль вектора а^.


Рис. 2

   Векторы, направленные вдоль параллельных прямых в одну и ту же сторону и одинаковые по модулю называютсяравными: а^ - а-2   Если направления параллельных векторов противоположны, то считается, что векторы отличаются по знаку. Если при этом модули векторов равны, то пишут так: а^ — - а^

            Проекция вектора на ось


   Пусть даны вектор а и ось X. Проведем через начало (точка 1) и конец (точка 2) вектора а плоскости, которые перпендикулярны оси X (рис. 3).
   Отрезок оси X между проекциями начала и конца вектора, т. е. между точками 1' и 2' называют проекцией вектора на ось X или составляющей вектора а по оси X, обозначают ах. Составляющая

5

вектора - это вектор. Проекции вектора а на оси у и z обозначают а у и az соответственно. Поэтому
а-ах+ау + аг.


Рис. 3

   Модуль вектора а можно представить через модули проекций вектора на оси координат X, Y, Z так а² - ах² + ау² + а|.
   Если вектор имеет только две составляющие, модуль вектора можно вычислить так а² — ах² + ау² (рис. 4).


Рис. 4

    Если известны углы (а, Р, у), которые составляет вектор с осями координат X, Y, Z, то модули проекций вектора а на оси координат можно вычислить так:


6

                          ах — а ■ cos а;

                          ау — а ■ cos Р;
                          а₂ — а ■ cos у.

   При повороте осей координат проекции вектора на оси изменяются, а вектор остается неизменным.
   При перемещении начала отсчета вдоль оси координат вектор и проекции вектора на оси координат не изменяются по величине и направлению.
   Вектор, длина которого равна единице, называется единичным.



            Действия с векторами



    Сложение векторов. Суммой двух векторов 3 и Ъ с составляющими (ах, 5у, 5z )и (Ъх, Ъу, bz) соответственно является вектор с с составляющими сх, су и сz . При этом с — а + Ъ :
сг — а.. + Ъг; х х ху
су — ау + Ъу;
ez — 3z + bz.

   Вектор с может быть получен из векторов

а и Ъ геометрическим

построением.
   Для этого нужно использовать либо правило треугольника, либо правило параллелограмма.
   Правило треугольника таково. В произвольную часть рисунка переносим данные векторы так, чтобы конец первого вектора (3) был совмещен с началом второго вектора (Ъ ). Вектор с построим, соединив начало первого вектора (а) с концом второго вектора (Ъ ) (рис 5, а).
   Правило параллелограмма - это несколько иной способ построения суммы двух векторов. Переносим данные векторы (а и Ъ ) так, чтобы они оказались параллельными себе, а их начала совмещенными, как это показано на рис. 5, б. Построим параллелограмм со сторонами а и Ъ. Диагональ, исходящая из начальных точек сложенных векторов (а v.b ), является вектором суммы: с — а + Ъ

7

    Оба способа дают один и тот же результат.


Рис. 5. Сложение двух векторов

   Если нужно сложить более двух векторов, удобнее использовать первый способ сложения, последовательно пристраивая векторы. Этот способ называют методом многоугольника. Сумма будет представлена вектором, проведенным из начала первого слагаемого в конец последнего (рис. 6).


Рис. 6. Сложение многих векторов (более двух)

   Результирующий вектор не зависит от последовательности, в которой складываются векторы.
   Рассмотрим задачу на сложение векторов.


   Задача. Векторы а и Ъ взаимно перпендикулярны, как показано на рис. 7, а. Их модули: а =4 м, Ъ = 3 м. Найти вектор суммы.
   Дано: а =4 м,
   Ъ = 3м.

   Найти: с.


8

a

б
Рис. 7

—к а

   Решение 1. Используем правило треугольника (рис. 7, б) изобразим вектор а, конец его соединим с началом вектора Ъ . Вектор суммы — направлен от начала вектора а к концу вектора Ъ .
   Модуль вектора — определим по формуле

с — а а² + Ъ ² — 5м.

   При сложении двух векторов можно использовать иной способ построения, это правило параллелограмма.

   Решение 2. Соединим начала векторов а и Ъ (рис. 7, в). Достроим параллелограмм на векторах а— и Ъ . Диагональ, исходящая из точки их пересечения, представляет вектор суммы с - а + Ъ . Модуль с находится так:

с — а а² + Ъ² — 5м.


   Вычитание векторов. Разностью двух векторов а и Ъ вектор d , который может быть представлен так:
d — а - ъ .

является

Или иначе:
d — 7— + (-Ъ ).

   Но это значит, что для нахождения разности векторов а и Ъ сначала следует построить вектор -Ъ , а уже после этого выполнить сложение этого вектора с вектором а (рис. 8).

9

Рис. 8. Вычитание векторов

^*

    Начало вектора d ^*
и - Ъ .

(разность) совмещено с началами векторов а

   Обратите внимание на то, что разность векторов (d) равна нулю только, если одинаковы и модули, и направления векторов а и Ъ.
   Рассмотрим частные случаи, когда направления векторов а и Ъ различны, а модули одинаковы. Пусть вектор скорости точки в начале опыта V), в конце опыта V , изменение скорости точки Д V - V - V) , при этом V) - V₂ . Это может быть, например, при абсолютно упругом

ударе или при равномерном вращении точки по окружности.

   Задача. Определите изменение скорости мяча при абсолютно упругом ударе его о вертикальную стенку. Мяч падал на стенку со скоростью 12 м/с.


    Дано: V) =12 — (мяч летит на стенку) с

             --*
    Найти: Д V.

   Решение. При абсолютно упругом ударе о стенку модуль скорости мяча не изменился I V2 - V) - V -12 — I, направление скорости изме-у                               сJ
нилось на противоположное (V2 --V)): после удара мяч полетел от стенки (рис. 9). При ударе угол между векторами V и F₂ , равен л радиан (180°).
   Изменение скорости - это разность векторов V2 и V): Д V - V2 - V).
Заменим действие вычитания на действие сложения: Д V - V2 + (-V)).

)0