Элементы математического аппарата механики сплошной среды

УДК [512.64+514.86+517.987.1]:[531/534+539.3/.6](075.8)
ББК 22.1
Б 88

Б р о в к о Г. Л. Элементы математического аппарата механики сплошной среды. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2015. — 424 с. — ISBN 978-5-9221-1634-3.

Приведено сжатое изложение некоторых сведений из разделов математики,
которые могут быть полезны при изучении курса основ механики сплошной
среды. Пособие ориентировано на математический аппарат для строгого введения основных понятий и законов механики, для аксиоматического подхода к
построению курса. В записях векторов, тензоров и операций над ними используются прямые (инвариантные) обозначения, все более широко применяемые в
современной научной литературе по механике деформируемых сред.

ISBN 978-5-9221-1634-3

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2015

c⃝ Г. Л. Бровко, 2015

Предисловие

В настоящем пособии представлена сжатая сводка некоторых понятий и сведений из разделов математики (теории множеств, теории
меры, алгебры, геометрии и анализа), которые могут оказаться полезными при изучении курсов механики сплошной среды (механики
деформируемых сред), ее разделов — как в традиционном или близком
к традиционному [1–9], так и в не вполне традиционном [10–34] изложении. Эти сведения в основном почерпнуты из указанной литературы
(основного текста, приложений), из учебной и монографической литературы, научных статей по математическим разделам [35–68], из книг
и статей, ориентированных на приложения математического аппарата
[69–82], в том числе, в первую очередь, в области физики, механики,
инженерных наук [83–87], а также из справочных математических
изданий [88, 89]. Многие из этих источников содержат подробное
изложение материала с доказательствами и примерами.
В современной отечественной и зарубежной научной литературе
по механике деформируемых сред, в преподавании соответствующих
учебных дисциплин проявляется уверенная тенденция к новому стилю
изложения. C одной стороны, этому стилю свойственны детальная
аксиоматика и строгая доказательность утверждений, предусматривающие привлечение фундаментального математического аппарата, включая формально-логический. С другой стороны, этот стиль характеризуется компактностью математических формул, использующих прямые
(инвариантные) обозначения векторов, тензоров, градиентов и дифференциальных операторов, которые требуют определенных усилий для
усвоения, однако весьма просты и эффективны. Такие обозначения
экономят объем, проясняют механический смысл записи, не затеняя
его «лесом» индексов и необходимостью «жонглирования» ими, а при
овладении соответствующей техникой позволяют оперативно и без
ограничений переключиться на другие, более традиционные способы
тензорного представления (матричный, индексный, полиадный).
В научной литературе такой строгий и лаконичный стиль получает
в последние годы все более широкое распространение. В то же время соответствующая учебная литература недостаточно распространена
и не столь активно и широко внедрена в практику преподавания.
Настоящее пособие ориентировано на этот стиль. В главе 1 приведены некоторые основные понятия из теории множеств, дано сжатое
изложение элементов теории меры и интеграла Лебега. В главе 2
приведены некоторые основные сведения из алгебры, геометрии и анализа, составляющие общетеоретическую базу дальнейшего изложения.

Предисловие

Эти главы включают материал, который может быть использован при
изучении и построении первичных понятий механики сплошной среды:
тела, массы, движения, силовых взаимодействий. Читатель, знакомый
с такими построениями, или, напротив, желающий миновать их, может
без ущерба начать чтение с главы 3, посвященной векторному исчислению в конечномерных, в том числе трехмерных евклидовых ориентированных пространствах. В главе 4 рассматриваются наиболее употребительные в классической механике сплошной среды математические
конструкции: тензоры второго ранга над евклидовыми конечномерными
векторными пространствами, операции над тензорами, основные виды
тензоров второго ранга, тензорные подпространства, их базисы.
В главе 5 приведены различные эквивалентные определения тензорного произведения векторных пространств, доказана общая теорема
о представлении линейных отображений векторных пространств, дано
определение тензоров произвольных рангов над конечномерным векторным пространством, представлены различные интерпретации тензоров, введены основные операции над тензорами. Специальное внимание уделено тензорам над евклидовым векторным пространством,
операциям над ними, показана евклидовость самих пространств тензоров, установлен вид линейных отображений тензорных пространств.
Рассмотрены некоторые тензоры-константы второго, третьего и четвертого рангов. Для основного трехмерного ориентированного евклидова
векторного пространства введены понятия векторных произведений
тензоров различных рангов, внутреннего векторного произведения, коаксиальности векторов и тензоров. Материал этой главы обобщает
и упорядочивает взгляд на тензоры второго ранга и предоставляет
дополнительные элементы тензорного аппарата механики континуума,
связанные с тензорами повышенных рангов.
Глава 6 посвящена тензорнозначным функциям тензорного аргумента и их дифференцированию. Подробно рассмотрены линейные
функции и проекторы в евклидовых пространствах векторов и тензоров
второго ранга, включая классические проекторы. Для произвольных
(нелинейных) тензорнозначных функций тензорного аргумента введено
понятие дифференцирования, для функций с аргументами и значениями в виде скаляров, векторов и тензоров второго ранга приведены формулы дифференцирования произведений и сверток, дифференцирования композиций отображений, обратных отображений, введены понятия дифференцирования по направлению, дифференцирования
в подпространствах. В качестве примеров приведены формулы дифференцирования ряда конкретных линейных и нелинейных функций
тензорного аргумента, формулы производных от инвариантов тензоров,
рассмотрены потенциальные зависимости тензоров, дифференцирование функций симметричного тензорного аргумента. Сведения, приведенные в этой главе, составляют определенную основу для изучения
зависимостей между тензорами различных рангов, которые могут быть
использованы при построении определяющих соотношений (уравнений

Предисловие
5

состояния) сплошных сред, при формулировке общих и специальных
законов механики сплошной среды и ее разделов.
В главе 7 рассматриваются аффинные евклидовы пространства
и тензорные поля над ними. Введено понятие набла-оператора Гамильтона — градиента поля (производной поля по его независимому
точечному аргументу — элементу аффинного пространства). В качестве следствий результатов главы 6 приведен ряд полезных формул
дифференцирования скалярных, векторных и тензорных полей, их произведений, сверток и композиций. Введены типичные для полей дифференциальные операторы: дивергенция div, оператор Лапласа Δ, ротор
rot. Особое внимание уделено специфичной для полей над трехмерным
аффинным евклидовым пространством (с ориентацией) операции ротора как характеристике завихренности векторного (тензорного) поля;
введены две другие родственные ротору дифференциальные характеристики завихренности векторных и тензорных полей: правый ротор
rot′ и оператор curl. Для всех операторов, включая дополнительно
введенные операторы завихренности, выведены формулы их применения к произведениям, сверткам и композициям скалярных, векторных
и тензорных второго ранга полей. Специально рассмотрены формулы
градиентов полей с аргументами и значениями в арифметических пространствах, на базе этих формул введено понятие системы координат
в области аффинного пространства. Рассмотрены виды систем координат, представления векторов и тензоров в естественных базисах систем
координат, а для ортогональных систем координат также в их физических базисах. Введены символы Кристоффеля, дано определение
ковариантных производных тензорных полей как компонент градиентов
этих полей в естественном (и взаимном) базисе системы координат.
Большое внимание уделено представлению кривых и поверхностей
в (трехмерном) аффинном пространстве, криволинейных и поверхностных интегралов первого и второго рода для тензорных полей различных рангов, подробному рассмотрению теорем Гаусса–Остроградского
и Стокса, а также следствий из них. Материал главы 7 составляет
основную аналитическую часть аппарата механики сплошной среды
и ее приложений.
Глава 8 посвящена алгебраическим аспектам инвариантностей тензоров и тензорных зависимостей, получившим в последнее время широкое распространение в современных исследованиях в теории определяющих соотношений механики сплошной среды и ее разделов. Приведена краткая сводка сведений о действиях групп на множествах, морфизмах действий, о представлении групп в линейных пространствах. Дополнительно к классическому определению представления групп в тензорах введено обобщенное понятие такого представления, на базе этого
построено понятие обобщенно изотропных отображений (нелинейных,
вообще говоря, отображений тензоров разных рангов) как морфизмов
обобщенных представлений ортогональной группы в тензорах. Приведены примеры функций, осуществляющих различного типа обобщенно

Предисловие

изотропные отображения векторов и тензоров второго ранга, указана
их явная математическая структура. Построения распространены на
тензорные процессы произвольных рангов, для которых изучено действие группы сдвигов временн´ого аргумента, установлены условия инвариантности отображений тензорных процессов относительно такого
действия (в терминах историй тензорных процессов и их интроспектив). Рассмотрены групповые процессы и их параметрическое действие
на множестве тензорных процессов (параметрическое представление
в тензорных процессах), и аналогично отображениям тензоров введены
понятия обобщенно изотропного отображения тензорных процессов как
морфизма представления (в тензорных процессах) группы ортогональных (групповых) процессов-констант, а также усиленно обобщенно
изотропного отображения как морфизма такого представления группы
всех ортогональных процессов. В этой главе рассмотрены также линейные сохраняющие отображения матриц — отображения, сохраняющие
множества матриц (обладающих определенными свойствами), отношения матриц, функции от матриц, в частности, матричные инварианты.
Материал главы 8 представляется весьма полезным в исследовании
тензорных зависимостей и их свойств инвариантности, составляющих
основу аппарата общей теории определяющих соотношений механики
сплошных сред.
Всюду в записях векторов, тензоров и операций над ними применяются прямые обозначения, поясняется техника перехода к другим
формам записи. В некоторых разделах часть материала проиллюстрирована задачами и упражнениями. Приведен подробный предметный
указатель.
Пособие носит справочный характер, оно является лишь перечнем
некоторых основных первоначальных понятий и фактов и ни в коем
случае не претендует на доказательность и полноту. Для подробного
и основательного изучения затронутых здесь сведений отсылаем читателя к указанной литературе и другим источникам. При этом весьма
настоятельно рекомендуем сопоставлять приведенные здесь сведения
(определения, теоремы, формулы) и форму их представления с таковыми в других, в том числе более традиционных изложениях.

Г. Л. Бровко

Г л а в а 1

МНОЖЕСТВА. УПОРЯДОЧЕННОСТЬ.

МЕРА, ИНТЕГРИРОВАНИЕ

§ 1.1. Множества. Отношения. Упорядоченность

1.1.1. Множества. Отображения.
1. Множества: отношения и операции.
Предполагается, что
читателю знакомы понятия множества и его элементов, а также
обозначение x ∈ X для их отношения, означающего, что элемент x является элементом множества X. При этом говорят, что x принадлежит
множеству X, или X содержит x, и пишут также X ∋ x. В противном
случае пишут x /∈ X или X ̸∋ x.
Говорят, что множество X
состоит из (всех своих) элементов x, и часто обозначают множество X записью в виде фигурных скобок с указанием (перечислением) его элементов внутри фигурных скобок. Так, множество X, состоящее из конечного числа
элементов x1, x2, ... , xn (n — натуральное число), записывают в виде {x1, x2, ... , xn}, счетное множество элементов x1, x2, ... — в виде {x1, x2, ...}. Если множество X состоит исключительно из всех
тех элементов x, которые удовлетворяют некоторому условию (логическому высказыванию) A(x) (т. е. из всех тех x, для которых высказывание A(x) истинно), то множество X часто обозначают записью {x | A(x)}, или {x: A(x)}, или, если условие A(x) подразумевается
истинным, просто {x}. Если множество не содержит ни одного элемента (например, когда высказывание A(x) ложно для всех x), то его
называют пустым множеством и обозначают ∅.
Термин «множество» часто замещают терминами «совокупность»,
«набор», «семейство» и т. п., что мы также будем использовать.
Если для всех x ∈ X истинно x ∈ Y , то пишут X ⊆ Y (или Y ⊇ X),
множество X называют подмножеством множества Y и говорят, что
множество X включается в множество Y
(содержится в множестве Y ), или множество Y включает множество X (содержит множество X, покрывает множество X). В противном случае пишут X ⊈ Y
(или Y ⊉ X).
Отношение 1) включения X ⊆ Y формально определяется формулой

X ⊆ Y
def
⇐⇒ {x ∈ X ⇒ x ∈ Y },
(1.1)

1) Для любой совокупности множеств, содержащей множества X и Y ,
включение X ⊆ Y является бинарным отношением (см. п. 1.1.3).

Гл. 1. Множества. Мера, интегрирование

где запись вида A ⇒ B для логических высказываний A и B означает
логическое следование (импликацию), т. е. высказывание «из A следует B», запись вида A ⇐⇒ B означает равносильность (эквивалентность)
высказываний, а знак
def
⇐⇒ выражает равносильность, принимаемую
по определению (по дефиниции), а именно: новая («непонятная») запись (здесь X ⊆ Y ) определяется через запись известного вида (здесь
x ∈ X ⇒ x ∈ Y ) как ее эквивалент.
Заметим, что если X — пустое множество ∅, а значит, условие x ∈ X ложно для любого x, то в силу правил формальной логики 2)
правая (определяющая) часть эквиваленции (1.1) истинна для любого
множества Y , и потому в силу (1.1) ее левая часть, т. е. утверждение ∅ ⊆ Y формально истинно для любого множества Y :

∅ ⊆ Y
∀Y.
(1.2)

Если X ⊆ Y и Y ⊆ X, т. е. множества X и Y суть одно и то же
множество, то говорят, что эти множества совпадают (равны), и пишут X = Y . В противном случае, когда множества X и Y различны,
пишут X ̸= Y . Напомним, что при этом знаками ⊂ и ⊃ обозначают
строгое включение множества X в множество Y , т. е. пишут X ⊂ Y
(или Y ⊃ X), если X ⊆ Y и X ̸= Y (множество X называют собственным подмножеством множества Y ). Однако на практике знаки ⊂ и ⊃
часто используют в нестрогом смысле, отождествляя их со знаками ⊆
и ⊇. Мы тоже примем это упрощение.
Для множеств вводятся бинарные (см. п. 1.1.3) операции, обозначаемые знаками ∪, ∩, \ и △, результаты которых называются соответственно объединением (или суммой), пересечением, разностью
и симметрической разностью. Для множеств A и B они определяются
формулами:

x ∈ A ∪ B
def
⇐⇒ {x ∈ A ∨ x ∈ B},
x ∈ A ∩ B
def
⇐⇒ {x ∈ A ∧ x ∈ B},
x ∈ A \ B
def
⇐⇒ {x ∈ A ∧ x /∈ B},
x ∈ A △ B
def
⇐⇒ {x ∈ A ∪ B ∧ x /∈ A ∩ B},

(1.3)

где запись вида A ∨ B означает дизъюнкцию высказываний A и B (высказывание, справедливое при и только при выполнении хотя бы одного
из высказываний A или B), а запись вида A ∧ B — их конъюнкцию
(высказывание, истинное в точности при одновременном выполнении
обоих высказываний A и B).

2) В формальной логике импликация с ложной посылкой, т. е. импликация
вида ложь ⇒ B, считается имеющим значение истина для любого логического
высказывания B.

§ 1.1. Множества. Отношения. Упорядоченность
9

Операции объединения и пересечения, как видно из их определения в (1.3), обладают свойствами коммутативности, ассоциативности,
поглощения и взаимной дистрибутивности:

A ∪ B = B ∪ A,
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
A ∩ B = B ∩ A,
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C),
A ∪ (A ∩ B) = A,
A ∩ (A ∪ B) = A,
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

(1.4)

Если каждое множество X какого-либо семейства множеств {X}
является подмножеством некоторого множества E:

X ⊂ E
∀X ∈ {X},
(1.5)

то множество E будем называть объемлющим для этого семейства.
Объединение всех множеств какого-либо семейства является наименьшим объемлющим множеством для этого семейства, т. е. содержится в любом другом объемлющем множестве этого семейства.
Если для семейства {X} какое-либо объемлющее множество E
фиксировано, то для каждого множества X из семейства {X} может быть определена унарная (см. п. 1.1.3) операция образования
дополнения (до множества E). Ее результат называют дополнением
множества X, обозначают через Xe и определяют формулой

Xe := E \ X,
(1.6)

где знак := означает «есть по определению».
Дополнение Xe не обязательно является элементом семейства {X},
однако если, например, {X} — множество всех подмножеств объемлющего множества E, то для любого множества X из семейства {X} его
дополнение Xe принадлежит этому семейству.
В общем случае очевидны тождества:

X ∪ Xe = E,
X ∩ Xe = ∅,
A ∩ (X ∪ Xe) = A,
A ∪ (X ∩ Xe) = A,
Ee = ∅,
∅e = E,
(Xe)e = X.
(1.7)

Для дополнений (1.6) справедливы законы двойственности:

(A ∪ B)e = Ae ∩ Be,
(A ∩ B)e = Ae ∪ Be.
(1.8)

Законы
двойственности
распространяются
на
любое
конечное
или бесконечное множество множеств (являющихся подмножествами
какого-либо объемлющего множества E).
Введенные и используемые в теории множеств операции (1.3), (1.6)
называют теоретико-множественными.
Заметим, наконец, что все основные понятия и соотношения теории
множеств, введенные и выраженные формулами (1.1)–(1.8), имеют

Гл. 1. Множества. Мера, интегрирование

свои аналоги в формальной двузначной логике; следует лишь множества заменить на логические высказывания (в том числе пустое
множество ∅ на высказывание-константу ложь, а объемлющее множество E на константу истина), отношение включения множеств —
на импликацию высказываний, а операции объединения, пересечения
и дополнения — на операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания
соответственно.

2. Отображения множеств. Если каждому элементу x множества X каким-либо способом (кратко обозначаемым через f) поставлен
в соответствие ровно один элемент y множества Y , то говорят, что
задано (однозначное) отображение f множества X в множество Y ,
и пишут
f : X → Y ,
(1.9)

или X
f→ Y , а также в конкретном виде x → f (x) или y = f (x)
(x ∈ X, y ∈ Y ), и называют x ∈ X аргументом, а y ∈ Y значением
этого отображения (образом элемента x). Множество X называют
областью определения отображения f и часто обозначают через D(f),
а подмножество элементов y из Y
— совокупность всех значений
y = f (x) (x ∈ X) отображения f — множеством (или областью) значений отображения f и обозначают через E(f). Подчеркивая произвольность аргумента x ∈ X, будем записывать отображение (1.9)
в виде f ( · ).
Для любого множества A ⊂ X совокупность {f (a) : a ∈ A} всех
элементов вида f (a) из E(f), где a ∈ A, называется образом множества A и обозначается f (A). Для каждого множества B, являющегося подмножеством множества Y , совокупность {a: f (a) ∈ B}
всех элементов a из X, образы которых принадлежат B, называется
(полным) прообразом множества B и обозначается f−1 (B). Заметим,
что полный прообраз может оказаться пустым множеством (когда
B ∩ E(f) = ∅). Конечно, для любого отображения f : X → Y выполняются равенства f(X) = E(f), а f−1(Y ) = f−1(E(f)) = D(f) = X.
Для подмножества A множества X отображение f′ : A → Y такое,
что f′(x) = f(x) для всех x ∈ A, называется сужением, или ограничением отображения f на A. При этом пишут f′ = f|A, а отображение f : X → Y называют расширением, или продолжением отображения f′ на множество X ⊃ A. Конечно, A = D(f′) ⊂ X = D(f),
а также f′(A) = f(A) = E(f′) ⊂ E(f) ⊂ Y . Заметим, что f′ : A → Y
имеет, вообще говоря, не единственное продолжение на X.
Справедливы теоремы: прообраз суммы двух множеств равен сумме
их прообразов; прообраз пересечения двух множеств равен пересечению их прообразов; образ суммы двух множеств равен сумме их образов. Это же справедливо для сумм и пересечений любого (конечного
или бесконечного) числа множеств. При этом образ пересечения двух
множеств, вообще говоря, не совпадает с пересечением их образов.