Математика

МАТЕМАТИКА

Учебное пособие

Допущено Федеральным агентством
по строительству и жилищно-коммунальному хозяйству
в качестве учебного пособия для студентов
средних специальных учебных заведений,
обучающихся по строительным специальностям

Москва
РИОР
2013

Н.А. БЕРЕЗИНА,  Е.Л. МАКСИНА

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
 
Б48

Березина Н.А., Максина Е.Л.
Математика: Учеб. пособие. — М.: РИОР, 2013. — 
175 с.

ISBN 5-369-00061-1

В учебном пособии в удобной и доступной форме рассмотрены все основные вопросы, предусмотренные государственным образовательным стандартом и учебной программой по дисциплине «Математика».
Книга позволит быстро получить основные знания по 
предмету, а также качественно подготовиться к зачету и экзамену.
Для студентов, изучающих дисциплину «Математика» в  
средних и высших учебных заведениях.

УДК 51(075.8) 
ББК 22.1я73

ISBN 5-369-00061-1 
© Березина Н.А., Максина Е.Л. 2007  

Б48

Оригинал-макет подготовлен в Издательском Доме РИОР

Сдано в набор 01.02.2006. Подписано в печать 15.05.2006.
Формат 70×100/32. Бумага типографская. Гарнитура Newton.
Печать офсетная.  Усл. печ. л. 7,1. Уч.-изд. л. 7,3.
Тираж  3000 экз. Заказ №              . 

Издательский Дом РИОР
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в
E-mail: info@rior.ru
www.rior.ru

1.  
МНОЖЕСТВА. ОБОЗНАЧЕНИЯ

Понятие множества является настолько общим, 
что трудно дать ему какое-либо точное определение, которое не сводилось бы просто к замене слова «множество» его синонимами, например совокупность, собрание 
элементов и т.п.
Введем основные обозначения и приведем первоначальные теоретико-множественные понятия. Множества 
обозначаются прописными буквами А, В, ..., а их элементы — строчными x, y, ... . Утверждение «элемент 
x 
принадлежит множеству А» символически записывается 
так:  x ∈ А; запись  x ∉ А  означает, что элемент х не принадлежит множеству А. Множество как совокупность 
элементов, удовлетворяющих свойству Р, записывают в 
виде  A = {x, x  удовлетворяет  Р}.
П р и м е р. Пусть Z — множество целых чисел. Тогда 
A = {x; x = 2k, k ∈ Z} — множество четных чисел.♦
Если множество А есть подмножество множества В, 
то это обозначается А ⊂ В (или B ⊃ A), каждый элемент 
множества А является элементом множества В.
Если  А ⊂ В  и  B ⊂ A,  то записывается  А = В.
Множество, не содержащeе ни одного элемента, называется пустым и обозначается символом 
∅. Пустое 
множество служит подмножеством любого множества.

ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ

Пусть  А  и  В  — произвольные множества; их суммой, 
или объединением  С = А ∪ В,  называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств  А  и  В.
Аналогично определяется сумма любого конечного 
числа множеств. Если A
k
n
k (
, )
=1
 — произвольные мно
жества, то их сумма 
Ak
k

n

=1
∪
 есть совокупность элементов, 

каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств Ak.
Назовем пересечением (или произведением) множеств 
А  и В  множество  C = А ∩ В,  состоящее из всех элементов, принадлежащих как  А, так и  B.
Например, пересечение множества всех четных чисел 
и множества всех чисел, делящихся на три, есть множество всех четных чисел, делящихся на три.
Пересечением любого конечного числа множества  Ak 

называется совокупность 
Ak
k

n

=1
∩
 элементов, принадлежа
щих каждому из множеств  Ak.
Разность множеств А и В — это совокупность C = А\B 
тех элементов из А, которые не содержатся в В.

Т е о р е м а.  Операции сложения и пересечения коммутативны и ассоциативны:

A ∪ B = B ∪ A,         А ∩ В = B ∩ A,

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

Также выполняется закон дистрибутивности:

А ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Доказательство. Допустим, что x ∈ А ∩ (B ∪ C). Тогда 
x ∈ А   и   x ∈ B ∪ C,   т.е.  x ∈ B   или   x ∈ C   (или и то 
и другое). Значит,   x ∈ A ∩ B   или   x ∈ A ∩ C,  так что 
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).   Таким образом,   А ∩ (B ∪ C) =
= (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Предположим теперь, что  x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C). Тогда 
x ∈ A ∩ B  или x ∈ A ∩ C. Таким образом, x ∈ A и x ∈ B ∪ C. 
Значит, x ∈ A ∩ (B ∪ C), так что ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C) =
= A ∩ (B ∪ C ).
Следовательно, А ∩ (B ∪ C) = ( A ∩ B) ∪ (A ∩ C). 
Утверждение доказано.

2.  
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 
 
И ИХ СВОЙСТВА

Множество вещественных чисел — это совокупность двух подмножеств: рациональных и иррациональных чисел.
Рациональным числом называется число, которое 
можно представить в виде  p/q,  где  p, q — целые числа, 
q ≠ 0. Не все можно выразить рациональными числами, 
например, отношение длины окружности к ее диаметру 
или диагональ квадрата по отношению к его стороне рациональным числом не выражается.
Иррациональным числом называется всякое вещественное число, которое не является рациональным. Для 
всякого иррационального числа можно найти приблизительно равное ему рациональное число с любой степенью 
точности, но точно равного ему рационального числа нет. 
Иррациональными числами можно выразить отношение 
несоизмеримых с единицей масштаба отрезков.

СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ

Для любых  a, b, с:
1) a + b = b + а — переместительное свойство (коммутативность сложения);
2) a + (b + с) = (a + b) + с — сочетательное свойство 
(ассоциативность сложения);
3) a · b = b · а — переместительное свойство (коммутативность умножения);
4) a · (b · с) = (a · b) · с — сочетательное свойство (ассоциативность умножения);
5) (a + b) · с = ас + bс — распределительное свойство 
(дистрибутивность умножения относительно сложения);
6) а + 0 = а  для любого числа а;
7) для любого числа  а  существует такое число –а, что 
а + (–а) = 0;

8) для любого числа  а  имеет место равенство  а · 1 = а;
9) для любого числа а ≠ 0 существует такое число а–1, 
что а · а –1 = 1, число а –1 обозначается также симво
лом 1

a.

НЕРАВЕНСТВА МЕЖДУ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ 
ЧИСЛАМИ

Для любых двух различных вещественных чисел а и b 
установлено отношение «больше» — а > b, если разность 
а – b — положительное действительное число.
С в о й с т в а  отношения «больше» для любых  а, b, с:
1) если  а > b  и  b > с,  то  а > с;
2) если  а > b,  то  а + с > b + с,  где  с — любое действительное число;
3) если  а > b  и  c > 0,  то  аc > bc.
Соотношения  а < b,  a ≤ b,  a > b;  a ≥ b  — неравенства,  а < b  и  a > b  — строгие неравенства.

НЕПРЕРЫВНОСТЬ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ 
(ТЕОРЕМА ПОЛНОТЫ ДЛЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ)

Пусть  Х  и Y — два непустых непересекающихся множества вещественных чисел. Тогда, если для любых чисел 
x ∈ Х  и  у ∈ Y  выполняется неравенство  х < у,  существует одно число с такое, что для любых х и у справедливо 
неравенство  х ≤ с ≤ у.
С л е д с т в и е.  При условиях данной теоремы либо 
множество  Х  содержит наибольшее число, либо множество  Y  содержит наименьшее число.

3.  
ГРАНИ ЧИСЛОВЫХ МНОЖЕСТВ

Множество Х ограничено сверху (снизу), если существует число  с  такое, что для любых  x ∈ Х  выполняется  х ≤ с  (с ≤ х), где  с  — верхняя (нижняя) грань множества Х.

Ограниченное множество — множество, ограниченное 
и сверху, и снизу.
Любое ограниченное сверху (снизу) множество 
Х 
имеет бесконечно много верхних (нижних) граней, образующих множество чисел, ограничивающих 
Х сверху 
(снизу). Например, для множества положительных чисел 
любое отрицательное число будет нижней гранью, а для 
множества отрицательных чисел любое положительное 
число — верхней гранью.
Точная верхняя грань для Х — наименьшее из чисел, 
ограничивающее множество Х сверху (sup X ).
Наибольшее из чисел, ограничивающих множество Х 
снизу, называется точной нижней гранью для множества Х 
(inf X).
С в о й с т в о  точной верхней границы  sup  X:  как бы 
мало число  ε > 0  ни было, всегда найдется число  x ∈ Х  
такое, что  х > sup X – ε,  т.е. число  sup X  является наименьшим среди чисел, ограничивающих 
Х сверху, и 
уменьшено быть не может.
Аналогичным свойством обладает и точная нижняя 
граница: как бы мало число  
ε > 0  ни было, найдется 
число  x ∈ Х  такое, что  x < inf X + ε.

Т е о р е м а  о существовании точных граней.  Если непустое множество  Х  ограничено сверху (снизу), то для 
него существует точная верхняя (нижняя) грань.

Доказательство. Возьмем случай, когда множество Х 
ограничено сверху. Возможны два варианта: либо множество Х содержит хотя бы одно положительное число, 
либо оно не содержит ни одного положительного числа. 
Рассмотрим эти варианты.
1) Пусть множество Х содержит хотя бы одно положительное число. Обозначим подмножество положительных чисел Х*, оно так же ограничено сверху, как 
и все множество Х (по условию). Так как всякое огра

ниченное сверху множество положительных действительных чисел имеет точную верхнюю границу, то и 
Х* имеет точную верхнюю границу С, которая будет 
являться точной верхней границей и для всего множества Х.
2) Пусть множество  Х  не содержит ни одного положительного числа. Возьмем любое число  y ∈ Х  и образуем новое множество 
Х** путем прибавления к 
каждому элементу множества  Х  числа  (1 – y).  Новое 
множество Х** обязательно будет содержать хотя бы 
одно положительное число (единицу), следовательно, 
оно имеет точную верхнюю грань С* (по п. 1). Тогда и 
множество Х имеет точную верхнюю грань, равную 
С* – (1 – y).  Теорема доказана.
Аналогично доказывается теорема о существовании 
точной нижней грани.

4.  
АБСОЛЮТНАЯ ВЕЛИЧИНА ЧИСЛА

Абсолютной величиной (модулем) действительного 
числа  х  называется само число  х,  если  х ≥ 0  (неотрицательное), или число  –х,  если  х < 0 (отрицательное). 
Абсолютная величина х обозначается символом  | x|:

| |
,
;
,
.
x
x
x
x
x
=
≥
−
<

⎧
⎨
⎩⎪

если
если
0
0

С в о й с т в а  абсолютной величины числа:
1) |x| ≥ 0, абсолютная величина — неотрицательное 
число.
Доказательство. Eсли х — число неотрицательное, 
т.е.  х ≥ 0,  то  | x| = х ≥ 0.
Если  х — число отрицательное, т.е.  х < 0, то  | x| = –х, 
но  –х > 0,  так как  х < 0,  т.е.  | x| > 0.
Следовательно,  | x| ≥ 0  для любого  х,  что и требовалось доказать;

2) | x| = |–x|.
Доказательство. Eсли х — число неотрицательное,  
х ≥ 0,  то  –х ≤ 0, и тогда  | –х| = –(–х) = х = |x|.
Если  х — число отрицательное,  х < 0,  то  –х > 0, 
и тогда  | –х| = –х = | x|,  так как  х < 0.  Следовательно, 
получили  | x| = | –х|,  что и требовалось доказать;

3)  –| x| ≤ х ≤  | x|.
Доказательство.  Eсли  х  — число неотрицательное, 
т.е.  х ≥ 0,  то  | x| = х,  | x| ≥ –х,  т.е.  –| x| ≤ х.
Если  х — число отрицательное,  х < 0,  то  х < –х, так 
как  2х < 0,  х + х < 0,  х < –х,  т.е.  х < | x|.
Следовательно, мы доказали справедливость неравенства  –| x| ≤ х ≤  | x|.

Т е о р е м а  1.  Пусть  ε — положительное число. Тогда 
неравенства  | x| ≤ ε  и  –ε ≤ х ≤ ε  равносильны.
Доказательство.  Пусть  | x| ≤ ε. Тогда:
1) если  х — число неотрицательное,  х ≥ 0,  то  | x| = х, 
т.е.  x ≤ ε,  откуда  0 ≤ х ≤ ε;
2) если  х — число отрицательное,  х < 0,  то  |
x| = –х, 
т.е.  –х ≤ ε,  откуда  –ε ≤ х ≤ 0.
При любых х получаем –ε ≤ х ≤ ε.
Пусть –ε ≤ х ≤ ε — справедливое неравенство, следовательно, выполняются неравенства  x ≤ ε  и  х ≥ –ε, следовательно, –х ≤ ε.
По определению абсолютная величина   | x| равна или 
х, или –х, значит,  | x| ≤ ε. Теорема доказана.

Т е о р е м а  2.  Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы абсолютных величин этих чисел:
| x + y| ≤  | x| + | y|.
Доказательство. Пусть х и у — любые числа. Справедливы неравенства (по свойству 3)

–| x| ≤ х ≤  | x|     и     –| y| ≤ у ≤ | y|.

Сложим эти неравенства почленно, получим –(| x| +
+ | y|) ≤ х + у ≤ | x + y|.  Следовательно,  | x + y| ≤  |x| + | y|, 
что и требовалось доказать.
Т е о р е м а  3.  Абсолютная величина разности двух 
чисел не меньше разности абсолютных величин этих чисел:
| x – y| ≥ | x| – | y|.
Доказательство.  Для любых  
х  и  у  справедливо 
х = у + (х – у).
По теореме об абсолютной величине суммы двух чисел получаем:
| x| = |у + (х – у)| ≤ | y| + |x – y|.
Следовательно,  | x – y| ≥  | x| – | y|, что и требовалось 
доказать.
Для любых действительных чисел  х  и  у  справедливо:
1)  модуль произведения равен произведению модулей 
| x y| = | x| ⋅ | y|;
2)  модуль частного равен отношению модулей делимого 

и делителя x
y
x
y
= | |

| |, если  у ≠ 0;

3)  модуль суммы не меньше, чем разность модулей слагаемых  | x + y| ≥ | x| – | y|.

5.  
ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 
 
И АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ 
 
НАД НИМИ

Определение числовой последовательности:
Eсли каждому значению n из натурального ряда 
чисел 1, 2, ..., n ставится в соответствие по определенному 
закону некоторое вещественное число аn, то множество 
занумерованных вещественных чисел  а1, а2, ..., аn  называется числовой последовательностью или просто последовательностью. Отдельные числа аn называются элементами, или членами, последовательности.