Неопределенный интеграл

Москва
 ВУЗОВСКИЙ УЧЕБНИК
ИНФРА-М
2013

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

И.Г. ЛуРьЕ

Лурье И.Г.

Неопределенный интеграл: учебное пособие — М.: Вузовский 
учебник: ИНФРА-М,  2013. —  78 с. 

ISBN 978-5-9558-0287-9 (Вузовский учебник) 
ISBN 978-5-16-006333-1 (ИНФРА-М)

Настоящее учебное пособие написано в соответствии с действующей 
учебной программой по математике для вузов. Пособие предназначено для 
студентов первых курсов всех специальностей и имеет своей целью помочь 
студентам овладеть методами и техникой интегрирования. Оно также может быть 
использовано студентами старших курсов.
В пособии содержится большое количество типовых примеров с подробным 
решением, а в конце каждой темы предложены примеры для самостоятельной 
работы.

 

© Вузовский учебник, 2009, 2012

ISBN 978-5-9558-0287-9 (Вузовский учебник)
ISBN 978-5-16-006333-1 (ИНФРА-М) 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение……………………………………………………………………………………..3 
§1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного 
интеграла…………………………………………………………………………………….4 
§2. Основные методы интегрирования……………………………………………….…..9 
2.1. Непосредственное интегрирование………………………………………….....9 
2.2. Метод замены перемнной……………………………………………………....13 
2.2.1. Интегрирование методом внесения множителя под 
знак дифференциала…………………………………………………………....13 
2.2.2. Метод постановки, метод замены перемнной………………………….19 
2.3. Метод интегрирования по частям……………………………………………...23 
§3. Интегралы от некоторых функций, содержащих квадратный трехчлен……….….30 
§4. Интегрирование рациональных функций……………………………………………33 
4.1. Простейшие дроби и их интегрировании……………………………………...33 
4.2. Разложение правильной рациональной дроби на сумму 
простейших дробей…………………………………………………………………..37 
4.3. Интегрировнаие рациональных дробей с помощью разложения 
на простейшие дроби………………………………………………………………...40 
§5. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические функции…….…48 
§6. Интегрирование некоторых иррациональных функций…………………………....61 
6.1. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью 
алгебраических подстановок…………………………………………………….….61 
6.2. Интегрирование некоторых иррациональных функций с помощью 
тригонометрических подстановок………………………………………………….68 
§7. Об интегрировании в элементарных функциях с помощью 
справочной литературы…………………………………………………………………...72 
Приложение 1. Некоторые тригонометрические формулы и соотношения…………...74 
Приложение 2. Таблиза основных производных………………………………………..75 
Приложение 3. Таблица основных интегралов………………………………………….76 
Список рекомендуемой литературы……………………………………………………...77 
 

Введение 
 
 
Приступая к изучению темы "Неопределенный интеграл", необходимо знать 
таблицу производных, общие правила и методы дифференцирования. Интегрирование 
есть действие, обратное дифференцированию. Однако, интегрирование значительно 
сложнее дифференцирования. Так, если нахождение производной элементарных 
функций производится по установленным правилам и формулам (некоторому 
алгоритму), то вычисление интегралов – задача сложная, она требует знания различных 
методов интегрирования, логического мышления, индивидуального подхода, времени. 
Чтобы правильно выбрать метод интегрирования, удачно применить подстановку 
или просто произвести преобразования подынтегрального выражения и свести данный 
интеграл к табличному, нужен большой опыт и практика. Обучаемый должен 
приложить огромное старание для приобретения умения и навыков интегрирования. 
Настойчивость и желание, помноженные на кропотливый труд, обязательно 
приведет к успеху. 
 

Единственный путь, ведущий 
к знанию – деятельность. 
Бернард Шоу 
 
 
§1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл. 
Свойства неопределенного интеграла. 
Литература: [1], ч. 1, гл. Х, § 1-3. [2], гл. 5, § 5.1. 

Во многих теоретических и прикладных вопросах математического анализа 

приходится решать задачу, обратную дифференцированию, а именно: по заданной 
производной F' (x)=f(x) или, что то же самое, по заданному дифференциалу dF(x) найти 
первоначальную функцию F(x). 

Определение. Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором 
промежутке изменения переменной х, если в каждой точке этого промежутка 
производная функции F(x) равна f(х), или, что то же самое, дифференциал функции F(x) 
равен выражению f (x)dx, то есть 

( )
( )
x
f
x
F
=
′
 
или 

( )
( )dx
x
f
x
dF
=
 
Функция 
( )
3
12x
x
F
=
, является первообразной для функции 
( )
2
36x
x
f
=
, так как 
(
)
2
!
3
36
12
x
x
=
 или (
)
dx
x
x
d
2
3
36
2
=
. 
Функция 
( )
x
x
F
2
cos
=
 является первообразной для функции 
( )
x
x
f
2
sin
2
−
=
, так как 

(
)
x
x
2
sin
2
2
cos
−
=
′
 или (
)
xdx
x
d
2
sin
2
2
cos
−
=
. 

Функция 
( )
x
x
F
ln
=
 является первообразной для функции 
( )
x
x
x
f
ln
2
=
, так как 

(
)
x
x
x
ln
2
ln 2
=
′
 или (
)
dx
x
x
x
d
ln
2
ln 2
=
. 

Если функция 
( )
x
f
 имеет первообразную 
( )
x
F
, то она имеет бесконечное множество 
первообразных, причем все первообразные содержатся в выражении 
( )
С
ч
А
+
, где С  - 
произвольная постоянная. 

Для функции ( )
2
2
1
x
e
x
f
=
 первообразной будет функция ( )
2
e
x
F
=
, так как 
2
2
2
1
x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
. 

Функция 
( )
10
2
1
+
=

x
e
x
F
, 
( )
5
2
2
−
=

x
e
x
F
, 
( )
π
+
=
2
3

x
e
x
F
, 
( )
3
ln
2
4
−
=

x
e
x
F
,…, 
( )
С
e
x
F

x

т
+
=
2
 

также будут первообразными для функции 
( )
2
2
1
x
e
x
f
=
, так как 
2
2
2
1
10

x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
, 

2
2
2
1
5

x
x
e
e
=
′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
, 
2
2
2
1
x
x
e
e
=
′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+π
, 
2
2
2
1
3
ln

x
x
e
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
−
,…, 
2
2
2
1
x
x
e
C
e
=

′

⎟⎟
⎠

⎞
⎜⎜
⎝

⎛
+
. 

 
 

Свойства первообразных. 
 
Свойство 1. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а функция 
( )
x
Φ

есть первообразная для функции 
( )
x
ϕ
, то функция 
( )
( )
x
x
F
Φ
+
 есть первообразная для 
функции ( )
( )
x
x
f
ϕ
+
, то есть 

( )
( )
(
)
( )
( )
x
x
f
x
x
F
ϕ
+
=
′
Φ
+
, 
или 

( )
( )
(
)
( )
( )
(
)dx
x
x
f
x
x
F
d
ϕ
+
=
Φ
+
. 
 
Свойство 2. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а k  - 

произвольная постоянная, то функция 
( )
x
kF
 - первообразная для функции 
( )
x
kf
, то есть 

( )
(
)
( )
x
kf
x
kF
=
′
 
или 

( )
(
)
( )dx
x
kf
x
kF
d
=
. 
 
Свойство 3. Если функция 
( )
x
F
 есть первообразная для функции 
( )
x
f
, а k  и b  - 

постоянные, причем 
0
≠
k
, то 
(
)
b
kx
F
+
2
1
 есть первообразная для функции 
(
)
b
kx
f
+
, то 

есть 

(
)
(
)
b
kx
f
b
kx
F
k
+
=
′
+
1
 

или 

(
)
(
)dx
b
kx
f
b
kx
F
k
d
+
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
1
 

Пример. Найти общий вид первообразных для функции ( )
2
1
3 +
= x
x
f
. 

Решение. 

Так как для 
3
x  одна из первообразных есть 4

4
x , а для 
2
1
x  одной из первообразных 

является 
x
1
−
, то согласно свойству 1, одной из первообразных для функции 

( )
2
1
3 +
= x
x
f
 - будет функция 
( )
x
x
x
F
1
4

4
−
=
. Общий вид всех первообразных будет 

представлять функция ( )
C
x
x
x
x
F
+
−
=
1
4

4
. 

Пример. Найти общий вид первообразных для функции ( )
x
x
f
cos
5
=
. 

Решение. 
Так как для 
x
cos  одна из первообразных есть 
x
sin
, то, согласно свойству 2, получаем 
( )
x
x
F
sin
5
=
. 
Пример. Найти общий вид первообразных для функции 
(
)
2
3
sin
−
=
x
y
. 

Решение. 
Для 
x
sin
 одной из первообразных является 
x
cos , поэтому, применяя свойство 3, имеем 

( )
(
)
C
x
x
F
+
−
−
=
2
3
cos
3
1
. 

Задача. Материальная точка массой 2кг движется по оси Ox  под действием силы, 
направленной вдоль этой оси. В момент времени t  эта сила равна 
( )
2
3 −
= t
t
F
. Найти 
закон ( )t
S
 движения точки, если известно, что при 
c
t
2
=
 скорость точки равна 3м/с. 
Решение. 
Согласно второму закону Ньютона, 
ma
F =
, где a  - ускорение. 

Учитывая условие 
2
=
m
, получаем ( )
1
2
3 −
=
=
t
m
F
t
a
. 

Скорость ( )t
v
 точки есть первообразная для ее ускорения ( )t
a
, поэтому ( )
1
2
4
3
C
t
t
t
v
+
−
=
. 

Постоянную 
1
C  находим из условия ( )
3
2 =
v
: 

2
,3
2
4
4
3

1
1
=
=
+
−
⋅
C
C
, 

( )
2
4
3
2
−
−
=
t
t
t
v
. 

Функция ( )t
S
 есть первообразная для скорости ( )t
v
, поэтому 

( )
2
2
3
2
1
4
1
C
t
t
t
S
+
+
=
. 

Постоянную 
2
C  находим из условия ( )
1
2 =
S
: 

3
,1
4
4
2
1
8
4
1

2
2
−
=
=
+
+
⋅
−
⋅
C
C
. 

И так закон движения точки: ( )
3
2
2
1
4
1
2
3
−
+
−
=
t
t
t
t
S
. 

Определение. Совокупность всех первообразных функции 
( )
x
f
 называется 

неопределенным интегралом от функции ( )
x
f
 и обозначается 
( )
∫
dx
x
f
. 

Таким образом, по определению 
( )
( )
C
x
F
dx
x
f
+
=
∫
, где ( )
x
f
 - подынтегральная функция 
( )dx
x
f
 - подынтегральное выражение, x  - переменная интегрирования, C  - является 
произвольной постоянной, а символ ∫ - знаком интеграла. 

Отыскание неопределенного интеграла от функции 
( )
x
f
 называется интегрированием 
этой функции. 
Геометрически в системе координат XOY  графики всех первообразных функций от 
данной функции 
( )
x
f
 представляют семейство кривых, зависящих от одного параметра 
С , которые получаются одна из другой путем параллельного сдвига вдоль оси OY  
(рисунок 1). 
 

 
 
 

Основные свойства неопределенного интеграла 
 
Свойство 1.Производная от неопределенного интеграла по переменной интегрирования 
равна подынтегральной функции, то есть 

( )
(
)
( )
x
f
dx
x
f
=
′
∫
. 

Свойство 2. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному 
выражению, то есть 

( )
(
)
( )dx
x
f
dx
x
f
d
=
∫
. 

Свойство 3. Интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс 
произвольная постоянная, то есть 

( )
( )
∫
+
=
C
x
F
x
dF
. 

Замечание. Знаки интеграла и дифференциала, если они стоят рядом, взаимно 
уничтожаются. 
 
Свойство 4. Постоянный множитель можно выносить за знак неопределенного 
интеграла, то есть 

( )
(
)
( )
∫
∫
=
dx
x
f
k
dx
x
kf
. 

Свойство 5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа 
функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций, то есть 
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
∫
±
=
±
dx
x
dx
x
f
dx
x
x
f
ϕ
ϕ
, 

если интегралы в правой части равенства существуют. 
Свойство 6.Если 
( )
( )
∫
+
=
C
x
F
dx
x
f
 и 
( )
x
u
ϕ
=
 - некоторая дифференцируемая функция 

от x , то 

( )
( )
C
u
F
dx
u
f
+
=
∫
. 

Это свойство называется свойством инвариантности (постоянства) интеграла. Основные 
формулы интегрирования представлены таблицей простейших интегралов (см. 
приложение №3). В этих формулах a -постоянная, u -независимая переменная ил любая 
дифференцируемая функция от независимой переменной. При вычислении интегралов 
будем пользоваться этой таблицей. 
Найти следующие интегралы: 

1. ∫ 3
5
x

dx . 

Решение. 
dx
x
x

dx
∫
∫

−
=
3
5

3
5
. 

Применяя формулу 1 при 
x
u
n
=
−
=
,
3
5
. 

Получаем 
C
x
C
x
C
x
dx
x
x

dx
+
−
=
+
−
=
+
+
−
=
=

−
+
−
−
∫
∫
3
2

3
2
1
3
5

3
5

3
5
2

3

3
2
1
3
5
. 

2. ∫
+ 3
2t
dt
.