Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических систем

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
Ю.Е. ВОСКОБОЙНИКОВ 
 
 
 
 
РЕКУРРЕНТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ 
ВЕКТОРА СОСТОЯНИЯ 
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 
 
 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета  
в качестве учебного пособия 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2014 

УДК 681.5.015.4(075.8) 
   В 762 
 
 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой Г.Г. Асташенков,  
НГАСУ (Сибстрин) 
д-р техн. наук, проф. А.А. Воевода, НГТУ 
 
 
 
Работа подготовлена на кафедре автоматики для студентов V курса,  
а также магистрантов и аспирантов АВТФ 
 
 
Воскобойников Ю.Е. 
В 762  
Рекуррентное оценивание вектора состояния динамических 
систем: учеб. пособие / Ю.Е. Воскобойников. – Новосибирск: 
Изд-во НГТУ, 2014. – 136 с. 

ISBN 978-5-7782-2486-5 

В пособии достаточно полно излагаются теоретические основы построения 
рекуррентных алгоритмов оценивания вектора состояния, получивших название фильтра Калмана. Оригинальным является материал по построению рекуррентных алгоритмов решения плохо обусловленных систем линейных уравнений и синтез рекуррентных алгоритмов оценивания, исходя из требуемых 
точностных характеристик. Особое внимание уделяется построению алгоритмов оценивания в условиях априорной неопределенности. Предложен новый 
критерий для обнаружения момента расходимости фильтра Калмана и рассмотрен метод построения адаптивного фильтра Калмана. Изложение материала сопровождается большим количеством примеров, а приводимые задания и контрольные вопросы позволяют лучше усвоить изучаемый учебный материал. 
Адресовано студентам старших курсов, магистрантам, аспирантам, а также 
может представлять интерес для широкого круга научных сотрудников и инженеров, занимающихся вопросами идентификации, фильтрации и обработки 
экспериментальных данных. 
 
 
УДК 681.5.015.4(075.8) 
 
ISBN 978-5-7782-2486-5 
 Воскобойников Ю.Е., 2014 
 
 Новосибирский государственный 
 
     технический университет, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение ................................................................................................................... 6 

Т е м а  1. Необходимые сведения линейной алгебры, теории вероятностей и модели динамических систем ........................................ 7 

1.1. Элементы линейной алгебры  и теории вероятностей ............................. 7 
1.1.1. Нормы и квадратичные формы ...................................................................... 7 
1.1.2. Случайные векторные величины  и их числовые характеристики ........... 12 
1.1.3. Система случайных векторов  и их числовые характеристики ................. 18 
1.1.4. Нормально распределенные  случайные векторные величины ................ 21 
1.1.5. Моделирование случайных величин  в пакете MathCAD ......................... 25 
1.2. Случайные процессы  и их характеристики ............................................ 30 
1.2.1. Определение случайного процесса ............................................................. 30 
1.2.2. Числовые характеристики случайного процесса ....................................... 31 
1.3. Модели динамических систем  в пространстве состояний ................... 34 
1.3.1. Непрерывные линейные системы ................................................................ 34 
1.3.2. Дискретные линейные системы ................................................................... 38 
1.3.3. Дискретизация линейных непрерывных систем ........................................ 39 
1.3.4. Статистические характеристики  дискретной линейной системы ............ 43 
1.3.5. Наблюдаемость дискретных динамических систем ................................... 45 
Вопросы и задания для самопроверки ............................................................ 47 

Т е м а  2. Задача оптимального оценивания и основные теоремы 
оценивания .......................................................................................... 49 

2.1. Задача оптимального оценивания и допустимые функции потерь ....... 49 
2.2. Основные теоремы  оптимального оценивания ...................................... 52 
Вопросы и задачи для самопроверки ............................................................. 57 

Т е м а  3. Рекуррентные алгоритмы  оценивания нестационарного 
вектора состояния дискретных систем .......................................... 58 

3.1. Построение рекуррентных  алгоритмов оценивания ............................. 58 
3.1.1. Основные предположения  и статистические свойства процессов  
дискретной системы .................................................................................... 59 

3.1.2. Оптимальный алгоритм оценивания  вектора состояния (алгоритм № 1) .................................................................................................... 61 
3.1.3. Оптимальный алгоритм оценивания вектора состояния (алгоритм № 2) .................................................................................................... 70 
3.2. Рекуррентные алгоритмы оценивания при ненулевых математических ожиданиях процессов системы .................................................... 71 
3.3. Рекуррентные алгоритмы оценивания в нелинейных дискретных 
системах ..................................................................................................... 78 
3.3.1. Локально линеаризованная модель  нелинейной системы ........................ 79 
3.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания  вектора состояния нелинейной системы ................................................................................................. 81 
Вопросы и задачи для самопроверки ............................................................. 87 

Т е м а  4. Рекуррентные алгоритмы оценивания стационарного 
вектора состояния дискретных систем .......................................... 88 

4.1. Рекуррентные алгоритмы оценивания  стационарного вектора 
состояния ................................................................................................... 88 
4.1.1. Алгоритмы оценивания  для модели векторных измерений ..................... 88 
4.1.2. Алгоритмы оценивания для модели  со скалярными измерениями ......... 91 
4.2. Рекуррентные алгоритмы и решение плохо обусловленных 
СЛАУ ......................................................................................................... 93 
4.2.1. Матричные модели динамических систем ................................................. 93 
4.2.2. Регуляризирующие алгоритмы решения плохо обусловленных 
СЛАУ ............................................................................................................ 95 
4.2.3. Рекуррентный алгоритм вычисления регуляризированного решения .......... 97 
4.3. Сравнение рекуррентных алгоритмов  построения различных 
оценок стационарного вектора состояния .............................................. 99 
4.3.1. Рекуррентный алгоритм оценивания  байесовским методом ................. 100 
4.3.2. Рекуррентный алгоритм оценивания  методом максимума апостериорной вероятности ................................................................................. 101 
4.3.3. Рекуррентный алгоритм оценивания  методом наименьших квадратов ........................................................................................................... 103 
4.3.4. Рекуррентный алгоритм оценивания  методом максимального 
правдоподобия ........................................................................................... 104 
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 105 

Т е м а  5. Точностные характеристики и задачи синтеза рекуррентных алгоритмов оценивания ......................................................... 107 

5.1. Систематическая и случайная ошибки  рекуррентных алгоритмов оценивания  вектора состояния дискретной системы.................. 107 
5.1.1. Систематическая и случайная ошибки  оценивания нестационарного вектора состояния ............................................................................. 107 
5.1.2. Систематическая и случайная ошибки  оценивания стационарного вектора состояния ................................................................................. 111 

5.2. Точностные характеристики  и задачи синтеза  рекуррентных 
алгоритмов оценивания ......................................................................... 114 
5.2.1. Точностные характеристики  рекуррентных алгоритмов ........................ 114 
5.3. Синтез рекуррентных алгоритмов  оценивания стационарного  
вектора состояния ................................................................................... 116 
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 120 

Т е м а  6. Рекуррентные алгоритмы оценивания при неполной 
априорной информации .................................................................. 121 

6.1. Задание моментов  априорного распределения  вектора состояния  на основе метода рандомизации ................................................... 121 
6.2. Расходимость фильтра Калмана ............................................................ 124 
6.2.1. Точность задания априорной информации  и расходимость фильтра Калмана ................................................................................................ 124 
6.2.2. Критерий проверки адекватности моделей .............................................. 125 
6.3. Адаптивные фильтры Калмана .............................................................. 127 
6.3.1. Адаптивные алгоритмы оценивания  нестационарного состояния ........ 127 
6.3.2. Адаптивные алгоритмы оценивания стационарного вектора  
состояния ......................................................................................... 130 
Вопросы и задачи для самопроверки ........................................................... 131 

Заключение ........................................................................................................... 133 

Библиографический список ................................................................................ 134 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 

ВВЕДЕНИЕ 

 
В настоящем учебном пособии рассматривается решение задачи 
построения оценки для вектора состояния динамической системы по 
зашумленным результатам косвенных измерений. Достаточно общая 
форма записи уравнений динамики системы и измерений позволяет 
свести к задаче оценивания вектора состояния многие задачи автоматического управления и обработки данных. Так, в задачах идентификации параметров системы вектор состояния состоит из идентифицируемых параметров (постоянных или изменяющихся во времени).  
В задачах фильтрации вектор состояния формируется из параметров 
процесса (как правило, из значений производных). 
В пособии излагаются теоретические основы построения рекуррентных алгоритмов оценивания вектора состояния дискретной динамической системы. Новым является материал по анализу и синтезу рекуррентных алгоритмов оценивания на основе введенных точностных 
характеристик. Особое внимание уделяется алгоритмам оценивания в 
условиях априорной неопределенности, а также построению адаптивных алгоритмов оценивания. 
Изложение материала сопровождается большим количеством примеров, а приводимые задания и контрольные вопросы позволяют лучше усвоить изучаемый учебный материал. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Т е м а  1. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ  
ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ, ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

Рассматриваются известные, но, возможно, забытые определения и 
понятия, необходимые для изложения и понимания материала последующих тем (рекомендуемая литература [1, 3, 10, 12, 13]). 
 

1.1. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ  
И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

В разделе приводятся необходимые сведения и определения из линейной алгебры и теории вероятностей [1, 3, 12]. 

1.1.1. Нормы и квадратичные формы 

Евклидова норма вектора x определяется выражением 

 

1/2
2

1

n

i
i
x
x




 






,  
(1.1.1)

где 
ix – i -я проекция вектора x . Скалярное произведение ( , )
x y  двух 
векторов размерности n  определяется выражением 

 
1
( , )
n

i i
i

x y
x y

 
. 
(1.1.2) 

Нулевым вектором называется вектор, все координаты которого 
равны нулю, он будет обозначаться 0 . Нулевой матрицей (обозначае

мой [0]) называется матрица, все элементы которой равны 0. Евклидова 
норма матрицы определяется выражением 

 

1/2
2
,
1
1

n
m

i j
i
j
A
a







 



 
. 
 (1.1.3) 

Произведение x
y
 
 векторов дает скалярную величину ( , )
x y , но 

произведение x y

 дает уже матрицу размером n
n

, ,i j -й элемент 
которой определяется как 
i
j
x y  (докажите это!). Если A – матрица 
размером n
n

, а x  – вектор размерности n , то скалярное произведение вида 

 
T
,
1
1
( ,
)
n
n

i j i
j
i
j

x Ax
x
A x
a
x x





  
,  
(1.1.4) 

где символ T  означает операцию транспонирования, называется квадратичной формой. Для записи квадратичной формы также будет использоваться обозначение 

 
2
( ,
),
A
x
x Ax

  
 (1.1.5) 

и в этом случае ее можно интерпретировать как «взвешенную» норму 
вектора x . Если для любого ненулевого вектора x  форма 

,
0
x Ax 
, 
то матрица 
A называется неотрицательно определенной, если 


,
0
x Ax 
, то A называется положительно определенной. Матрица 

1
A  называется обратной для матрицы 
,
A  если выполняются тожде
ства 
1
1
A A
A
A
I






, где I  – единичная матрица, у которой на 
главной диагонали стоят единицы, а остальные равны нулю, т. е. 

1
0
0
0
1
0
0
0
0
1

I









 















. 

Ненулевые векторы x , для которых место 
0
A x


, составляют 
нуль-пространство матрицы 
A и их совокупность обозначается 
 
ker A , т. е. 

 


ker( )
:
0
A
x Ax


. 
 (1.1.6) 

Если нуль-пространство матрицы An m

 состоит из ненулевых векторов, то матрица A называется вырожденной и ее ранг определяется 
как 


rank( )
dim ker( )
A
m
A


, где 


dim ker( )
A
 означает размерность 
нуль-пространства матрицы А. 

Пример 1.1.1. Дана матрица 
2
0
1
0
A


 



. Тогда нуль-пространство 

этой матрицы состоит из векторов 
2

0
ker( )
A
x


 



, где 
2
x  произволь
ное число. Проверим: 
2

2
2

2 0
0
0
0
2
0
1
0
1 0
0
0

x

x
x

 





 








 





 






 




 для любого 

значения 2
x . Очевидно, что 


dim ker( )
1
A
 , rank( )
1
A  . ♦ 
Важной характеристикой при решении систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) K
f
 
 является число обусловленности 
(будем обозначать как 
(
)
cond K ). Если матрица K  является квадратной и имеет обратную матрицу, то 

 
1
(
)
cond K
K
K 


.  
(1.1.7) 

Основные свойства числа обусловленности: 
 1
(
)
cond K

   (при этом 
(
)
1
cond K  , если K  – диагональная 
матрица 
с 
одинаковыми 
элементами 
на 
главной 
диагонали; 
(
)
cond K   , если K  – вырожденная матрица); 
 
(
)
(
)
cond cK
c cond K


, если константа 
0
c 
; 

 
1
(
)
(
)
cond K
cond K


 (это непосредственно следует из (1.1.7)). 

Пример 1.1.2. Рассмотрим матрицу 
1
2
3
1
2
3
3
2
1
K
a
















. Видно, если 

0
a 
, то матрица становится вырожденной. Определим зависимость 
числа обусловленности этой матрицы от величины a . На рис. 1.1 показан график такой зависимости. Видно, что при малых значениях 
10
10
a


 число обусловленности возрастает до 
11
10
. ♦ 
 

 
Рис. 1.1. Зависимость числа обусловленности  
от величины а 

Возникает вопрос: плохо или хорошо, когда матрица решаемой системы имеет большое число обусловленности? Ответ на вопрос дает 
следующее неравенство: 

 
(
)

f
f
cond K
f


   




,  
(1.1.8) 

где   – вектор решения системы K
f
 
 (с «точной» правой частью f ); 

  – вектор решения системы K
f
  

 (с «зашумленной» правой  

частью f ). Видно, что чем больше число обусловленности, тем с 
большим «коэффициентом усиления» относительная ошибка задания 

правой части 
отношение

f
f

f












 переходит в относительную