Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теория надежности сложных систем

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 617120.02.99
Изложены основные понятия и определения теории надежности, аналитические методы анализа надежности сложных восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем при проектировании и эксплуатации. Изложенный теоретический материал иллюстрируется практическими примерами и задачами. Каждый самостоятельный теоретический раздел заканчивается методикой расчета показателей надежности соответствующих систем. Для лучшего понимания теоретических положений в пособие включены необходимые математические приложения. Для преподавателей, студентов и аспирантов, инженерно-технических работников для изучения и расчетов показателей надежности сложных систем. Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Управление качеством», «Безопасность жизнедеятельности» и специальностям «Информационные системы и технологии», «Автоматизированные системы обработки информации и управления», «Прикладная математика», «Управление качеством».
Каштанов, В. А. Теория надежности сложных систем [Электронный ресурс] / В. А. Каштанов, А. И. Медведев. - 2-е изд., перераб. - Москва : ФИЗМАТЛИТ, 2010. - 608 с. - ISBN 978-5-9221-1132-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/544728 (дата обращения: 29.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
УДК 519.21
ББК 22.17
К 31
К а ш т а н о в В. А., М е д в е д е в А. И. Теория надежности сложных
систем. — 2-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. — 608 с. —
ISBN 978-5-9221-1132-4.

Изложены основные понятия и определения теории надежности, аналитические методы анализа надежности сложных восстанавливаемых и невосстанавливаемых систем при проектировании и эксплуатации. Изложенный теоретический материал иллюстрируется практическими примерами и задачами. Каждый самостоятельный теоретический раздел заканчивается методикой расчета
показателей надежности соответствующих систем. Для лучшего понимания
теоретических положений в пособие включены необходимые математические
приложения.
Для преподавателей, студентов и аспирантов, инженерно-технических работников для изучения и расчетов показателей надежности сложных систем.
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям «Управление качеством», «Безопасность жизнедеятельности» и специальностям «Информационные системы и технологии»,
«Автоматизированные системы обработки информации и управления», «Прикладная математика», «Управление качеством».

Учебное издание
КАШТАНОВ Виктор Алексеевич
МЕДВЕДЕВ Алексей Иванович
ТЕОРИЯ НАДЕЖНОСТИ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Редактор И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: И.Г. Андреева
Оформление переплета: Н.В. Гришина
Подписано в печать 02.07.09. Формат 60 90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 38. Уч.-изд. л. 41,8. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ООО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-1132-4

ISBN 978-5-9221-1132-4

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2010

c⃝ В. А. Каштанов, А. И. Медведев, 2010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие ко второму изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Предисловие к первому изданию . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10

Список основных обозначений . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Ч а с т ь I.
ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

Г л а в а 1.
Общие вопросы теории надежности. . . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 1.1. Основные понятия и их определения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§ 1.2. Качество и надежность . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§ 1.3. Возникновение, предмет, аппарат и содержание теории надежности
18
§ 1.4. Основные факторы, влияющие на надежность объекта . .. . . . . . . .
19
Вопросы к главе 1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
21

Г л а в а 2.
Основные понятия и определения теории надежности . .
22
§ 2.1. Определение надежности и ее составных частей . .. . . . . . . . . . . .
22
§ 2.2. Резервирование . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
Вопросы к главе 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Г л а в а 3.
Основные показатели надежности. . . . . . . . .. . . . . . . . .
29
§ 3.1. Показатели безотказности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
3.1.1. Вероятность безотказной работы (30).
3.1.2. Интенсивность отказов (32).
3.1.3. Средняя наработка до отказа (среднее
время безотказной работы) и средняя наработка на отказ (34).
3.1.4. Дисперсия наработки до отказа (34).
§ 3.2. Показатели ремонтопригодности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
§ 3.3. Показатели, характеризующие одновременно безотказность и ремонтопригодность (комплексные показатели надежности) . .. . . . . .
36
§ 3.4. Показатели долговечности. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
§ 3.5. Показатели сохраняемости . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
Вопросы к главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39

Г л а в а 4.
Основные распределения, используемые в теории надежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
§ 4.1. Непрерывные распределения . .. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
4.1.1. Экспоненциальное
(показательное)
распределение
(41).
4.1.2. Распределение Вейбулла–Гнеденко (47).
4.1.3. Нормальное
и усеченное нормальное распределение (49).
4.1.4. Гамма-распределение (55). 4.1.5. Смесь непрерывных распределений [18] (58).

Оглавление

§ 4.2. Дискретные распределения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.2.1. Распределение Пуассона (59).
4.2.2. Биномиальное распределение (61).
4.2.3. Отрицательное биномиальное распределение (63). 4.2.4. Геометрическое распределение (63).
Задачи к главе 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64

Г л а в а 5.
Безотказность комплектующих изделий. . . . . . . . . . . . .
66
Задачи к главе 5 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
69

Ч а с т ь II.
АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
БЕЗОТКАЗНОСТИ НЕВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ
СИСТЕМ

Г л а в а 1.
Аналитические методы расчета показателей безотказности нерезервированных невосстанавливаемых систем . . . . . . . .
73
§ 1.1. Общие замечания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
§ 1.2. Последовательное соединение элементов . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
75
1.2.1. Случай произвольных распределений (76).
1.2.2. Случай
экспоненциальных распределений (79).
§ 1.3. Параллельное соединение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
1.3.1. Случай произвольных распределений (81).
1.3.2. Случай
экспоненциальных распределений (87).
§ 1.4. Смешанное (последовательно-параллельное) соединение элементов
88
§ 1.5. Системы с произвольной структурой . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
89
1.5.1. Общие предположения и модель функционирования системы (90).
1.5.2. Метод прямого перебора (91).
1.5.3. Метод сечений (93).
Задачи к главе 1 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95

Г л а в а 2.
Аналитические методы расчета показателей безотказности резервированных невосстанавливаемых систем. . . . . . . . . .
97
§ 2.1. Исходные условия и некоторые общие замечания . .. . . . . . . . . . .
97
§ 2.2. Система (n, m), произвольное распределение времени безотказной
работы элементов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
99
2.2.1. Случай нагруженного резерва (99). 2.2.2. Случай облегченного резерва (100).
§ 2.3. Система (n, m), экспоненциальное распределение времени безотказной работы элементов. Облегченный резерв . .. . . . . . . . . . . . .
104
§ 2.4. Анализ влияния контрольно-переключающих устройств на безотказность резервированных невосстанавливаемых систем. .. . . . . . .
113
2.4.1. Основные предположения и обозначения (113).
2.4.2. Безотказность авторезервированных систем (n, m) I-го типа (116).
2.4.3. Безотказность авторезервированных систем (n, m) II-го типа (134).
§ 2.5. Алгоритм вычисления характеристик безотказности резервированной системы (n, m) из разных элементов . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
143

Оглавление
5

2.5.1. Постановка задачи (143).
2.5.2. Вычисление вероятности
безотказной работы системы (145).
2.5.3. Вычисление среднего
времени безотказной работы системы (149).
Задачи к главе 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
150

Г л а в а 3.
Проблема оптимального синтеза невосстанавливаемых
резервированных систем (оптимизация структуры системы) . . .
152
§ 3.1. Постановка задач оптимального резервирования . .. . . . . . . . . . . .
152
§ 3.2. Применение метода наискорейшего покоординатного спуска . .. . . .
156
3.2.1. Случай одного ограничения (157). 3.2.2. Случай нескольких
ограничений (прямая задача) (160).
§ 3.3. Применение метода динамического программирования для решения
задач оптимального резервирования с одним ограничением. .. . . . .
166
3.3.1. Прямая задача (166). 3.3.2. Обратная задача (167).
§ 3.4. Применение комбинированного метода для решения прямой задачи
оптимального резервирования с двумя ограничениями . .. . . . . . . .
169
Задачи к главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
172

Ч а с т ь III.
АНАЛИЗ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ СИСТЕМ
(ПАССИВНАЯ СТРАТЕГИЯ ЭКСПЛУАТАЦИИ)

Г л а в а 1.
Надежность восстанавливаемой системы без учета ее
структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
175
§ 1.1. Некоторые понятия теории восстановления . .. . . . . . . . . . . . . . .
175
§ 1.2. Модель мгновенного восстановления работоспособности элемента
178
§ 1.3. Модель конечного времени восстановления работоспособности элемента. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
180

Г л а в а 2.
Некоторые вопросы схематизации процессов функционирования и обслуживания сложных систем . . . . . . . . . . . . . . . .
183
§ 2.1. Схематизация процесса функционирования и обслуживания сложной системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
183
§ 2.2. Система дифференциальных уравнений Колмогорова . .. . . . . . . . .
186
2.2.1. Определение вероятности безотказной работы системы (187).
2.2.2. Определение
нестационарного
коэффициента
готовности
(189).
2.2.3. Определение
стационарного
коэффициента
готовности (189).
2.2.4. Определение среднего времени безотказной работы (189).
§ 2.3. Метод объединения состояний системы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
2.3.1. Объединение
работоспособных
состояний
системы
(при
определении
вероятности
и
среднего
времени
безотказной
работы) (190).
2.3.2. Объединение
всех
работоспособных
и
всех неработоспособных состояний системы (при определении
коэффициента готовности) (194).
§ 2.4. Этапы решения задач по определению показателей надежности. .. .
195

Оглавление

Г л а в а 3.
Анализ показателей надежности восстанавливаемых систем с учетом их структуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
§ 3.1. Показатели надежности последовательной системы из восстанавливаемых элементов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
197
§ 3.2. Показатели надежности восстанавливаемой резервированной системы (n, 1) (марковский случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
3.2.1. Определение
показателей
безотказности
системы (200).
3.2.2. Определение
стационарного
коэффициента
готовности
системы (205).
§ 3.3. Показатели надежности восстанавливаемой резервированной системы (n, m) (марковский случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208
3.3.1.
Определение
показателей
безотказности
системы
(n, m)
(208).
3.3.2. Определение
коэффициента
готовности
системы (n, m) (212).
§ 3.4. Показатели надежности восстанавливаемой авторезервированной
системы (n, 1) (марковский случай) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217
3.4.1. КПУ имеет только динамические отказы (217).
3.4.2. КПУ
имеет динамические и статические отказы (228).
§ 3.5. Восстанавливаемая система произвольной структуры в стационарном случае . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
246
Задачи к главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
250

Г л а в а 4.
Анализ надежности восстанавливаемой авторезервированной системы (n, 1) (полумарковский случай) . . . . . . . . . . .
251
§ 4.1. Произвольное восстановление . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
4.1.1. Вычисление вероятности и среднего времени безотказной
работы системы (252).
Задачи к главе 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
270

Г л а в а 5.
Надежность систем при быстром восстановлении . . . . . .
271
§ 5.1. Восстанавливаемая дублированная система с ненагруженным резервом. Случай произвольных распределений . .. . . . . . . . . . . . . .
271
§ 5.2. Авторезервированные системы (n, 1) при быстром восстановлении
280
5.2.1. Некоторые замечания (280).
5.2.2. Свойства авторезервированных систем (282).
5.2.3. Авторезервированные восстанавливаемые системы I-го типа (283).
5.2.4. Авторезервированные
восстанавливаемые системы II-го типа (289).
§ 5.3. Восстанавливаемая система произвольной структуры . .. . . . . . . . .
294
Задачи к главе 5 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295

Ч а с т ь IV.
ОПТИМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ
ТЕХНИЧЕСКОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ

Г л а в а 1.
Общие принципы постановки и решения проблемы технического обслуживания сложных систем . . . . . . . . . . . . . . . .
299
§ 1.1. Жизненные циклы технической системы и задача разработки правил технического обслуживания. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
299

Оглавление
7

§ 1.2. Исходные характеристики (данные) для создания оптимальных
правил технического обслуживания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
300
1.2.1. Характеристики безотказности (301). 1.2.2. Характеристики
восстановления (302). 1.2.3. Характеристики самостоятельной индикации отказов (305). 1.2.4. Пример (307).
§ 1.3. Стратегии технического обслуживания и их свойства . .. . . . . . . .
308
1.3.1. Определение стратегии технического обслуживания (308).
1.3.2. Свойства стратегий (308).
§ 1.4. Эффективность функционирования технической системы. Определение конкретных показателей эффективности . .. . . . . . . . . . . . .
309
1.4.1.
Общие
определения
понятия
эффективности
(309).
1.4.2. Определение конкретных показателей эффективности (310).
1.4.3. Характеристики
эффективности
для
регенерирующего
процесса (316).
§ 1.5. Постановка задачи оптимизации технического обслуживания и алгоритм ее решения . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
319
§ 1.6. Примеры управляемых случайных процессов, являющихся математическими моделями эволюции технической системы. .. . . . . . . . .
319
Вопросы к главе 1 . .. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
320

Г л а в а 2.
Математические модели технического обслуживания без
учета структуры системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
§ 2.1. Вводные замечания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
322
§ 2.2. Пассивная стратегия обслуживания системы без учета структуры с
произвольной длительностью самостоятельного проявления отказа
322
2.2.1. Постановка задачи (322).
2.2.2. Решение задачи (вывод основных формул) (323).
§ 2.3. Стратегия обслуживания системы без учета структуры с мгновенной индикацией отказа . .. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
331
2.3.1. Постановка задачи (331).
2.3.2. Решение задачи (вывод основных формул) (332).
§ 2.4. Стратегия обслуживания системы без учета структуры при отсутствии самостоятельной индикации отказа . .. . . . . . . . . . . . . . . .
355
2.4.1. Постановка задачи (355).
2.4.2. Решение задачи (вывод основных формул) (357).
§ 2.5. Стратегия обслуживания системы без учета структуры с произвольной длительностью самостоятельного проявления отказа . .. . .
376
2.5.1. Постановка задачи (376).
2.5.2. Решение задачи (вывод основных формул) (377).
Вопросы к главе 2 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
396

Г л а в а 3.
Модели технического обслуживания с учетом структуры
системы. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
§ 3.1. Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
397
§ 3.2. Пассивная стратегия обслуживания цепочки последовательно соединенных элементов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
398
3.2.1. Постановка задачи (398).
3.2.2. Решение задачи (вывод основных формул) (399).

Оглавление

§ 3.3. Стратегия обслуживания цепочки последовательно соединенных
элементов по наработке. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
406
3.3.1. Постановка задачи (406).
3.3.2. Решение задачи (вывод основных формул) (409).
Вопросы к главе 3 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
425

Г л а в а 4.
Модели технического обслуживания дублированных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
426
§ 4.1. Вводные замечания . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
426
§ 4.2. Марковская модель функционирования дублированной системы . .
430
4.2.1. Постановка задачи (430).
4.2.2. Решение задачи (вывод основных формул) (431).
§ 4.3. Полумарковская модель функционирования дублированной системы с облегченным резервом. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
443
4.3.1. Постановка задачи (443).
4.3.2. Решение задачи (вывод основных формул) (444).
§ 4.4. Полумарковская модель функционирования дублированной системы при ненагруженном резерве и мгновенной индикации отказа . .
458
4.4.1. Постановка задачи (458).
4.4.2. Решение задачи (вывод основных формул) (462).
Вопросы к главе 4 . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
488

П р и л о ж е н и я. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
489
1. Преобразование Лапласа и его свойства . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
489
2. Решение дифференциального уравнения методом вариации постоянных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
490
3. Случайные величины и их характеристики . .. . . . . . . . . . . . . . .
491
4. Экспоненциальное распределение и его свойства . .. . . . . . . . . . .
495
5. Некоторые вопросы схематизации процессов функционирования
и обслуживания сложных систем . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
498
6. Элементарные теоремы теории вероятностей . .. . . . . . . . . . . . . .
513
7. Процессы восстановления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
515
8. Пуассоновский процесс (простейший поток) . .. . . . . .. . . . . . . . .
528
9. Марковские процессы с непрерывным временем и дискретным множеством состояний. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
530
10. Полумарковские процессы . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540
11. Управляемые полумарковские процессы . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
545
12. Управляемый случайный процесс как модель управления техническим состоянием системы . .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
547
13. Построение реализаций случайных величин с заданной функцией
распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
549

Таблицы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
550

Список литературы . .. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
600

Предметный указатель . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
606

«... в каждой специально естественной
науке можно найти собственно науки
лишь столько, сколько в ней математики.»
Г. Гессе

Предисловие
ко второму изданию

Первое издание настоящего учебного пособия вышло семь лет тому назад
малым тиражом и было предназначено для ряда технических специальностей,
широкий спектр которых свидетельствует о важности исследования современных проблем теории надежности для проектируемых технических систем
в различных предметных областях. С этих позиций освоение этого материала
молодыми специалистами позволяет более высоко оценивать качество выпускников высшей школы, поскольку привлечение современных математических
методов исследования указанных проблем при решении практических задач
надежности позволяет повысить качество решений, сократить время решений,
удешевить процесс принятия решений.
Принципиально содержание второго издания не отличается от содержания
первого издания и содержит следующие разделы математической теории надежности:

• Проблемы теории надежности. Основные понятия и определения.

• Анализ показателей безотказности невосстанавливаемых систем.

• Анализ показателей надежности восстанавливаемых систем (пассивная
стратегия технического обслуживания).

• Оптимальные задачи технического обслуживания.

Сравнение содержания настоящего учебного пособия с содержанием классических монографий [4, 16], структура и содержание которых проверены временем, показывает, что отсутствует только раздел статистических испытаний
и статистической оценки показателей надежности. Это вызвано двумя обстоятельствами: существенно увеличился бы объем материала и тем, что основное
внимание в нашей книге уделено аналитическим методам расчета показателей надежности на этапе разработки и аналитическим методам оптимизации
процесса технического обслуживания.
Излагая математические модели, авторы отказываются от жестких ограничений относительно свойств исходных распределений (например, предположения об экспоненциальном распределении времени безотказной работы или
времени восстановления), что существенно расширяет область применения
исследованных моделей. При таком подходе помимо марковских процессов
и процессов восстановления широко используются полумарковские процессы.
При исследовании процессов формирования показателей надежности в модели вводятся соответствующие характеристики контрольно-переключающих
устройств, что также существенно расширяет область применения.
Авторы стремились четко поставить математические задачи, однозначно
сформулировать ограничения и описать области применения моделей, привести
методику практического использования математических результатов.

Предисловие к первому изданию

Отмеченные выше особенности и широкий охват материала отличают данное учебное пособие от ряда изданных в последнее время учебных изданий.
С другой стороны авторы постарались сохранить положительные особенности
первого издания, отмеченные в предисловии к нему.
Редактирование, основной набор, графика и верстка в TeX осуществлены
в издательстве ООО «ФИЗМАТЛИТ», исходный набор частей I–III рукописи
в системе TeX подготовлен в ООО «Редакция журнала ”Теория вероятностей
и ее применения“ (научное издательство ТВП)».
Настоящему изданию присвоен гриф «Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федераций в качестве учебного пособия для
студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлениям «Управление качеством», «Безопасность жизнедеятельности» и специальностям «Информационные системы и технологии», «Автоматизированные системы обработки информации и управления», «Прикладная математика», «Управление
качеством».

Москва, 2009
В. А. Каштанов, А. И. Медведев

Предисловие
к первому изданию

Значимость прикладной теории определяется потребностями практики.
В этом смысле теория надежности сложных систем прошла сложный путь
своего развития и распространения и в настоящее время является важнейшим
инструментом анализа качества технических, экономических, управленческих,
вычислительных, коммуникационных и т. п. систем. Три обстоятельства определяют значимость этой теории:

• возрастающая сложность современных систем, важность и ответственность решаемых задач;

• катастрофичность последствий, связанных с некачественным выполнением системой возложенных на нее задач;

• относительная дешевизна теоретического анализа.

Овладение этой теорией весьма полезно специалистам многих технических,
экономических и математических специальностей. Еще в 1965 г. в предисловии
к первой отечественной монографии «Математические методы в теории надежности» один из создателей математической теории надежности академик Борис
Владимирович Гнеденко писал, что интерес к теории надежности проявляют
инженеры, экономисты, математики, а также организаторы производства. Поэтому в учебных планах специальностей «Управление качеством», «Прикладная математика», «Прикладная математика и информатика», «Математические
методы в экономике», «Менеджмент» и многих других целесообразно введение
учебного курса «Теория надежности сложных систем».
В настоящее время многие ранее изданные для отдельных специальностей немногочисленные учебники и учебные пособия стали библиографической
редкостью. В недавно вышедшем учебном пособии «Надежность технических
систем» (авторы Е. В. Сугак, Н. В. Василенко и др., Красноярск, 2001 г.) недо
Предисловие к первому изданию
11

статочно места, на наш взгляд, уделено теоретическим вопросам. Поэтому
предлагаемый учебник призван восполнить этот пробел.
Содержание учебника соответствует требованиям Государственных стандартов, которые включают курсы по надежности, например, стандарт по специальности «Управление качеством».
Авторы не случайно назвали учебник — «Теория надежности сложных систем». При этом под сложными системами они понимают системы, которые не
только состоят из достаточно большого числа элементов, но и характеризуются
избыточностью (наличием резервных элементов, контрольно-переключающих
устройств), неполнотой контроля, наличием технического обслуживания. Все
эти вопросы нашли свое отражение в учебнике.
Учебник состоит из четырех частей.

• Проблемы теории надежности. Основные понятия и определения (вводная часть).

• Анализ показателей безотказности невосстанавливаемых систем.

• Анализ показателей надежности восстанавливаемых систем (пассивная
стратегия эксплуатации).

• Оптимальные задачи технического обслуживания.

Кроме этого, учебник содержит «Математические приложения», в которых
без доказательств приводятся основные математические теоремы и необходимые определения, что позволяет облегчить понимание материала и сократить
время его изучения.
Для проведения расчетов в приводимых примерах, а в дальнейшем и
для доведения до числа практических задач, в учебник помещены таблицы
основных распределений, используемых в теории надежности.
Части I, II и III написаны А. И. Медведевым, часть IV написана В. А. Каштановым, § 2.5 части II написан совместно.
Части имеют независимую нумерацию глав, параграфов (разделов) и соответственно формул. Формулы имеют тройную нумерацию — номер параграфа
(двойной — номер главы и номер параграфа) и номер формулы. При ссылках
на формулы текущей части используется эта тройная нумерация. При ссылках
на формулы других частей указывается дополнительно номер части.
Рисунки имеют двойную нумерацию. Первая цифра — номер части, вторая — номер рисунка. Таблицы также имеют двойную нумерацию: первая
цифра — номер главы, вторая — номер таблицы.
Ссылки на приложения двузначны. Первая цифра указывает раздел приложения, вторая — номер приложения или таблицы в этом разделе.
Изложение теоретического материала сопровождается иллюстрирующими
положениями теории и практическими примерами, доведенными до числа.
Каждый отдельный теоретический раздел заканчивается соответствующей
методикой расчета.
Для качественного освоения изложенного материала после каждой главы
приведены основные вопросы самостоятельной проверки и задачи. Это позволит оценить качество усвоения теоретического материала.

Москва, 2002
А. И. Медведев, В. А. Каштанов

Список основных обозначений

Ω — множество элементарных событий ω, ω ∈ Ω;
P — символ вероятности;
A, B, C — события;
P{A} — вероятность события A;
P{A | B} — вероятность события A при условии B;
ξ = ξ(ω), η = η(ω), ... — случайные величины (греческие буквы);
F(x), G(x), Φ(x), ... — функции распределения, F(x) = P{ξ < x},...;
F(x) = 1 − F(x) = P{ξ ⩾ x};
f(x), G(x), ... — плотности распределений;
Mξ, Dξ — моменты случайных величин, математическое ожидание
и дисперсия;

λ(t) = f(t)

F(t) — интенсивность отказов;

ξ(t), η(t), ζ(t), ... — случайные процессы;
H(t) — функция восстановления простого процесса восстановления;

I(A) =
0,
ω /∈ A,
1,
ω ∈ A,
— индикатор события A;

КПУ — контрольно-переключающее устройство;
F ∗(s) — преобразование Лапласа (или Лапласа–Стилтьеса) функции
F(x),

F ∗(s) =

∞
0
e−sxF(x) dx;

S — средние удельные доходы, приходящиеся на единицу календарного времени;
C — средние удельные расходы, приходящиеся на единицу времени
исправного функционирования;
R(t, z) или Kог(t, z) — нестационарный коэффициент оперативной
готовности;
R(z) или Kог(z) — стационарный коэффициент оперативной готовности;
Kг(t) — нестационарный коэффициент готовности;
Kг — стационарный коэффициент готовности;
Kи(t) — нестационарный коэффициент технического использования;
Kи — стационарный коэффициент технического использования.

«... нужно знать то, о чем мыслишь.»
Платон

Ч а с т ь I

ПРОБЛЕМЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

В настоящей вводной части излагаются общие вопросы
теории надежности, к которым относятся введение основных
понятий теории и определений, формулировки проблем, решаемых теорией, изложение методик исследования этих проблем
и определение круга математических дисциплин и методов,
используемых при исследовании.
Как и в любой теории, главная проблема теории надежности
заключается в разработке моделей, адекватно описывающих
реальные явления и процессы, связанные с разработкой, построением (изготовлением) и функционированием (эксплуатацией) продуктов, создаваемых человеком для удовлетворения
своих потребностей. Поэтому читатель, изучающий теорию надежности, всегда должен помнить, что имеет дело с моделями, а жизнь значительно богаче и сложнее этих моделей,
созданных абстрактными размышлениями. Это обстоятельство
является основой дальнейшего развития теории.

Г л а в а 1

ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ

§ 1.1. Основные понятия и их определения

В настоящем параграфе приведем определения некоторых основных
понятий, которые будут использоваться в дальнейшем.
Любая реальная техническая система является продуктом разработки и производства, который удовлетворяет (или будет удовлетворять) определенные потребности человека. Эта система может функционировать во взаимодействии с другими системами или входить
в состав другой более общей системы. В таком случае будем говорить
о том, что система состоит из отдельных подсистем. Подсистема —
это часть системы. Примерами подсистем могут быть: отдельная
ЭВМ, входящая в состав некоторой локальной сети; радиостанция
аэропорта, входящая в состав системы сопровождения самолетов. Читатель без труда приведет другие примеры, иллюстрирующие данное
положение.
Из предыдущих рассуждений следует, что при исследовании конкретной ситуации
• возможно обобщение и объединение систем, их глобализация;
• возможна детализация структуры системы.
В настоящем учебном пособии будут рассмотрены с позиции теории
надежности не реальные технические системы, а их модели. В рамках
этих моделей назовем системой соединение некоторых элементов.
При этом под элементом будем понимать часть системы, структура которой в данной модели не рассматривается. Физически это может
быть, например, транзистор, интегральная схема, конденсатор, а может
быть приемник, передатчик, радиорелейная станция. Понятие элемента
ограничивает глубину детализации модели, описывающей некоторую
техническую систему.
Систему, состоящую из одного элемента, будем считать простой
системой.
Сложной системой назовем такую систему, которая состоит из
двух или большего числа элементов.
Отметим, что аналогичный подход используется в квалиметрии
(науке об измерении качества) при определении простого и сложного
свойств.
Объект — обобщающее понятие, которое включает в себя понятия
от элемента до сложной системы.

Ч. I. Гл. 1. Общие вопросы теории надежности

Следует подчеркнуть, что исследование объектов необходимо проводить с учетом условий их функционирования.
Любой технический объект проходит определенный жизненный
цикл, в котором можно выделить три основные этапа:
1. Разработка и конструирование.
2. Производство.
3. Эксплуатация, использование.
Конечно, у объекта могут быть и другие этапы, например, транспортирование, хранение и т. д.

Перечислим некоторые наиболее важные работы, которые проводятся на каждом из этапов и которые оказывают влияние на надежность
объекта.

I этап.
• Осознание новой задачи, изучение и прогнозирование соответствующих проблем.
• Формулирование общих требований к объекту (разработка тактико-технических требований).
• Непосредственная разработка, прогнозирование; для важных объектов — проведение научно-исследовательских и опытно-конструкторских работ (в том числе, расчетов надежности).

II этап.
• Подготовка и разработка производственного процесса.
• Решение вопросов материально-технического снабжения.
• Непосредственное производство объекта.
• Контроль технологических процессов.
• Проведение испытаний объекта (одна из целей — проверка выполнимости заданных требований по надежности).
• Консервация, хранение объекта.

III этап.
• Реализация объекта.
• Непосредственная эксплуатация объекта (при этом важное значение имеют работы по сбору статистической информации о надежности элементов объекта и объекта в целом).
• Техническое обслуживание объекта.

§ 1.2. Качество и надежность

Любой технический объект обладает разнообразными свойствами.
Эти свойства, как каждое в отдельности, так и в совокупности,
представляют непосредственный интерес для человека. Совокупность
свойств объекта, обусловливающих его пригодность удовлетворить
определенные потребности в соответствии с его назначением, называется качеством объекта.