Аналитическая геометрия

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  РОССИЙСКОЙ  ФЕДЕРАЦИИ 

СИБИРСКИЙ  ФЕДЕРАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ 

А. Н. Остыловский 

АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ 

Допущено Учебно-методическим объединением по классическому 

университетскому образованию в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению подготовки 
высшего профессионального образования 010100 Математика, 30.06.2010 

Красноярск 

СФУ 
2011 

УДК 514.12(07) 
ББК  22.151.54я73 

О-79 

Рецензенты: 

О. В. Капцов, д-р физ.-мат. наук, проф. ведущий науч. сотр. Ин
ститута вычислительного моделирования СО  РАН (г. Красноярск); 

Н. В. Волков, д-р физ.-мат. наук, проф. зам. директора по науке 

Института физики им. Л. В. Киренского СО  РАН (г. Красноярск) 

Остыловский, А. Н. 

О-79 
 
Аналитическая геометрия : учеб. пособие / А. Н. Осты
ловский. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2011. – 92 с. 

ISBN 978-5-7638-2196-3 

Изложены основные теоретические положения раздела «Аналитиче
ская геометрия» курса «Математика». Особое внимание уделено инвариантной теории, векторным тождествам и уравнениям. Рассмотрены также произвольный базис, матрица Грама, структурный тензор векторного произведения. 

Предназначено для студентов направления подготовки 010100 Матема
тика, а также для студентов инженерно-физических направлений и специальностей. 

УДК 514.12(07) 

ББК  22.151.54я73 

ISBN 978-5-7638-2196-3 
 
 
© Сибирский федеральный университет, 2011 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Настоящее пособие предназначено для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению 010100 — ≪Математика≫, а также может быть полезно студентам, обучающимся по направлениям и специальностям ≪Прикладная математика и информатика≫, ≪Механика≫.

Цель пособия — помочь студентам освоить трудные разделы курса ≪Аналитическая геометрия≫. При изложении автор опирался на личный опыт многолетнего преподавания аналитической геометрии на физическом факультете Красноярского государственного университета. Для
физиков важно уметь оперировать векторами не только в координатной, но и в инвариантной (бескоординатной) форме, что отражает идею
изотропности пространства. В данном пособии курс ≪Аналитическая геометрия≫ излагается как в инвариантной, так и в координатной формах.
Следует отметить, что в имеющейся учебной литературе по данному курсу, как правило, вопросы инвариантной теории освещены недостаточно
для понимания основ теоретической физики. В предлагаемом пособии
все утверждения векторной алгебры сначала выводятся в инвариантной
форме, а затем переводятся на координатный язык. Уравнения плоскостей и прямых в пространстве также выводятся вначале в компактной
инвариантной форме. Такой подход, на наш взгляд, позволяет лучше
понять суть предмета, тем более, что в координатной форме многие результаты очень громоздки. Инвариантные выражения (даже в неортонормированном базисе) всегда можно перевести на координатный язык.
Обратный переход не всегда возможен, а если и возможен, то может
оказаться весьма затруднительным.

Пособие состоит из четырёх глав. В главе 1 в полном объёме изложен аппарат векторной алгебры в инвариантной форме. В главе 2
утверждения, доказанные в главе 1, представлены в координатной форме. Кроме того, в данной главе вводится тензорный язык немого суммирования, используемый для изложения векторной теории в произвольном (необязательно ортонормированном) базисе. В главах 3, 4 выводятся векторные (инвариантные) уравнения прямых и плоскостей, а также рассматриваются решения задач о взаимном расположении прямых
и плоскостей.

В пособии приведено большое количество примеров и упражнений,
что поможет студентам успешно освоить названный курс и на теоретическом, и на прикладном уровне.

3

1. ВЕКТОРЫ. ИНВАРИАНТНАЯ ТЕОРИЯ

1.1. Скалярные и векторные величины

Величины, которые при выбранной единице измерения могут быть
однозначно заданы числом, называют скалярными величинами. Таковыми являются масса, плотность, время, энергия, температура и т.д.
Но в природе есть и более сложные величины. Например, для задания
скорости нужно указать не только ее числовую характеристику, но и направление. То же можно сказать о силе, ускорении, угловой скорости,
повороте и т.п. Однако, как будет показано ниже, эти величины могут
обладать различными алгебраическими свойствами.

Векторными величинами в физике называют сущности:
1) которые однозначно задаются числом (при выбранной единице
измерения) и направлением;

2) направление которых существует ≪само по себе≫, т.е. не зависит
ни от каких договоренностей (правило левой руки, правило буравчика
и т.п.);

3) которые складываются с себе подобными по правилу параллелограмма.

При этом нужно указать, что понимается под сложением двух физических величин, а это не всегда просто.

Самым простым примером векторных величин являются силы, приложенные к одной точке.

Обратимся к угловой скорости. В качестве ее направления можно взять ось вращения. Но при выборе направления этой оси остается
неопределенность в 180◦, для устранения которой как раз и требуется
договоренность типа правила буравчика, что нарушает условие 2 определения вектора. При этом условие 3 определения, как известно из курса
механики, выполняется.

Величины, удовлетворяющие условиям 1, 3, но не удовлетворяющие условию 2, называют псевдовекторными величинами или аксиальными (осевыми) векторными величинами.

Еще сложнее обстоит дело с поворотами. Под операцией сложения поворотов естественно понимать последовательное выполнение поворотов. Нетрудно указать повороты ϕ, ψ такие, что ϕ + ψ ̸= ψ + ϕ,
т.е. сложение поворотов некоммутативно. (Возьмите прямоугольный параллелепипед, например книгу, и поупражняйтесь). Но правило парал4

лелограмма коммутативно, а значит, повороты складываются по иному
правилу. Тем самым для поворотов нарушается условие 3 определения
векторной величины и они не являются таковыми.

1.2. Формализация: свободные геометрические
векторы

Было бы слишком хлопотно строить от-a
b
=

Рис. 1.1

дельно исчисления векторов-скоростей, векторов-сил и т.д. Несмотря на очевидные различия, у них много общего. Именно эта общность является основанием математической
абстракции — понятия ≪свободный геометрический вектор≫.

Направленный отрезок в пространстве, т.е. отрезок, для которого один конец считается первым (началом), другой — вторым (концом),
называется свободным геометрическим вектором. При этом два таких
вектора считаются равными, если они могут быть совмещены параллельным переносом (рис. 1.1).

Рассматривают также скользящие и связанные векторы. Для них
дается другое определение равенства. Два скользящих вектора называют равными, если они лежат на одной прямой, совпадают по длине
и направлению. В физике примером скользящего вектора может служить момент силы. Два связанных вектора называются равными, если
совпадают соответственно их начала и концы. В дальнейшем будем рассматривать только свободные геометрические векторы и называть их
просто векторами.

Вектор с началом в точке A и концом в точке B будем обозначать −→
AB. Более коротко векторы будем обозначать латинскими буквами
жирного шрифта.

Длиной, или модулем, вектора −→
AB называют длину отрезка AB
и обозначают ее |−→
AB|.

Вектор, начало и конец которого совпадают, называют нулевым
вектором и обозначают символом o.

Для векторов a, b, c очевидно:
1) a = a;
2) a = b ⇒ b = a;
3) a = b и b = c ⇒ a = c.

5

1.3. Линейные операции. Орт вектора

Линейными операциями над векторами называют операции сложения векторов и умножения векторов на числа.

Определим сумму двух векторов a и b. Перенесем вектор b параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с концом вектора a.
Тогда начало вектора a и конец вектора b определят вектор c, начальная
точка которого совпадает с начальной точкой вектора a, конечная точка — с конечной точкой вектора b (рис. 1.2). Вектор c называют суммой
векторов a и b и пишут a + b = c.
a
b

a + b
Рис. 1.2
a

a + b
b

Рис. 1.3

a

a + b

b

b

Рис. 1.4
a
b

c
a + b
b + c

(a + b) + c = a + (b + c)
Рис. 1.5

Это правило сложения векторов называют правилом треугольника. Его ≪прародителем≫ является сложение перемещений.

Из физики известно, что две силы, приложенные к одной точке,
складываются по правилу параллелограмма (рис. 1.3).

Сложение сил и сложение перемещений имеют совершенно разные
физические прообразы. Но, как нетрудно усмотреть из рис. 1.4, для свободных геометрических векторов правило треугольника и правило параллелограмма равносильны. Это есть достойный удивления факт.

Операция сложения векторов коммутативна (рис. 1.3):

a + b = b + a.

Немного сложнее убедиться в ассоциативности операции сложения векторов (рис. 1.5):

(a + b) + c = a + (b + c).
6

Прямым следствием сложения векторов по правилу треугольника
является векторное тождество (рис. 1.6)

−−−→
A1A2 + −−−→
A2A3 + · · · + −−−−−→
An−1An = −−−→
A1An.

Произведением числа α на вектор a (αa или aα) называется вектор,
длина которого равна |α|·|a| и направление которого при α > 0 совпадает
с направлением a, при α < 0 противоположно по направлению вектору a,
при α = 0 полагают αa = o.

Вектор, сонаправленный вектору a и имеющий единичную длину,
называется ортом вектора a и обозначается a. Из определения произве
дения числа на вектор следует a = 1

|a|a.

A1

A2

A3

A4

An
Рис. 1.6
r1
r

r2
O

A

C

B

Рис. 1.7

Произведение (−1) · a есть вектор, имеющий такой же модуль, как
и вектор a, но направленный в противоположную сторону. Его обозначают −a.

Разностью векторов a и b называется сумма векторов a и −b. Она
обозначается a − b. Легко проверить следующие свойства:

1) a − a = o;
2) (αβ)a = α(βa);
3) (α + β)a = αa + βa;
4) α(a + b) = αa + αb;
5) 1a = a.
Зафиксируем некоторую точку O пространства. Тогда положение
произвольной точки P однозначно определяется вектором −→
OP. Этот вектор называют радиусом-вектором точки P. Точку P, заданную радиусомвектором r, обозначают P(r).

Пример 1.1. Найдем радиус-вектор r середины C отрезка AB,
зная точки A(r1) и B(r2).

Имеем (рис. 1.7)

r = −→
OC = −→
OA + −→
AC = −→
OA + 1

2
−→
AB = −→
OA + 1

2(−−→
OB − −→
OA) =

7

= r1 + 1

2(r2 − r1) = 1

2(r1 + r2).

Пример 1.2. Докажем, что радиус-вектор R центра C правильного многоугольника есть среднее арифметическое радиусов-векторов ri
его вершин Pi, i = 1, . . . , n.
ri

R

ui
O
Pi

C

Рис. 1.8
a

b

l

Рис. 1.9

Обозначим ui = −→
CP i (рис. 1.8). Тогда R + ui = ri. Просуммировав
это равенство по i = 1, . . . , n, получим

nR +

n
i=1
ui =

n
i=1
ri.

При повороте на угол 2π/n вокруг точки C многоугольник совпадет сам с собой. Значит, и вектор n
i=1 ui совпадет сам с собой. Но
это возможно в единственном случае: при n
i=1 ui = o. Поэтому nR =
= n
i=1 ri и

R = 1

n

n
i=1
ri.

Пример 1.3. В точках с радиусами-векторами ri сосредоточены
массы mi, i = 1, 2, . . . , n. Найдем радиус-вектор R центра тяжести этой
системы материальных точек.

Из условия равновесия

n
i=1
(R − ri)mig = 0

получаем

R =
n
i=1 miri
n
i=1 mi
.
(1.1)

Пример 1.4. Выразим вектор биссектрисы l в треугольнике через
векторы a и b его сторон (рис. 1.9).

Вектор l легко выразить через орты векторов a и b:
l = µ(a + b),
8

где µ — неопределенный коэффициент. В то же время

l = a + ν(b − a)

для некоторого ν. Приравняв правые части последних двух равенств,
получим
µ

|a| − 1 + ν
a =
ν − µ

|b|

b.

Но векторы a и b лежат на непараллельных прямых. Значит, выражения
в обеих круглых скобках в последнем равенстве равны нулю и мы можем
определить значения µ и ν. Окончательно, получим

l = |b|a + |a|b

|a| + |b| .

1.4. Коллинеарность, компланарность,
линейная зависимость векторов

Векторы называют коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны. Векторы называют компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны. Два вектора всегда компланарны, три — нет.

Выражение вида

α1a1 + α2a2 + · · · + αnan

называется линейной комбинацией векторов a1, a2, . . . , an. Числа α1,
α2, . . . , αn называются коэффициентами этой линейной комбинации. Линейная комбинация, все коэффициенты которой равны нулю, называется
тривиальной. Линейная комбинация, не являющаяся тривиальной, называется нетривиальной.

Если вектор a равен некоторой линейной комбинации векторов a1,
a2, . . . , an, то говорят, что вектор a линейно выражается через векторы
a1, a2, . . . , an.

Система векторов a1, a2, . . . , an называется линейно зависимой,
если существуют числа α1, α2, . . . , αn, не все равные нулю, такие, что

α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = o.

Иными словами, система векторов a1, a2, . . . , an линейно зависима,
если существует равная нулевому вектору их нетривиальная линейная
комбинация.
9

Система векторов, не являющаяся линейно зависимой, называется
линейно независимой.

В качестве логического упражнения можно проверить, что система
векторов a1, a2, . . . , an линейно независима тогда и только тогда, когда
из условия
α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = o

следует
α1 = α2 = · · · = αn = 0.

Предложение 1.1. Система векторов, содержащая не менее двух
векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда какой-нибудь
вектор этой системы представ´им в виде линейной комбинации остальных.

Доказательство. Пусть система векторов a1, a2, . . . , an линейно зависима. Согласно определению линейной зависимости существуют
числа α1, α2, . . . , αn, не все равные нулю, такие, что

α1a1 + α2a2 + · · · + αnan = o.

Пусть, например, αn ̸= 0. Тогда

an = −α1

αn
a1 − α2

αn
a2 − · · · − αn−1

αn
an−1,

т.е. вектор an представлен в виде линейной комбинации векторов a1,
a2, . . . , an−1.

Обратно, пусть какой-нибудь вектор, например a1, представ´им
в виде линейной комбинации остальных векторов:

a1 = β2a2 + · · · + βnan.

Отсюда
1 · a1 − β2a2 − · · · − βnan = o.

Так как коэффициент при a1 здесь не равен нулю, то, в соответствии
с определением, векторы линейно зависимы. 2

Предложение 1.2. Если среди векторов a1, a2, . . . , an есть нулевой, то такая система линейно зависима.

Доказательство. Пусть, например, a1 = o. Тогда

1 · a1 + 0 · a2 + · · · + 0 · an = o

и, согласно определению, система a1, a2, . . . , an линейно зависима. 2

10