Геометрия и графика, 2016, №1

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации 
средства массовой информации
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель: 
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М»
127282, Москва, ул. Полярная, 
д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501) 
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор:
Сальков Н.А., канд. техн. наук, 
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор: 
Путкова А.В.

Отдел подписки: 
Назарова М.В.
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2016

Подписано в печать 17.03.2016. 
Формат 60x90/8. Бумага офсетная.
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru 
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Иванов Г.С., Брылкин Ю.В.
Фрактальная геометрическая модель 
микроповерхности  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Козневски Э. 
Каркасы крыш и деревья теории графов . . . . . . . . . . . . .12
Сальков Н.А. 
Свойства циклид Дюпена и их применение. 
Часть 4: приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Браилов А.Ю.
Анализ систем измерения для построения 
геометрических моделей изделия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Сальков Н.А.
Начертательная геометрия – база для геометрии 
аналитической . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

Сальков Н.А.
Формирование поверхностей откосов насыпей 
и выемок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

Усанова Е.В.
Формирование базового уровня геометрографической компетентности студентов 
в электронном обучении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .64

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Вышнепольский В.И.
Открытая Всероссийская студенческая олимпиада 
по начертательной геометрии, инженерной 
и компьютерной графике 2015 года . . . . . . . . . . . . . . . . . .73

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

2016. Том 4. Вып. 1
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им. 
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2016. Vol. 4. Issue 1
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 

ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Российский химико-технологический университет име
ни Д.И. Менделеева (Россия).

     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 

Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
Витебский государственный университет имени 
П.М. Машерова (Беларусь).

 Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, про
фессор.

 Санкт-Петербургский государственный университет 

телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).

 Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 

St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент.

 Московский технологический университет (Россия).
 Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, про
фессор.

 Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 

им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).

 Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 

Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет (Россия). 
 Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет (Россия). 
 Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 Софийский технический университет, София (Болгария).
 Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, про
фессор. 

 Московский технологический университет (Россия). 
 Moscow Technological University (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 

Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).

    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный университет геодезии и 

картографии, Москва (Россия).

 Moscow State University of Geodesy and Cartography, 

Moscow (Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 Нижегородский государственный архитектурно-стро
ительный университет, Нижний Новгород (Россия). 

 Nizhny Novgorod State Architectural and Construction 

University, Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редак цию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 Московский государственный академический художест
венный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 

Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 

Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 Пермский национальный исследовательский политехни
ческий университет, Пермь (Россия).

 Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 

(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, гл. редактор, 
(Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 

доцент. Московский технологический университет, зам. 
гл. редактора (Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 

Московский технологический университет, ответственный 
секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 

Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

31 января 2016 года на 77-м году жизни скоропостижно скончался Владимир Яковлевич Волков – вы
дающийся геометр нашего времени.

Доктор технических наук, профессор, учитель, коллега, основатель омской научной школы много
мерной исчислительной геометри. Добрый, сердечный, отзывчивый, высокоинтеллигентный, уникальный человек, специалист высочайшего уровня.

Владимир Яковлевич более 50 лет проработал в вузах города Омска, отдавая всего себя развитию 

оригинальных разработок и теории прикладной геометрии.

В свое время он организовал диссертационный совет по специальности 05.01.01 «Инженерная геоме
трия и компьютерная графика» и был его председателем. Под его руководством защищено 5 докторских 
и 10 кандидатских диссертаций.

Владимир Яковлевич представлял Россию в международной организации по геометрии и графике. 

Он принял участие в ряде международных конференций в качестве члена международного организационного совета и докладчика: США (Майами, Бостон, Остен), Япония (Токио), Франция (Париж), Китай 
(Гуанчжоу), Польша (Краков), Украина (Киев), ЮАР, Германия (Дрезден), Канада (Монреаль), Рига 
(Латвия), Австрия (Инсбрук).

В.Я. Волков – лауреат фонда Сороса, награжден знаком «Изобретатель СССР», нагрудным знаком 

«Почетный работник высшего профессионального образования России» (1999 г.), избран членом-корреспондентом СО РАН высшей школы. Коллектив научных сотрудников под руководством В.Я. Волкова 
получил гранд по программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009–2010 гг.)».

Память о Владимире Яковлевиче навсегда останется в наших сердцах.

Кафедра «Начертательная геометрия, 

инженерная и машинная графика» 

Сибирской автомобильно-дорожная академии

Кафедра «Инженерная геометрия и САПР» 

Омского государственного технического университета

Омский государственный университет

Омский государственный институт сервиса

Омский государственный педагогический университет

Редколлегия журнала «Геометрия и графика»

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1.  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.1: 531.728                           DOI: 10.12737/18053

Г.С. Иванов
Д-р техн. наук, профессор,
Московский государственный технический университет 
им. Н.Э. Баумана,
Россия, 105005, г. Москва, ул. 2-я Бауманская, д. 5, стр. 1.
Ю.В. Брылкин
Аспирант,
Московский государственный университет леса,
Россия, 141005, Московская область, Мытищи-5, 
ул. 1-я Институтская, 1
Фрактальная геометрическая 
модель микроповерхности 

Аннотация. Статья посвящена построению пространственной 

модели отсека микроповерхности медного сплава. Реальная 
поверхность имеет характерные неровности, связанные с технологией изготовления материала, поэтому знание геометрических параметров поверхностной микроструктуры очень важно 
при изучении таких свойств, как микротвёрдость, трение, аэро- 
и газодинамические сопротивления и каталитическая активность 
в отношении реакций гетерогенной рекомбинации атомов в 
активных центрах. Для получения качественных данных о морфологии микроповерхности без наложения на исследуемый 
образец жёстких требований используется сканирующий туннельный микроскоп. Построение модели обосновывается необходимостью воссоздания топологии поверхности с целью изучения её геометрических свойств, выраженных через фрактальную 
размерность. Такое моделирование должно помочь изучению 
механизма взаимодействия молекул разреженного газа с поверхностью летательного аппарата в решении задач газодинамики, 
связанных с тепло- и массообменом. В среде MathCAD проведён 
расчёт геометрических характеристик пространственной модели 
с позиций фрактальной теории образования геометрических 
форм и требований ГОСТ 2789-73 по контролю их числовых 
параметров. Приведён пример процедурного (алгоритмического) построения геометрической модели, эквивалентной реальной. 
Показано, что с достаточной для практических приложений 
точностью топология поверхности может быть описана фрактальными закономерностями, учитывающими неровности как 
на микро-, так и на наноуровне. Предлагаемый алгоритм позволяет транслировать методику создания фрактальной структуры 
на любой уровень детализации.

Отмечены его положительные и отрицательные особенности, 

основанные на использовании модернизированного алгоритма 
смещения средней точки. Показана корректность этого алгоритма 
для моделирования геометрии поверхностей других материалов.

Ключевые слова: фрактал, сканирующая туннельная ми
кроскопия, топология поверхности, геометрия поверхности.

G.S. Ivanov
Doctor of Engineering, Professor,
Bauman Moscow State Technical University,
5/1, 2 Baumanskaya St., Moscow, 105005, Russia

Yu.V. Brylkin
Postgraduate Student,
Moscow State Forest University,
1, First Institutskaya St., Mytischi-5, Moscow region, 
141005, Russia

Fractal Geometric Model of Microsurface

Abstract. The article is devoted to the construction of spatial 

model of microsuface module of copper alloy. A real surface has a 
characteristic roughness associated with the material creating technology, so knowing the geometric parameters of the surface microstructure is very important in studying properties such as microhardness, friction, aero- and gas-dynamic resistance and catalytic 
activity towards reactions of heterogeneous recombination of atoms 
in the active centers. To obtain qualitative data on the microsuface 
morphology, without imposing on the sample to stringent requirements, used a scanning tunneling microscope. Building a model 
creates a need to recreate the surface topology to study its geometrical properties, expressed through the fractal dimension. Such 
a simulation should help to study the interaction mechanism between 
molecules of a rarefied gas with the flying vehicle surface in the 
solution of gas dynamics problems associated with heat and mass 
transfer. In MathCAD the calculation of geometric characteristics 
of a spatial model from the standpoint of the fractal theory for the 
formation of geometrical shapes and GOST 2789-73 requirements 
to control their numerical parameters. The example of procedural 
(algorithmic) construction of geometrical model equivalent to the 
real is given. It is shown that with sufficient for practical applications accuracy the surface topology can be described by the fractal 
patterns that take into account irregularities, both at the micro and 
nanoscale. The proposed algorithm makes it possible to broadcast 
a method of creating a fractal structure at any detail level.

Its positive and negative features based on the midpoint dis
placement modernized algorithm use are noted. The algorithm 
correctness for modeling the other materials surfaces geometry is 
shown.

Keywords: fractal, scanning tunneling microscopy, surface to
pology, surface geometry.

Введение

Геометрические модели микроповерхностей ме
таллов и сплавов необходимы в расчетах таких физических процессов, как взаимодействие молекул 
газа с поверхностью [1], ламинарно-турбулентный 
переход, рассеяние световых полей и др. Используемые 
в настоящее время геометрические модели настолько упрощены, что не дают представления о структуре рельефа реальных поверхностей. Например, при 
решении задач газовой динамики они представляются в виде поверхностей параллельного переноса с 
синусоидальной направляющей [8]. Встречаются 
модели, представляющие собой многогранные по

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016 

верхности, грани которых задаются под определенным 
углом наклона к оси 0z [24].

В данной работе применена методика создания 

фрактальной модели поверхности, эквивалентной 
микроповерхности медного сплава М1 ГОСТ 495-77. 
Начиная с работы [19], этот сплав является одним 
из основных, используемых при определении тепловых потоков в высокотемпературных потоках газа за 
счет его каталитических свойств. Однако в последнее 
время появился целый ряд работ [16; 21–23], в которых на меди, получены очень низкие значения 
вероятностей гетерогенной рекомбинации атомов 
кислорода и азота, что требует дополнительного 
изучения поверхностного слоя. Методика получения 
характеристик реальной поверхности на основании 
снимков сканирующего туннельного микроскопа 
(СТМ) была описана в работах [2; 4].

Для понимания дальнейших выкладок напомним, 

что СТМ измеряет значение туннельного тока как 
дискретно заданной поверхности z = f (x, y) и выводит данные в виде матрицы размером 256 × 256. Это 
позволяет получить наглядное представление о геометрии поверхности в целом (рис. 2, а). Визуализация 
и расчеты проводились в среде MathCAD, что наложило определенные ограничения на использование 
возможностей персонального компьютера: попытка 
построения поверхности триангуляцией узловых 
точек вызывала ошибку со ссылкой на недостаток 
памяти. Хотя на расчеты это не повлияло, пришлось 
объемную визуализацию (рис.1) представить в виде 
множества точек, имеющих характерные градации 
серого оттенка (на приведенных рисунках «насыщенность» оттенка обратно пропорциональна высотным отметкам изображаемых точек). 

Заметим, что сплайн-интерполяция приводит к 

построению составной поверхности z = f (x, y), проходящей через массив исходных точек. Ее составляющими являются отсеки кубических сплайнов, имеющих непрерывные первые и вторые производные 
по обеим координатам. Однако подобная интерполированная поверхность становится непригодной 
для использования в расчетах, поскольку не имеет 
ничего общего с исходной (реальной) шероховатой 
поверхностью, получающейся в результате механической обработки. Поэтому дальнейшие расчеты 
основаны на использовании реальных данных, что 
требует привлечения методов фрактальной геометрии.

Как показано в работах [3–5], геометрия рельефа 

связана с фрактальной размерностью D1. Ее вычисление основано на использовании метода сетки [7], 
т.е. построении эталонных квадратов, покрывающих 
кривую, или кубов, охватывающих изучаемый отсек 

1 Фрактальная (Хаусдорфа–Безиковича) размерность D, в отличие 

от топологической (целой), в общем случае является дробной, где D > 
Dk [12].

поверхности. Показано, что справедлива степенная 
зависимость

N b
b
b

D
( ) ≈ 0
,

где N(b) — количество эталонных квадратов или 
кубов, необходимых для заполнения отсека плоскости или пространства без наложения;

 b0    — размер стороны квадрата или куба, при ко
тором N = 1;

 b    — текущий размер стороны квадрата или куба.

Рис. 1. Объемная визуализация фрагмента поверхности медного сплава, 

полученная на основе данных СТМ без сглаживания (а) 

и сплайн-интерполяции (б), устраняющей мелкодисперсный шум

В нашем случае некоторое значение y выделяет из 

матрицы значений высот z = f(x, y) профиль z = ϕ(x) 
(рис. 2). После этого реализуется процедура Е. Федера 
[14], которая подсчитывает количество квадратов N, 
которыми покрывается кривая z = ϕ(x). Выполнение 
этой процедуры предполагает непрерывность кривой, 
поэтому вначале выполняется ее линейная интерполяция (см. рис. 2).

а)

б)

Рис. 2. Профиль поверхности медного сплава М1 ГОСТ 495-77

Сам алгоритм, реализующий расчет фрактальной 

размерности, подразумевает наличие подпрограммы, 
определяющей размер стороны квадрата b, которыми покрывается исследуемый профиль. При этом 
количество квадратов N, укладывающихся на отрезке вдоль оси абсцисс, изменяется дискретно от 20 до 
200 с шагом, равным 10.

На рис. 3 показан график зависимости ln(N) от 

ln(b). Здесь же проведена линия регрессии f(t). 

• меньший объем памяти, требующийся для хране
ния и обработки данных о поверхности; код, необходимый для процедурных алгоритмов, занимает только часть объема данных о пространстве, 
но позволяет проводить построения высоких (или 
даже бесконечных) уровней деталировки;

• универсальность, так как параметризованный 

алгоритм может быть применен повторно для 
многократного создания различных по величине 
фрагментов пространства.
Еще в 1982 г. основоположник фрактальной гео
метрии Бенуа Мандельброт заметил сходство между 
следом от одномерного дробного броуновского движения и контуром горных вершин [12]. Расширение 
этой идеи дало толчок к созданию «броуновской 
поверхности», напоминающей гористую местность.

Поэтому одним из возможных вариантов постро
ения поверхности с помощью дробного броуновского движения является свободное экспериментирование с простым вводом значений p в некоторую 
трансформируемую функцию T. Примером трансформируемой функции T(p) может служить зависимость от входных параметров. Например, функция

 
T(p) = p[Y(х), Z (sx, sy)],

где Y(х)   — линейная функция вида Y(x) = kx + b;

 s     — коэффициент масштабирования;
 Z    — высотный параметр.
Геометрически функция T(p) представляет собой 

линейчатую поверхность Φ с плоскостью параллелелизма П = 0xy [6]. При этом коэффициенты k, b в 
уравнении образующей, а также коэффициент масштабирования s, зависят от характеристик направляющих линий поверхности Φ. На рис. 4 представлен 
пример образования фрактальной поверхности по 
этой схеме.

На этом рисунке отсеки поверхности с большими 

высотными отметками выглядят светлее:

а) после 8 итераций;
б) после 92 итераций;
в) после 92 итераций и фильтрации.
В этом алгоритме построения фрактальной по
верхности половина значений высот обновляется 
после каждой итерации. Это непосредственно связано с входными параметрами трансформируемой 
функции T(p). Следует отметить, что подобная процедура имеет тенденцию к бесконечному увеличению 
отклонения профиля фрактальной поверхности от 
средней линии. Так как результат может быть слишком грубым и искаженным, то, как правило, в качестве заключительного шага применяется фильтр 
низких частот, сводящийся к аппроксимации профиля сплайн-функцией или медианным перераспределением точек в пространстве.

Рис. 3. График зависимости ln(N) от ln(b) для профиля поверхности 

медного сплава М1

Как видно из приведенного графика, расчетные 

точки укладываются вдоль прямой, угловой коэффициент которой определяет клеточную размерность 
профиля Dc = 1,469. Хотя строгого доказательства 
соотношения фрактальной размерности профиля Dc
и фрактальной размерности поверхности D нет, принято считать, что D = Dc + 1 [13]. Поэтому применительно ко всей поверхности принимаем фрактальную размерность равной D = 2,47. Это означает, что 
фрактальная размерность лежит между 2D-объектом 
(проекцией отсека поверхности на координатную 
плоскость 0xy) и 3D-объектом (отсеком поверхности 
в пространстве). Полученное значение фрактальной 
размерности напрямую связано с параметром самоподобия H (Хeрста) зависимостью D = 3 – Н (для 
трехмерного пространства) и является универсальной 
геометрической характеристикой (инвариантом) 
поверхности. Параметр Херста позволяет создать 
модель изучаемой поверхности в виде искусственной 
структуры с помощью алгоритмов, основанных не 
на физических принципах образования шероховатой 
поверхности материала, а на основе процедур образования фракталов [12]. С позиций компьютерной 
графики они обладают двумя преимуществами:

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11

Этот алгоритм был использован для создания 

фрактальной модели (рис. 7) алюминиевого сплава 
Д16ТГОСТ 4784-97, одного из основных конструкционных материалов, применяемых в авиации и 
космонавтике [3].

Исследования характеристик поверхности были 

выполнены на основании снимка (рис. 5), полученного с помощью нанотехнологического комплекса 
Умка-02-Е на базе СТМ.

Сравнение рис. 6 и 7 дает основание утверждать, 

что искусственные (фрактальные) поверхности, имеющие характерные размеры неровностей, сравнимые 
с геометрией реальных поверхностей, могут быть 
использованы для аппроксимации последних. При 
этом требуется исследование влияния характеристик 
направляющих линий поверхности Φ на свойства 
конструируемой фрактальной поверхности с целью 
обеспечения качественной аппроксимации реальной 
поверхности.

Существенное отличие геометрии реальной (рис. 6) 

и фрактальной (рис. 7) поверхности привело исследователей к обобщению самоподобных фракталов 
самоаффинными [18; 20]. 

Один из таких алгоритмов основан на изменении 

полигональных характеристик на некоторую случайную величину относительно смещаемой средней 
точки (ССТ), задающей некоторую линию, разбивающую плоскость на области [15; 17]. Изначально эта 
идея была заложена в основу работы по созданию 
первого процедурного пейзажа [12; 25].

Для конструирования таких фрактальных поверх
ностей мы попытались повторить процедуру, описанную в работе [15]. Выяснилось, что после 48 ите
Рис. 4. Создание поверхности с помощью дробного 

броуновского движения

Рис. 5. Снимок поверхности Д16Т размером 2,27 × 2,27 мкм

На рис. 6 представлено наглядное объемное изо
бражение геометрии поверхности сплава Д16Т, где 
темным участкам соответствуют области с отрицательными значениями аппликат точек.

Рис. 6. Объемная визуализация снимка микроповерхности сплава Д16Т

Рис. 7. Искусственная (фрактальная) поверхность, эквивалентная отсеку 

поверхности сплава Д16Т

а)
б)

в)

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016 

раций и добавления фильтрации в соответствии с 
нормальным законом распределения вероятностей 
величина фрактальной размерности больше соответствует плоскости, нежели «сильно развитой» фрактальной поверхности. Поэтому алгоритм ССТ был 
усовершенствован введением масштабного коэффициента:

 
hn = k – H,

где k   — порядковый номер итерации;

 Н   — показатель Херста.
В геометрическом плане усовершенствование 

алгоритма свелось к замене трансформируемой функции T(p), задаваемой при создании «броуновской 
поверхности» (см. рис. 4) в виде линейчатой поверхности с плоскостью параллелизма, циклической 
поверхностью (рис. 8), т.е. в качестве задаваемой 
линии выбирались окружности.

Рис. 9. Фрактальная самоаффинная поверхность:

а) после 120 итераций и фильтрации, б) после 180 итераций 

и фильтрации

Отметим, что сравнение реальной микроповерх
ности медного сплава и искусственной фрактальной 
поверхности только на основе равенства их дробной 
размерности является неполным. Поэтому был проведен комплексный расчет характеристик шероховатости реальной и аппроксимирующей поверхностей 
в соответствии с ГОСТ 2789-73, а именно:
• высотных характеристик профиля (Ra, Rz, Rmax);
• шаговых характеристик профиля (Sm, S);
• параметра относительной опорной длины про
филя (tp).
Расчеты выполнены в среде MathCAD по формулам, 

взятым из справочника [6]. Результаты сведены в 
табл. 1.

 
Таблица 1

Комплексный расчет характеристик шероховатости реальной 

и аппроксиммирующей поверхностей

Параметр
Реальная 

поверхность

Фрактальная 
поверхность

Ra, мкм
0,36
0,44

Rz, мкм
0,63
0,59

Rmax, мкм
1,15
1,1

Sm, мкм
2,6
2,25

S, мкм
1,15
1,4

tp, мкм
0,57
0,52

D
2,47
2,5

L, мкм
18,61
18,87

S, мкм3
176,79
179,26

Анализ результатов расчета, приведенных в табл. 1, 

дает основание утверждать, что алгоритм смещения 
средней точки для формирования фрактальной поверхности достаточно прост и пригоден для аппроксимации реальной микроповерхности, полученной 
на основании данных СТМ.

Итерационный метод получения «развитой» фрак
тальной поверхности, реализующий описанный в 
статье алгоритм ССТ, соответствует идее расслоения 

Рис. 8. Создание фрактальной самоаффинной поверхности методом ССТ: 

а) после 3 итераций, б) после 60 итераций, 

в) после 60 итераций и фильтрации

Так как задачей конструирования было получение 

фрактальной поверхности, сходной с моделируемой 
поверхностью медного сплава, то фрактальная размерность рассчитывалась через каждые 10 итераций. 
Визуально (рис. 9) отличия после 100 итераций мало 
заметны в силу того, что изменения на этом этапе 
идут на более низких уровнях. Фрактальная размерность D = 2,5 была достигнута только на 180-й итерации.

а)
б)

в)

а)
б)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11

[10; 11] в решении многомерных геометрических 
задач и конструировании расслояемых кремоновых 
преобразований. Обобщения алгоритма ССТ с целью 
уменьшения количества итераций для достижения 
необходимых значений дробной размерности аппроксимирующей фрактальной поверхности, повидимому, можно достичь:

а) использованием не только самоподобных и 

самоаффинных, но и самопроективных и самобирациональных2 фракталов;

б) интерпретацией и обобщением алгоритма ССТ 

через свойства и характеристики направляющих 
линий поверхностей с плоскостью параллелизма, 
сечения которых горизонтальными плоскостями 
задают «ключ» этого алгоритма на каждом этапе 
итеративного построения.

И, наконец, отмечая роль симметрии в геометрии 

[12], что, в частности, проявляется в теории инвалюционных преобразований, принципе двойственности, полезно использовать ее свойства при конструировании фрактальных форм, обобщении на 
многомерные пространства [9].

2 В [13] приведены конкретные примеры таких фракталов: «самоин
версное фрактальное лоскутное одеяло», «самоквадрируемый фрактальный дракон».

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016 

Литература

1. Аксенова О.А. Фрактальное моделирование шерохова
той поверхности при аэродинамическом расчете в 
разреженном газе [Текст] / О.А. Аксенова // Аэродинамика. — СПб.: Изд-во С.-Петерб. университета. — 
2000. — С. 120–129.

2. Бахтизин Р.З. Сканирующая туннельная микроско
пия — новый метод изучения поверхности твердых тел 
[Текст] / Р.З. Бахтизин // Соросовский образовательный 
журнал. — 2000. — № 11. — С. 83–89.

3. Брылкин Ю.В. Моделирование структуры рельефа ре
альных поверхностей на основе фракталов в аэродинамике разреженных газов [Текст] / Ю.В. Брылкин, 
А.Л. Кусов // Космонавтика и ракетостроение. — 2014. — 
№ 3. — C. 22–28.

4. Брылкин Ю.В. Соотношение фрактальной размерности 

и различной шероховатости для образцов меди [Текст] / 
Ю.В. Брылкин, А.Л. Кусов // Межвуз. сб. науч. тр. 
Физико-химические аспекты изучения кластеров, наноструктур и наноматериалов. — 2013. — Вып. 5. — 
С. 33–38.

5. Герасимова О.Е. Моделирование шероховатой поверх
ности [Текст] / О.Е Герасимова, С.Ф. Борисов, С.П. Проценко // Математическое моделирование. — 2004. — Т. 16. — 
№ 6. — С. 40–43.

6. Гжиров Р.И. Краткий справочник конструктора [Текст]: 

Справочник / Р.И. Гжиров. — Л.: Машиностроение, 
Ленингр. отд-ние, 1984. — 464 с.

7. Гринченко В.Т. Фракталы: от удивления к рабочему 

инструменту [Текст]: учеб. пособие / В.Т. Гринченко, 
В.Т. Мацыпура, А.А. Снарский. — Киев: Наукова думка, 2013. — 270 с.

8. Ерофеев А.И. О влиянии шероховатости на взаимодей
ствие потока газа с поверхностью твердого тела [Текст] / 
А.И. Ерофеев // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. — 1967. — № 6. — С. 82–89.

9. Жихарев Л.А. Обобщение на трехмерное пространство 

фракталов Пифагора и Коха. Ч. 1 [Текст] / Л.А. Жихарев // 
Геометрия и графика. — 2015. — Т. 3. — № 3. — 
С. 24–37. — DOI: 10.12737/14417.

10. Иванов Г.С. Начертательная геометрия [Текст] / 

Г.С. Иванов. — М.: ФГБОУ ВПО МГУЛ, 2012. — 340 с.

11. Иванов Г.С. Применение идеи расслоения в конструи
ровании кремоновых преобразований / Основные направления научно-педагогической деятельности факультета ландшафтной архитектуры [Текст] / Г.С. Иванов // Научные труды. — Вып. 348. — 2010. — М.: 
МГУЛ. — С. 96–100.

12. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы 

[Текст] / Б. Мандельброт. — М.; Ижевск: Ижевский 
институт компьютерных исследований, НИЦ «Регулярная 
и хаотическая динамика», 2010. — 656 с.

13. Торхов Н.А., Новиков В.А. Фрактальная геометрия по
верхностного потенциала электрохимически осажденных пленок платины и палладия [Текст] / Н.А. Торхов, 
В.А. Новиков // Физика и техника полупроводников. — 
2009. — Т. 43. — Вып. 8. — С. 1109–1116.

14. Федер Е. Фракталы [Текст] / Е. Федер; пер. с англ. — 2-е 

изд. — М.: УРСС: Ленанд, 2014. — 256 с.

15. Шишкин Е.И. Моделирование и анализ пространственных 

и временных фрактальных объектов [Текст] / Е.И. Шишкин. — Екатеринбург: Урал. гос. ун-т. — 2004. — 88 с.

16. Cauquot P., Cavadias S., Amouroux J. Thermal Energy 

Accommodation from Oxygen Atoms Recombination on 
Metallic Surfaces // Journal of Thermophysics and Heat 
Transfer. — 1998. — Vol. 12. — No. 2.

17. De Carpentier, Giliam J.P. Interactively synthesizing and 

editing virtual outdoor terrain. MA thesis. Delft University 
of Technology, 2007. — URL: http://www.decarpentier.nl/
downloads/nteractivelySynthesizingAndEditingVirtualOutDoorTerrain_report.pdf

18. Ebert D.S. Texturing & Modeling: A Procedural Approach. 

Third Edition / D.S. Ebert, F.K. Musgrave, D. Peachey, 
K. Perlin, S. Worley // The Morgan Kaufmann Series in 
Computer Graphics. — 2003.

19. Goulard R. On Catalytic Recombination Rates in Hypersonic 

Stagnation on Heat Transfer // Jet Propulsion. 1958. — 
Vol. 28. — № 11. — Pp. 737–745. 

20. Musgrave F.K. The synthesis and rendering of eroded frac
tal terrains. / F.K. Musgrave, C.E. Kolb, R.S. Mace // In 
Proceedings of the SIGGRAPH '89. — ACM Press. — New 
York. — 1989. — Pp. 41–50.

21. Park C., Raiche G.A., Driver D.M. at al. Comparison of 

Enthalpy Determination Methods for Arc-Jet Facility // 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016  
GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11

Journal of Thermophysics and Heat Transfer. — 2006. — 
Vol. 20. — No. 4.

22. Park G. Oxygen Catalytic Recombination on Copper Oxyde 

in Tertiary Gas Mixtures // Journal of Spacecraft and 
Rockets. — 2013. — Vol. 50. — No. 3.

23. Sarrette J.-P., Rouffet B., Ricard A. Determination of Nitrogen 

Atoms Probabilities on Copper, Aluminium, Alumina, Brass 
and Nylon Surfaces // Plasma Process. Polym. — 2006. — 
№ 3. — Pp. 120–126.

24. Sawada Т. Diffuse scattering of gas molecules from conical 

surface roughness / Т. Sawada, B.Y. Horie, W. Sugiyama // 
Vacuum. — 1997. — № 6–8. — Pp. 795–797.

25. Voss R.F. «Random Fractal Forgeries» in Fundamental 

Algorithms for Computer Graphics / R.F. Voss; edited by 
R.A. Earnshaw. — NATO ASI. Springer-Verlag. — New 
York, 1985.

References

1. Aksenova O.A. Fraktal'noe modelirovanie sherohovatoj 

poverhnosti pri aehrodinamicheskom raschete v razrezhennom gaze [Rough surfaces fractal modeling in the aerodynamic calculation in a rarefied gas]. Aerodinamika [Aerodynamics]. St. Petersburg, St. Petersburg University Publ., 
2000. pp. 120–129.

2. Bakhtizin R.Z. Skaniruyushchaya tunnel'naya mikroskopi
ya — novyj metod izucheniya poverhnosti tverdyh tel [Scanning 
tunneling microscopy — a new method for studying the 
surface of solids]. Sorosovskij obrazovatel'nyj zhurnal [Soros 
educational journal]. 2000, I. 11, pp. 83–89. (in Russian)

3. Brylkin Yu.V., Kusov A.L. Modelirovanie struktury rel'efa 

real'nyh poverhnostej na osnove fraktalov v aehrodinamike 
razrezhennyh gazov [Modeling of the real relief surfaces 
structure, based on fractals in the aerodynamics of rarefied 
gases]. Kosmonavtika i raketostroenie [Cosmonautics and 
rocket engineering]. Korolyov, TSNIImash Publ., 2014, I. 
3(76), pp. 22–28. (in Russian)

4. Brylkin Y.V., Kusov A.L. Sootnoshenie fraktal'noj razmer
nosti i razlichnoj sherohovatosti dlya obrazcov medi [Relation 
between fractal dimension and surface roughness for the 
copper samples]. Mezhvuz. sb. nauch. tr. Fiziko-himicheskie 
aspekty izucheniya klasterov, nanostruktur i nanomaterialov
[Interuniversity collection of nauchnyh works. Physicochemical aspects of the study of clusters, nanostructures 
and nanomaterials]. Tver', Tver. gos. un-t. Publ., 2013, I. 5, 
pp. 33–38. (in Russian)

5. Gerasimova O.E., Borisov S.F., Procenko S.P. Modelirovanie 

sherohovatoj poverhnosti [Modeling rough surfaces]. 
Matematicheskoe modelirovanie [Mathematical modeling]. 
2004, V. 16, I. 6, pp. 40–43. (in Russian)

6. Gzhirov R.I. Kratkij spravochnik konstruktora [Brief refer
ence design]. Leningrad, Leningr. otd-nie Mashinostroenie 
Publ., 1984. 464 p.

7. Grinchenko V.T., Macypura V.T., Snarskij A.A. Fraktaly: ot 

udivleniya k rabochemu instrumentu [Fractals: from surprise 
to a working tool]. Kiev, Naukova dumka Publ, 2013. 270 p.

8. Erofeev A.I. O vliyanii sherohovatosti na vzaimodejstvie 

potoka gaza s poverhnost'yu tverdogo tela [The impact of 
roughness on gas flow interaction with a solid surface]. 
Mekhanika zhidkosti i gaza [Fluid mechanics]. Academy of 
Sciences USSR Izvestiya Publ., 1967, I. 6, pp. 82–89. (in 
Russian)

9. Zhiharev L.A. Obobshchenie na tryohmernoe prostranstvo 

fraktalov Pifagora i Koha. Chast' 1 [A generalization to 
three-dimensional space of fractal Pythagoras and Koch. 
Part 1]. Geometriya i grafika [Geometry and Graphics]. 2015, 
V. 3, I. 3, pp. 24–37. DOI: 10.12737/14417.

10. Ivanov G.S. Nachertatel'naya geometriya [Descriptive ge
ometry]. Moscow, MSFU Publ, 2012. 340 p.

11. Ivanov G.S. Primenenie idei rassloeniya v konstruirovanii 

kremonovyh preobrazovanij [The application of the stratification idea in the Cremona design transformations]. Nauchnye 
trudy “Osnovnye napravleniya nauchno-pedagogicheskoj 
deyatel'nosti fakul'teta landshaftnoj arhitektury” [Proc. of the 
MSFU “Main directions of scientific and pedagogical activity of landscape architecture faculty”], Moscow, MSFU 
Publ., 2010, I. 348, pp. 96–100. (in Russian)

12. Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. New 

York. W. H. Freeman and Company, 1982. 470 p. (Russ. 
Ed.: Mandelbrot B. Fraktal'naya geometriya prirody. Moscow, 
Izhevsk, Izhevskij institut komp'yuternyh issledovanij Publ., 
NIC «Regulyarnaya i haoticheskaya dinamika» Publ., 2010. 
656 p.).

13. Torkhov N.A., Novikov V.A. Fraktal'naya geometriya pov
erhnostnogo potenciala ehlektrohimicheski osazhdennyh 
plenok platiny i palladiya [The fractal geometry of surface 
potential of electrochemically deposited films of platinum 
and palladium]. Fizika i tekhnika poluprovodnikov [Physics 
and semiconductors technology]. 2009, V. 43, I. 8, 
pp. 1109–1116. (in Russian)

14. Feder E. Fractals. New York. Plenum Press. 283 p. (Russ 

ed.: Feder E. Fraktaly. Moscow, URSS: Lenand Publ., 2014. 
256 p.).

15. Shishkin E.I. Modelirovanie i analiz prostranstvennyh i vre
mennyh fraktal'nyh ob"ektov [Modeling and analysis of spatial and temporal fractal objects]. Ekaterinburg, Ural. gos. 
un-t Publ., 2004. 88 p. 

16. Cauquot P., Cavadias S., Amouroux J. Thermal Energy 

Accommodation from Oxygen Atoms Recombination on 
Metallic Surfaces. Journal of Thermophysics and Heat 
Transfer. 1998, vol. 12, no. 2.

17. De Carpentier, Giliam J.P. Interactively synthesizing and 

editing virtual outdoor terrain. MA thesis. Delft University 
of Technology. 2007. Available at: http://www.decarpentier.
nl/downloads/nteractivelySynthesizingAndEditingVirtualOutDoorTerrain_report.pdf

18. Ebert D.S., Musgrave F.K., Peachey D., Perlin K., Worley S. 

Texturing & Modeling: A Procedural Approach. Third Edition. 
The Morgan Kaufmann Series in Computer Graphics, 2003.

19. Goulard R. On Catalytic Recombination Rates in Hypersonic 

Stagnation on Heat Transfer. Jet Propulsion. 1958, V. 28, 
I. 11, pp. 737–745. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2016). Vol. 4. Iss. 1. 4–11 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 1. 2016 

20. Musgrave F.K. Kolb C.E., Mace R.S. The synthesis and 

rendering of eroded fractal terrains. In Proceedings of the 
SIGGRAPH '89. ACM Press. New York, 1989. pp. 41–50.

21. Park C., Raiche G.A., Driver D.M. at al. Comparison of 

Enthalpy Determination Methods for Arc-Jet Facility. Journal 
of Thermophysics and Heat Transfer. 2006, vol. 20, no. 4.

22. Park G. Oxygen Catalytic Recombination on Copper Oxyde 

in Tertiary Gas Mixtures. Journal of Spacecraft and Rockets. 
2013, V. 50, I. 3.

23. Sarrette J.-P., Rouffet B., Ricard A. Determination of Nitrogen 

Atoms Probabilities on Copper, Aluminium, Alumina, Brass and 
Nylon Surfaces. Plasma Process. Polym. 2006, I. 3, pp. 120–126.

24. Sawada Т., Horie Y., Sugiyama B.W., Diffuse scattering of 

gas molecules from conical surface roughness. Vacuum. 
1997, I. 6–8, pp. 795–797.

25. Voss R.F. «Random Fractal Forgeries» in Fundamental 

Algorithms for Computer Graphics. R.F. Voss; edited by R.A. 
Earnshaw. NATO ASI. Springer-Verlag. New York. 1985.