Геометрия и графика, 2015, №4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Сальков Н.А., канд. техн. наук,  
профессор МГАХИ им. В.И. Сурикова

Выпускающий редактор:  
Путкова А.В.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2015

Подписано в печать 17.12.2015.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Сальков Н.А.
Свойства циклид Дюпена и их применение. 
Часть 3: сопряжения  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Умбетов Н.С., Джанабаев Ж.Ж. 
Об алгоритме графического построения 
геодезической линии на линейчатой поверхности . . .15

Короткий В.А., Усманова Е.А., 
Хмарова Л.И. 
Компьютерное моделирование кинематических 
поверхностей  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .19

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ 
ПРЕПОДАВАНИЯ

Столбова И.Д.
Об обеспечении качества предметного обучения 
студентов технического университета . . . . . . . . . . . . . . . .27

ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА И ЧЕРЧЕНИЕ

Лепаров М.Н.
Инженерный анализ конструкторской 
документации технического объекта . . . . . . . . . . . . . . . . .38

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Сальков Н.А.
Предметные олимпиады как показатель качества 
обучения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

ИСТОРИЯ НАУКИ И ТЕХНИКИ. 
БИОГРАФИИ

Горнов А.О.
Евгений Александрович Глазунов. К 125-летию 
со дня рождения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .55

2015. Том 3. Вып. 4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского государственного универси- 
тета тонких химических технологий (МИТХТ)  
им. М.В. Ломоносова, Московского государственного академического художественного  
института (МГАХИ) им. В.И. Сурикова, Омского 
государственного технического университета 
(ОмГТУ), Московского государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2015. Vol. 3. Issue 4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
Российский химико-технологический университет имени Д.И. Менделеева (Россия).
     D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.

Тульский государственный университет, Тула (Россия).
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 

кавалер ордена и медали Франциска Скорины.
Витебский государственный университет имени  
П.М. Машерова (Беларусь).
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волков Владимир Яковлевич, д-р техн. наук, профессор.

Сибирская государственная автомобильно-дорожная 
академия, Омск (Россия).
Siberian State Automobile and Highway Academy, Omsk 
(Russia).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
Санкт-Петербургский государственный университет 
телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, 
St. Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент.
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies,  Moscow (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 
University of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ 
им. В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Россия).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия).
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies,  Moscow (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова (Россия). 
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies, Moscow (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.

Софийский технический университет, София (Болгария).
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова (Россия).
Lomonosov Moscow State University of Fine Chemical 
Technologies, Moscow (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов 
публикуемых материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к 
авторским материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать 
тексты и вносить в рукописи необходимую стилистическую правку 
без согласования с авторами. Поступившие в редакцию материалы 
будут свидетельствовать о согласии авторов принять требования 
редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения 
редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, 
Lev Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.

Московский государственный университет геодезии и 
картографии, Москва (Россия).
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.

Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University 
Innsbruck, Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology, 
Vienna (Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь (Россия).
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный академический художественный институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия), 
гл. редактор.

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, 
доцент. Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия), зам. гл. редактора.

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
Московский государственный университет тонких химических технологий имени М.В. Ломоносова, Москва 
(Россия), ответственный секретарь.

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 

Омский государственный технический университет, Омск 
(Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и 
картографии (Россия).

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015  

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 519.853.32:514.18                     DOI: 10.12737/17345

Н.А. Сальков
Канд. техн. наук, профессор,
Московский государственный академический 
художественный институт имени В.И. Сурикова,
Россия, 109004, г. Москва, Товарищеский переулок, д. 30

Свойства циклид Дюпена 
и их применение. Часть 3: 
сопряжения 

Аннотация. В первой части работы рассматривался в основном вопрос о свойствах циклид Дюпена, а также приводились 
некоторые примеры их применения: три способа решения задачи 
Аполлония исключительно при помощи циркуля и линейки, 
используя выявленные свойства циклид Дюпена. Во второй части 
работы было продолжено рассмотрение использования свойств 
циклиды Дюпена. Определено, что фокальные поверхности 
циклид Дюпена вырождены в линии и представляют собой кривые второго порядка. Отсюда циклиды могут задаваться кривой 
второго порядка и сферой, центр которой лежит на фокальной 
кривой. Выявлено поликоническое соответствие этих фокальных 
кривых. Показано формирование поверхности четвертого порядка 
на основе софокусных кривых второго порядка.
В настоящем выпуске журнала читателю предлагается рассмотреть практическое применение свойств циклид Дюпена 
на примере всем известных задач на сопряжения. Если в 
первой части работы приводились только три способа решения задачи Аполлония, то в третьей части рассматриваются 
остальные возможные случаи сопряжений: как при нулевом 
размере радиуса окружности, так и при бесконечно большом. Все решения – и известные, и не очень – основаны на 
свойствах циклид Дюпена. В курсе инженерной графики, на 
вступительных испытаниях, как сейчас принято говорить, по 
черчению на архитектурные факультеты встречаются задачи, 
посвященные сопряжениям дуг окружностей с прямыми,  
а также окружностей, проходящих через точки в различных 
сочетаниях. Поэтому предлагаемое практическое приложение 
нельзя считать надуманным – оно исходит из практической 
целесообразности методического свойства.
Ключевые слова: сопряжения, начертательная геометрия, 
циклические поверхности, каналовые поверхности, циклида 
Дюпена, задача Аполлония.

N.A. Salkov 
Candidate of Technical Sciences, Professor, 
Moscow State Academic Art Institute named after V.I. Surikov,
30, Tovarishcheskiy per., Moscow, 109004, Russia

Properties of Dupin Cyclide and Their 
Application. Part 3: The Problem of Apollonius

Abstract. In the first part of work was addressed mainly the 
issue of properties under Dupin cyclide, and given some examples 
of their applications: three ways of solving the problem of Apollonius 

using only compass and ruler, using the identified properties of 
Dupin cyclid. The second part of work continued with consideration 
of the use of property under a lie of Dupin. It is determined that 
the focal surface of cyclid of Dupin is degenerated in the lines and 
represent curves of the second order. Here under a lie can be defined 
conic curve and a sphere whose center lies on the focal curve. 
Polyconic conformity these focal curves is revealed. The article 
show the formation of the surface of the fourth order on the basis 
of defocusing curves of the second order.
In this issue of the journal the reader is invited to consider the 
practical application of properties under a lie of Dupin for example 
of well known problems with on-voltage. If the first part of the work 
was cited only three ways of solving the problem of Apollonius, in 
the third part the author considers other possible mates: as at zero 
the size of the radius of the circle and the demon is of course great. 
All decisions – both known and not really based on properties of 
Dupin cyclide. In the course of engineering graphics, introductory 
tests, as they say now, drawing on architectural faculties there are 
tasks, dedicated to the mating arcs of circles with straight lines, 
and circles passing through the points in various combinations. 
Therefore, the proposed practical application cannot be considered 
far-fetched – it is based on the practical utility of method.
Keywords: pairing, descriptive geometry, cyclic surfaces, canal 
surface, Dupin cyclide, the problem of Apollonius.

В работах [23; 24] были рассмотрены геометрические свойства цикдид Дюпена. В части 1 [23] предлагаемой работы в качестве практического приложения циклид Дюпена рассматривалось построение 
окружности, касательной к трем данным окружностям — всемирно известная классическая задача 
Аполлония, когда данные окружности имели действительные радиусы. Вариантов решения при задании 
трех окружностей может быть восемь. На рис. 1 показаны все возможные построения касательных 
окружностей. Для удобства различия три данные 
окружности изображены толстыми сплошными линиями, а касательные к ним — линиями другого типа. 

Рис. 1

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14

 В курсе инженерной графики, на вступительных 
экзаменах по черчению на архитектурные факультеты встречаются задачи, посвященные сопряжениям 
дуг окружностей с прямыми, а также окружностей, 
проходящих через точки в различных сочетаниях.
Тема «Сопряжение» в курсе инженерной графики 
имеет определенную роль в формообразовании поверхностей технического и строительного направлений [1; 2; 4–7; 9–11; 13; 14; 16–22; 25–27]. Подавляющая 
часть задач на сопряжения сводится к известной 
задаче Аполлония о касании окружности трем заданным. При этом заданные окружности могут иметь 
радиусы в пределах от 0 до ∞, т.е. в экстремальных 
условиях являться точками или прямыми.
Методика графического решения любой задачи 
должна удовлетворять по возможности следующим 
требованиям: наибольшая простота решения, достаточная точность построений, возможность пользования простыми инструментами, минимальный объем 
теоретического материала и его научная обоснованность. Решение задачи Аполлония с использованием 
свойств циклиды Дюпена в основном удовлетворяет 
этим требованиям.
Напомним, что циклида Дюпена [8; 12; 15; 23; 24; 
31] нами рассматривается как поверхность, огибающая множество сфер, каждой из которых она касается по окружности. Плоскости таких окружностей 
касания имеют одну общую линию пересечения — ось 
циклиды. Ось циклиды, огибающей две любые сферы, принадлежит плоскости, перпендикулярной оси 
конуса, касательного к обеим сферам, и расположенной посередине между плоскостями окружностей 
касания. При задании циклиды тремя сферами можно провести три такие плоскости. При пересечении 
они определят положение одной из двух осей циклиды Дюпена.
При задании трех сфер конечного радиуса после 
определения положения оси циклиды и нахождения 
точек касания заданных сфер плоскостью — сферы 
радиусом, равным ∞, нахождение центров окружностей касания не представляет затруднений, при этом 
искомые окружности будут очерковыми окружностями циклиды Дюпена.
При задании сфер бесконечно большого радиуса — плоскостей — задача требует несколько иного 
подхода: иногда следует применять проекцию циклиды, где показано ограничение ее двумя плоскостями (рис. 2, плоскость проекций П4).
Методика применения циклиды Дюпена универсальна и охватывает все возможные варианты классического решения задач Аполлония.
Рассмотрим примеры, где могут применяться 
свойства циклиды Дюпена в задачах на сопряжения. 
Построение окружностей, касательных трем данным 

окружностям с действительными размерами радиусов, 
мы уже рассмотрели ранее [23]. 
Все построения выполнялись на основе свойств 
циклиды Дюпена, огибающей три данные сферы, 
так как фронтальная проекция циклиды (рис. 2,а) 
тождественна решенной задачи Аполлония о касании 
окружностей.
Напомним основные свойства циклиды Дюпена.

1. Каждая из множества сфер, огибаемых циклидой 
Дюпена, касается последней по окружности касания 1-го семейства (рис. 2, окружности лежат 
в плоскостях Δi).

2. Множество плоскостей, которым принадлежат 
окружности касания 1-го семейства, имеют одну 
общую для них линию пересечения — ось циклиды Дюпена (рис. 2, ось j).

3. Если из множества сфер, огибаемых циклидой 
Дюпена, выбрать произвольные две, то плоскость, 
перпендикулярная оси конуса вращения, касательного к этим сферам, и проходящая через середину расстояния между плоскостями окружностей касания, пройдет через ось j циклиды Дюпена.

4. Каждая из множества сфер, огибающих циклиду 
Дюпена, касается циклиды по окружности касания 2-го семейства (рис. 2, окружности лежат в 
плоскостях Σi).

5. Множество плоскостей, которым принадлежат 
окружности касания 2-го семейства, имеют одну 
общую линию пересечения — ось i образуемого 
ими пучка плоскостей (рис. 2, плоскости Σi).

6. Каждая из окружностей касания 1-го семейства 
имеет с любой из окружностей касания 2-го семейства одну общую точку.

7. Две из окружностей касания 2-го семейства, расположенных в плоскости симметрии циклиды 
Дюпена, являются искомыми при решении задачи Аполлония (рис. 2,а).

8. Две из окружностей касания 1-го семейства, расположенные в плоскости симметрии циклиды 
Дюпена, являются искомыми при решении задачи Аполлония в ее частном случае, когда две или 
одна из данных окружностей имеют несобственные центры (рис. 2,б).
В третьей части предлагаемой работы рассмотрим 
все возможные частные случаи построений окружностей, касающихся трех данных. При этом затронем 
не только широко известные решения, такие как 
прохождение окружности через три точки или касание окружности трех прямых, но и другие варианты. 
Как увидят читатели, все задачи — и известные,  
и не очень — будут основываться на свойствах циклиды Дюпена, хотя и не всегда это будет столь очевидно. Начнем с самого начала — со сфер нулевого 
радиуса, с трех точек.

1. Построение окружности, проходящей через три 
точки
Задача хоть и тривиальная, но является 
частным случаем задачи Аполлония, 
когда все три данные окружности имеют 
бесконечно малый радиус, т.е. выродились в точки (рис. 3, точки А, В и С). 
Применяем свойство 8 циклиды 
Дюпена [23], которое в более простом 
виде содержится в п. 3. 
Касательные к окружностям конусы вращения в 
этом примере вырождаются в три прямые, поэтому 
середины расстояний между параллельными плоскостями (см. п. 3, приведенный выше) окружностей 
касания превратились в середины отрезков между 
точками. Ось циклиды j и центры всех касательных 
окружностей на П2 совпали с точкой О. Задача имеет единственное действительное решение, остальные 
решения мнимые.

2. Построение окружности, проходящей через две 
точки и касательной к данной окружности
Частный случай задачи Аполлония с применением свойств циклиды Дюпена. Решение задачи (рис. 4) 
ничем не отличается от решения с тремя данными 
окружностями. Предполагаем, что задана сфера с 
центром в точке О1. Строим к данной сфере два касательных конуса с вершинами в данных точках О2 

и О3, находим линии касания и совпавшие на П2 
точки А1, которые совместно с точками О2 и О3 задают две касательные к данной сфере плоскости. 
Далее — по алгоритмам, приведенным в работе [23]. 
Можно прибегнуть к одному из трех предложенных 
решений. На рис. 4 показано построение, в котором 
использовано свойство 8 и его следствие. Через середины высот конусов от вершин (в данном конкретном случае) до плоскости касания проводим перпен
дикулярные к осям конусов плоскости, которые 
пересекутся по оси циклиды j. Затем находим окружность касания данной сферы с циклидой и с помощью 
известных по [23] построений — точки касания очерков циклиды и центры очерковых окружностей ОК1 

и ОК2. Для этого проводим через ось j и точку А1
 плоскость, пересекающую данную сферу по окружности, 
а из точек пересечения этой плоскости с очерком 
данной сферы проводим прямые, соединяющие эти 
точки с ее центром. Точки пересечения построенных 
прямых с плоскостью симметрии циклиды Δ0 и будут 
искомыми центрами очерковых окружностей циклиды. Нужно предупредить, что центр ОК1 не принадлежит отрезку О2О3. Действительных решений в данной задаче два. Остальные 6 решений — мнимые.
На рис. 4 получен один из известных очерков 
циклиды Дюпена.

                   а)
                        б)
Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

3. Построение окружности, проходящей через точку и касательной к двум данным окружностям
Задача имеет 4 действительных решения (рис. 5) 
и 4 мнимых.
Применяем свойства циклиды Дюпена. Здесь 
также используем свойство 8 и его следствие. Данная 
задача сводится к предыдущей задаче. Для нахождения точек касания А1 и А2 плоскости с циклидой 
Дюпена строим три конуса касания: два из них,  
с вершиной в точке О3, касаются данных сфер (рис. 6), 
третий конус касается обеих данных сфер.

Рис. 5

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015

Рис. 6

Затем, согласно приведенному в [23] алгоритму, 
находим плоскость, касающуюся данных сфер и 
проходящую через точки А1, А2 и О3. После этого 
определяем положение осей i и j циклиды Дюпена. 
Ось i проходит через вершины трех конусов (две из 
них тождественно совпадают с точкой О3). Ось j находим согласно п. 3. Плоскость симметрии Δ0, содержащая искомые центры очерковых окружностей, 
проходит через ось j перпендикулярно оси i. В этой 
плоскости находим центры очерковых окружностей, 
как точки пересечения прямых Δ0 (см. рис. 5) с О1ОК1 

и О1ОК2. Сама теория построения представлена в [23].
Как видим, пока что теория свойств циклиды 
Дюпена работает безошибочно.

4. Построение окружности, касательной к трем 
данным прямым
Рассмотрим эту задачу как задачу Aполлония с 
окружностями бесконечно большого радиуса (рис. 7). 
По сути, заданы три плоскости: Г, ∑ и Δ.

Снова используем свойство 8 и его следствие. 
Kасательные конусы для нахождения точек касания 
в этой задаче вырождаются во фронтально проецирующие прямые а, b и c пересечения данных плоскостей. Эти конусы-прямые содержат и искомые 
«точки касания» трех данных плоскостей четвертой. 
Только следует иметь в виду, что эта плоскость касания — несобственная. 
Таким образом, первые три точки мы имеем. Для 
нахождения следующих трех точек поступаем, как 
показано в работе [23], в способе 1 решения задачи 
Aполлония: строим дополнительные три «сферы», 
увеличивая или уменьшая их «радиус» на одну и ту 
же величину δ
 (на рис. 6 они показаны тонкими прямыми линиями). Эти «сферы» также имеют «касательные конусы», вырожденные в прямые, параллельные а, b и c. Проведя через соответствующие 
параллельные прямые плоскости, по сути, являющиеся биссекторными, получим «ось» циклиды Дюпена 
(в данном примере она обозначена буквой O), выродившуюся в цилиндр вращения. Соединив точку O 
с «центрами» данных сфер, а по сути, проведя из O 
перпендикуляры к прямым а, b, c, получим точки 
касания.
Следует отметить, что при таком задании «сфер», 
при разном условии касания мы получим 4 действительных цилиндра вращения; существуют еще и 4 
мнимых.
Таким образом, мы рассмотрели частный случай 
получения циклиды Дюпена, когда она вырождается в цилиндр вращения.
Если плоскости Г, ∑ и Δ будут пересекаться в 
одной точке, мы получим циклиду Дюпена в виде 
конуса вращения.

5. Построение окружности, проходящей через точку и касательной к двум данным прямым
Задача Aполлония в случае, когда окружность 
должна касаться двух прямых и проходить через 
заданную точку, представлена на рис. 8. Даны прямые 
∑1, ∑2, представляющие на самом деле фронтально 
проецирующие плоскости, и точка O1 — сфера нулевого радиуса. Полученная конфигурация является профильной проекцией циклиды Дюпена (см. рис. 2,б). 
Для решения задачи построим касательную к 
данным плоскостям ∑1 и Σ2 вспомогательную сферу 
с центром в точке O, взятой произвольно на биссекторной плоскости ∑0. 
Проведем через ось i и точку O1 плоскость ∑3, 
которая будет пересекать построенную сферу по 
окружности AB. Из точки O1 проводим прямые 
O1OK2 || OB и O1OK1 || OA. Результатом будут искомые 
центры сфер OK1 и OK2. Из этих центров проводятся 
перпендикуляры OK1B1 ⊥ ∑1; OK1B2 ⊥ ∑2; OK2B3 ⊥ ∑1 и 
OK2B4 ⊥ ∑2. Сферы с центрами в точках OK1 и OK2 и 
Рис. 7

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14

радиусами OK1B1 и OK2B3 соответственно будут искомыми, а их очерки проходят через точку O1 и касаются «прямых» 

П3

1
∑
 и 

П3

2
∑
, что и требовалось 
по заданию.

Проведем вспомогательную сферу радиусом r из 
числа множества сфер, огибающих циклиду Дюпена, 
с центром в точке O (рис. 9), принадлежащим плоскости симметрии ∑0 циклиды, являющейся биссекторной плоскостью угла, образованного плоскостями ∑1 и ∑2. Радиус r вспомогательной сферы определяется из условия ее касания с плоскостями ∑1 и ∑2. 
Для построения точки A, в которой вспомогательная сфера O, r и данная O1, R касаются, вращаем 
отрезок OO1, величина которого известна и при внешнем касании равна сумме радиусов R + r, вокруг 
любой линии уровня, проходящей через точку O или 
O1, до параллельности плоскости проекций. Oпределив 
повернутое положение ( O O
0
2
1 ) отрезка OO1, и A0 точки касания, обратным поворотом находим положение 
точки касания A.
Плоскость ∑3, проходящая через точку A и ось i 
пучка плоскостей, пересечет сферу O1, R по окружности касания второго семейства KK1KK2 (свойства  
4 и 5), а очерковую окружность этой сферы — в точках KK1 и KK2.
Рис. 8

Следует добавить, что, поскольку сфера с нулевым 
радиусом (точка O1) не могла принимать действенного участия в построении, для точки невозможно 
построить окружность, касающуюся циклиды, как 
для сферы с конкретно заданным радиусом, пришлось 
применить гомотетию с центром в точке i.
Гомотетию будем применять в случаях, когда заданы только прямые и точки в разных вариантах. 
Так, ниже рассматривается задача с данными прямой 
и двумя точками, где также придется применить 
гомотетию.

6. Построение окружности, касательной к данной 
окружности и к двум прямым
Задача и ее решение показаны на рис. 9. 
Пусть заданы три окружности, две из которых 
имеют несобственные центры. Требуется построить 
окружности, касательные к окружности O1, R и к 
двум прямым ∑1 и ∑2.
Рассмотрим только случай внешнего касания 
искомых окружностей к данной O1, R, так как при 
внутреннем касании в принципе все построения 
будут аналогичны.
Считаем, что даны не окружности, а три сферы, 
относящиеся к множеству сфер, огибающих циклиду Дюпена (см. рис. 2,б и 9). При этом плоскости 
являются предельными сферами, а линия их пересечения i — осью пучка плоскостей (свойство 5). 
Тогда для построения окружности касания второго 
семейства сферы O1, R и искомой циклиды Дюпена 
достаточно найти хотя бы одну принадлежащую ей 
точку.

Рис. 9

B точках пересечения прямых O1KK1 и O1KK2 с плоскостью симметрии ∑0 циклиды Дюпена находятся 
центры OK1 и OK2 сфер, каждая из которых имеет 
внешнее касание к трем данным сферам. Oдновременно 
в плоскости симметрии ∑0 циклиды они являются 
центрами искомых окружностей в задаче Aполлония 
(свойство 8).
B конкретном примере, так как плоскость ∑1 и 
сфера O1, R пересекаются, то в смежном двугранном 
угле можно построить еще одну циклиду Дюпена, 
имеющую внешнее касание к трем данным сферам. 
Следовательно, будем иметь второе решение задачи 
Aполлония. Oстальные шесть решений — мнимые.

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015

B случае когда данная окружность не пересекает 
заданные прямые, получим четыре действительных 
решения и четыре мнимых.

7. Построение окружности, касательной к двум 
данным окружностям и прямой линии
Рассмотрим пример касания окружности к прямой 
и двум данным окружностям. Решение также основывается на рис. 2.
 Если из трех данных сфер O1, O2 и Δ3 (рис. 10), 
огибающих циклиду Дюпена, только одна Δ3 имеет 
несобственный центр, то решение несколько усложняется ввиду невозможности непосредственного 
построения оси i пучка плоскостей и плоскости симметрии ∑0 циклиды. Тогда для построения проецирующих плоскостей Δ1 и Δ2, которым принадлежат 
окружности касания второго семейства данных сфер 
O1 и O2 с циклидой Дюпена, необходимо найти положение двух точек на каждой из этих окружностей 
касания. Рассмотрим только случай внешнего касания.

Другая вспомогательная сфера радиуса R позволяет найти по второй точке каждой окружности касания. Пары точек касания на каждой данной сфере 
определяют положение двух проецирующих плоскостей Δ1 и Δ2, каждая из которых пересекает свою 
данную сферу по окружности касания, а очерковые 
окружности данных сфер — в точках касания 
K
K
K
K
1
1
2
1
1
2
2
2
;
;
;
.
Прямые O K
1
1
1 и O K
2
2
1в точке их пересечения определят положение центра O1, а прямые O K
1
1
2  и O K
2
2
2 — 
положение центра O2 сфер, очерковые окружности 
которых являются искомыми в задаче Aполлония.
B данном конкретном случае для внешнего касания имеется только два решения. Для внутреннего 
касания — еще два. Oстальные четыре — для смешанного касания (рис. 11).

Рис. 10

Построение выполняется в следующей последовательности. Проводится первая вспомогательная 
сфера произвольно заданного радиуса r, касательная 
к трем данным сферам. Положение ее центра определится как точка пересечения плоскости, удаленной 
от Δ3 на величину R, с окружностью, полученной при 
пересечении двух сфер: одной с центром O1 и радиусом R1 + r и второй с центром O2 и радиусом  
R2
 + r.
Kак в рассмотренном выше примере способа вращения, на сферах O1 и O2 находятся по одной точке 
окружностей касания второго семейства. 

Рис. 11

8. Построение окружности, касательной к данной 
прямой линии и проходящей через две точки
Пусть будут заданы три «сферы»: точки O1, O2 и 
плоскость ∑1 (рис. 12). Из рисунка видно, что работать будем с плоскостью П2.
Центры всех окружностей, проходящих через две 
точки, будут располагаться в плоскости их симметрии 
∑0, поэтому ее сразу можно провести через середину 
отрезка O1O2.
Плоскости ∑0 и ∑1 будут пересекаться по оси i 
пучка плоскостей второго семейства. Bторую касательную циклиды плоскость ∑2 построим как симметричную плоскости ∑1 относительно плоскости 
симметрии циклиды ∑0. Между этими плоскостями 
∑1 и ∑2 и будет заключена циклида Дюпена.
Проведем через одну из точек, например, точку 
O1, плоскость ∑3, которая будет пересекать циклиду 
Дюпена по двум касающимся друг друга окружностям.
Для решения построим вспомогательную сферу 
с центром O и найдем точки A и B пересечения очерковой окружности вспомогательной сферы с плоскостью ∑3.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14

Рис. 12

Применим гомотетию [28; 30]. Параллельно AO 
проведем прямую O1OK1, а параллельно BO — прямую 
O1OK2. Полученные точки OK1 и OK2 будут центрами 
искомых окружностей. Радиусами этих окружностей 
будут перпендикуляры OK1B1 и OK2B3.
Решений в этой задаче два, остальные шесть — 
мнимые.

9. Построение окружности, касательной к данным 
окружности и прямой линии и проходящей через точку
Можно сказать, что это единственная задача, где 
напрямую нельзя использовать свойства циклиды Дюпена. 
Рассмотрим частные случаи.
Частный случай 1
Точка находится на прямой. Тут можно рассмотреть 
два варианта:
1) точка O2
1  находится на пересечении перпендикуляра, опущенного из центра O2
2  данной окружности m2 на прямую m1, с прямой m1 (рис. 13).
Эти два решения — действительные. Oстальные 
шесть — мнимые.

не отрезка O K
2
1
1 радиусом O K
2
1
1
2
/
 и с центром OK
2
2

на середине отрезка O K
2
1
2  радиусом O K
2
1
2
2
/
, где 
точки K1 и K2 являются точками касания.
2) точка O2
1  находится на прямой m1 в произвольном месте (рис. 14).
Здесь используем свойство оси циклиды Дюпена, 
представленной на [23, рис. 5 и 6]. Решение берем 
из [24, рис. 3]. Только если в [24, рис. 3] взят один 
центр гомотетии, на рис. 14 взяты два центра: S1 и S2.
Центры искомых окружностей, так же как и в 
предыдущем примере, находятся на перпендикуляре 
к прямой m1, поэтому решение не представляет затруднений.
С центром в S1 мы находим точку касания K1 и 
центр искомой окружности OK
2
1 , используя [24,  
рис. 3], а с центром в S2 мы находим точку касания 
K2 и центр искомой окружности OK
2
2  аналогично 
построенным.
B задаче два решения действительные и шесть — 
мнимые.
Частный случай 2
Точка находится на окружности. Тут также можно 
рассмотреть два варианта:
1) точка O2
1  находится на пересечении перпендикуляра, опущенного из центра O2
2  данной окружности m2 на прямую m1, с окружностью m2 (рис. 15).

                    Рис. 13                                               Рис. 14

Oчевидно, что в данном случае получим два решения (две окружности): с центром OK
2
1  на середи
                         а)                                           б)

Рис. 15

Рассматриваем две задачи (рис. 15, а и рис. 15, б). 
B обеих задачах одна из окружностей получается, как 
на рис. 13, а вторая будет прямой m′, проходящей 
через точку K2 и касательной к окружности m2.
2) точка O2
1  находится на окружности m2 в произвольном месте (рис. 16).
B данном варианте точка O2
1  рассматривается как 
соответствующая в гомотетическом преобразовании 
при пересечении несоответствующих лучей гомотетии с центрами S1 и S2 точкам O K
2
2
1  и O K
2
2
2 . Точки 

O K
2
2
1 и O K
2
2
2  будут искомыми центрами касательных 
окружностей. Точками касания являются заданная 
точка O2
1  и основания перпендикуляров, опущенных 

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015

из найденных точек O K
2
2
1  и O K
2
2
2  на прямую m1. 
Сравните рис. 16 и [24, рис. 3]. 
Kак и в предыдущих задачах, два решения действительные и шесть — мнимые.

Напомним, какие свойства предполагает инверсия. 
Инверсия с центром в точке O и окружностью 
радиусом R (рис. 18) называется преобразованием, 
в котором заданной точке плоскости (мы сейчас 
рассматриваем построения именно на плоскости) 
соответствует вполне определенная точка этой же 
плоскости, условием месторасположения которой 
является следующее равенство:

OA
OA
R
′ ×
=
2.

То есть точки A и A′ на рис. 18 являются соответственными, переходящими одна в другую. При этом 
одна из точек находится в пределах круга, ограниченного окружностью m, а другая находится вне 
этого круга.
Геометрически эти точки можно найти исходя из 
рис. 19. Если задана точка A, проводим через нее 
касательную в точке 1 к окружности m, а затем опускаем перпендикуляр на луч OA. Полученная точка 
A′ и будет искомой, соответственной точке A.

Рис. 16

Oбщий случай
Даны точка O2
1 , прямая m1 и окружность m2 
(рис. 17).
Известно [17], что для нахождения центров касательных окружностей следует провести три параболы: одна из них — р1 — строится для заданной точки 
O2
1  (рис. 10), а две другие — р2 и р3 — для окружности m2.
Пересечения парабол р1, р2 и р3 дают центры искомых касательных окружностей O1, O2, O3 и O4.
Напрямую, применяя свойства циклиды Дюпена, 
задачу решить при помощи только циркуля и линейки представляется затруднительным. Поэтому решим 
эту задачу при помощи инверсии [3; 14, 30].

Рис. 17

              Рис. 18                                                      Рис. 19

Справедливы следующие свойства инверсии:
1) точка, принадлежащая окружности m, переходит сама в себя (рис. 20);
2) прямая, проходящая через центр инверсии O, 
переходит сама в себя (рис. 21).
3) окружность, проходящая через центр инверсии 
O, переходит в прямую. И наоборот, любая прямая 
переходит в окружность, проходящую через центр 
инверсии O (рис. 22–24). При этом прямая OO1 должна быть перпендикулярна прямой l.

              Рис. 20
Рис. 21
      Рис. 22

При этом имеются три варианта:
а) прямая l касается базовой окружности m. B этом 
случае соответственная прямой окружность l′ проходит через точки (рис. 22) O и Т, то есть отрезок OТ 
является диаметром окружности l′;

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015
GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14

б) прямая l пересекает в точках 1 и 2 базовую 
окружность m (рис. 23). B этом случае соответственная прямой окружность l′ проходит через три точки: 
O, 1 и 2. Центр O1 определяется при пересечении 
перпендикуляра, проведенного из точки O к прямой 
l с перпендикуляром, восстановленным из середины 
отрезка O1; 

B этой задаче соединяем центры базовой m и данной m1 окружностей, находим соответственные точкам A и B точки A′ и B′, затем на отрезке A′B′ как на 
диаметре строим окружность 
′
m1 .
Этими основными свойствами мы и будем пользоваться в решении настоящей задачи.
Теперь приступим к решению задачи общего случая, когда требуется провести окружность через точку и касательную данным окружности и прямой.
Пусть заданы (рис. 28) окружность m1, прямая m2 и точка m3.
Мы не можем превратить 
окружность m1 в прямую, а прямую m2 оставить прямой. Для 
этого надо, чтобы центр инверсии O находился одновременно 
и на прямой, и на окружности, 
что невозможно. Поэтому требуется сделать другое 
преобразование.
Мы можем прямую m2 преобразовать в инверсии 
в окружность 
′
m2 , окружность m1 — в окружность  

′
m1 , точку m3 — в точку 
′
m3 , что и было сделано. 
На рис. 29 показан первый этап решения задачи. 
Была взята базовая окружность m в произвольном 
месте и произвольного радиуса так, чтобы она пересекала прямую m2. Применялись варианты преобразования, показанные на рис. 19, 23 и 27.

 Рис. 23
                   Рис. 24

в) прямая проходит мимо базовой окружности m 
(рис. 24). B этом случае проводится перпендикуляр 
OA к прямой l, находится соответственная точке A 
точка A′ и на отрезке OA как на диаметре строится 
окружность l′.
4) окружность, не проходящая через центр инверсии O, переходит в окружность (рис. 25–27).
Имеются три варианта:
а) окружность m1 касается базовой окружности 
m1 в точке A (рис. 25). B этом случае соответственная 
точка A′ тождественно совпадает с точкой A. Oстается 
найти точку B′ и на отрезке A′B′ как на диаметре 
построить искомую окружность 
′
m1 ;

                     Рис. 25                                                  Рис. 26

б) окружность m1 пересекает базовую окружности 
m1 в точках 1 и 2 (рис. 26). B этом случае искомая 
окружность 
′
m1  находится как проходящая через 
точки 1, 2 и найденную точку A′ (или B′);
в) окружность m1 не касается и не пересекает 
базовую окружность m1 (рис. 27).

Рис. 27

Рис. 28

 Рис. 29

Bторым этапом (рис. 30) решаем задачу Aполлония 
о касании окружности двух заданных окружностей

′
m1 , 
′
m2  и проходящей через точку 
′
m3 , как это было 
показано на рис. 6 в п. 3. Здесь применяем свойства 
циклиды Дюпена. Для большей наглядности нахождения точек окружности 
′
m1  и 
′
m2  показаны тонкими линиями, а изображение для удобства восприятия увеличено.
Перейдя в пространство, решим задачу по известному алгоритму:

GEOMETRY & GRAPHICS (2015). Vol. 3. Iss. 4. 3–14
 ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2015