Актуарная математика в задачах

Фалин Г.И.
Фалин А.И.






            Актуарная математика в задачах









МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 519.22+368
ББК 22.17
      Ф19

   Фалин Г. И., Фалин А. И. Актуарная математика в задачах. — 2-е изд., перераб. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 192 с. — ISBN 5-9221-0451-9.
   С помощью большого числа специально подобранных задач, для которых приведены подробные решения, излагаются основные математические модели и методы, которые используются для расчетов характеристик продолжительности жизни, разовых и периодических премий, страховых надбавок, резервов и т. д. для различных видов страхования жизни и пенсионных схем.
   Книга предназначена для студентов экономико-математических специальностей, интересующихся актуарной математикой, а также для работников страховых компаний, пенсионных фондов, банков.
   Табл. 35. Ил. 15. Библиогр. 26 назв.




























ISBN 5-9221-0451-9

                                    © ФИЗМАТЛИТ, 2003
© Г. И. Фалин, А. И. Фалин, 2003

  Авторы
  Г.И. Фалин, А.И. Фалин
  Название
  Актуарная математика в задачах

Предисловие













   Цель книги — с помощью большого числа специально подобранных задач, для которых приведены подробные решения, дать углубленное изложение основных математических моделей и методов, необходимых для определения характеристик продолжительности жизни, разовых и периодических премий, страховых надбавок, резервов и т. д. для различных видов страхования и пенсионных схем. Этот материал является важнейшей составной частью актуарной математики, которая наряду с соответствующими экономическими и юридическими дисциплинами образует теоретическую базу страхового дела.
   Книга является естественным продолжением идейно близкого учебного пособия авторов Теория риска для актуариев в задачах (Издательство ф-та ВМиК МГУ, Москва, 2001), которое посвящено актуарным расчетам в общем страховании (страховании «не-жизни») и оценке финансовой устойчивости страховщика (вероятности «разорения»).
   Основу книги составили задачи по актуарной математике квалификационных экзаменов Общества Актуариев США (The Society of Actuaries): экзамена 1 «Математические основы актуарной науки», экзамена 3 «Актуарные модели», экзаменов 150 «Актуарная математика» и 151 «Теория риска» старой (действовавшей до 2000 года) экзаменационной системы Общества, а также оригинальные задачи авторов. Часть задач взята из основных зарубежных и отечественных учебников и монографий по актуарной математике, при этом некоторые условия были уточнены и их формулировки отредактированы. Все эти задачи имеют ярко выраженную практическую направленность и позволяют получить определенное представление не только об актуарных расчетах, но и о разработке страховых продуктов, андеррайтинге и т. д.
   При актуарных расчетах в долгосрочном страховании жизни широко используется теория сложных процентов. Поэтому мы сочли необходимым включить в книгу несложные задачи по финансовой математике из учебников по финансовой математике, а также задачи

Предисловие

по финансовой математике, предлагавшиеся на квалификационном экзамене 2 Общества Актуариев США «Экономика, финансы и теория

процентных ставок».
   Для понимания материала, изложенного в книге, читатель должен владеть основами актуарной математики в объеме, например, наших книг [3-5] или читать соответствующие главы из этих книг параллельно с чтением предлагаемого пособия.
   Первое издание книги было выпущено МГУ им. М. В. Ломоносова в 2002 г. В настоящем издании добавлены новые задачи, а перед каждой главой приведена сводка основных теоретических результатов.
   Требования к математической подготовке читателя ограничиваются обычными курсами математического анализа и теории вероятностей, так что книга доступна студентам, получившим базовую математическую подготовку в объеме двух курсов университета. В книге наряду со строгой математической фразой «... с вероятностью 0,95» используется принятая в приложениях фраза «... с вероятностью 95%».
   Книга может использоваться в учебном процессе не только как сборник задач, дополняющий общий теоретический курс актуарной математики, но и как основа самостоятельного курса для студентов экономико-математических специальностей. Она также будет полезна работникам страховых компаний, пенсионных фондов, банков.
   Мы будем благодарны читателям за советы и пожелания по поводу книги, которые просим направлять по e-mail: falin@mech.math.msu.su или обычной почтой по адресу: Москва 119992, МГУ им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет, кафедра теории вероятностей, проф. Г. И. Фалину.


24 февраля 2003 г.

Д.ф.-м.н., профессор Г. И. Фалин
К.ф.-м.н., доцент А. И. Фалин

Глава 1
ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ












1. Процентные ставки

   Эффективная процентная ставка
   Понятие процентов на капитал возникает в следующей простейшей ситуации.
   Предположим, что в момент t мы даем в долг сумму С (например, кладем на свой счет в банке, вносим плату за страховку, перечисляем пенсионный взнос в пенсионный фонд и т. д.). Спустя время h мы можем рассчитывать на определенный доход С = С • г от инвестирования принадлежащего нам капитала С. Сумма С¹ является наградой за то, что наши средства использовались другим человеком. Обычно ее измеряют в относительных единицах; величина г = С/С называется эффективной процентной ставкой (effective rate of interest) за рассматриваемый промежуток времени (t, t + h).

   Простые и составные проценты
   Предположим теперь, что сумма С может инвестироваться на два последовательных промежутка времени; пусть if., к = 1,2, — эффективная процентная ставка на к-м промежутке. Существуют две схемы исчисления дохода С¹ на объединенном интервале:

  1. Принцип простых процентов (simple interest) предполагает, что проценты начисляются только на основной капитал. Поэтому С¹ = Cii + Ci%. Соответственно, итоговая процентная ставка г = С'/С = ц + г₂ ²


2. Принцип сложных процентов (compound interest) предполагает, что проценты начисляются не только на основной капитал, но и на уже заработанные проценты. Поэтому в конце второго интервала

Гл. 1. Основы финансовой математики

     времени основной капитал С вырастет до величины
С + С" = С'-(1 + г₁)-(1 + г₂).
     Соответственно, итоговая процентная ставка г определяется из условия 1 + г = (1 + zi)(1 + г₂), т. е. г = Zi + z₂ + iii₂.
Принцип сложных процентов фактически означает, что инвестор может свободно распоряжаться своими средствами. Поэтому в актуарной математике принято использовать принцип сложных процентов при определении дохода от вложения средств.
   Процентные ставки, используемые в большинстве расчетов в актуарной математике, определяются, исходя из консервативных оценок доходности реальных будущих инвестиций страховщика. Они намного ниже реальных процентных ставок, предлагаемых рынком для различных видов инвестиционных проектов. Их значение заключается в том, чтобы как-нибудь учесть рост денег, внесенных в качестве платы за страховое покрытие. Поэтому их называют техническими процентными ставками. На самом деле страховая компания зарабатывает гораздо большие проценты; более того, это один из самых главных (если не самый главный) источник дохода страховщика.


   Накопления

   Выберем некоторый промежуток времени в качестве единичного (как правило, это будет один год) и предположим, что процентная

ставка за этот промежуток равна г. Допустим, что в момент to = О

сумма С инвестируется на


сложных про
центов влечет, что в момент to + t капитал С превратится в сумму C(t) = С • (1 + г)*. Величина A(t) = (1 + г)* называется коэффициен


том накопления за время t.


   Интенсивность процентов
   Интенсивность процентов (force of interest) <5 — это мгновенная относительная скорость накопления средств

ᵢₛ ,ᵢₘ
     At—>0                     (J (t)

= (In C(t))' = In(l-H).

Поскольку i = es — 1, коэффициент накопления за время t дается формулой
A(t) = est.
Интенсивность процентов удобно использовать для изучения накоплений в случае изменяющихся процентных ставок. В этом случае <5 = J(t) и
                                  {t        X
<5(u) du >.

                                   to

2. Приведенная ценность

7

   Номинальные процентные ставки
   Рассмотрим промежуток времени длиной 1 /р. Если в качестве единицы измерения принят один год, то наиболее интересными являются случаи: р = 12 (рассматриваемый промежуток времени равен одному месяцу), р = 4 (рассматриваемый промежуток времени равен одному кварталу), р = 2 (рассматриваемый промежуток времени равен полугодию) .
   Эффективная процентная ставка за этот промежуток времени есть
= (1 + i)¹/? _ 1 ₌ е»/р _ 1.

Однако в финансовой математике принято характеризовать доходность вложения средств на промежутке 1 /р не эффективной (т. е. реальной) процентной ставкой г*(р), а так называемой номинальной процентной ставкой (nominal rate of interest)
^(p) _ p . $(₽) _

Иногда величину называют номинальной процентной ставкой, выплачиваемой (начисляемой) с частотой р (nominal rate of interest payable (convertible) pt lily).


2. Приведенная ценность
   Предположим, что в момент t > 0 в будущем мы должны будем выплатить некоторую сумму С. Чтобы к моменту t иметь в точности требуемую сумму С, в настоящее время to = 0 нужно располагать суммой Р = С • (1 + i)⁻t, так как после инвестирования на время t сумма Р превратится в сумму Р(1 + г)* = С. Величина Р называется современной ценностью (present value) суммы С в момент t. Иногда употребляется термин современная стоимость, приведенная стоимость и т. д.
   Величину v = (1 + г)⁻¹ = e~s называют коэффициентом дисконтирования (учета) (discount factor). С ее помощью формулу для приведенной стоимости можно записать в виде
Р = Си*.


   Учетная ставка

   Предположим, что в момент to = 0 мы даем взаймы сумму С. Тогда

в момент t = 1 нам должны вернуть сумму С • (1 + г) вается из двух частей: возврата основного капитала капитал С = С • г.

которая склады-7 и процентов на

   Если сумму С • г, которая должна быть выплачена в момент t = 1, привести к моменту to = 0, то мы получим сумму С-г^Х+г)⁻¹. Поэтому если проценты на капитал могут быть выплачены заранее, в момент

Гл. 1. Основы финансовой математики

to = 0 получения займа, то эти проценты, выплачиваемые вперед, составляют d = i/(l + г) от суммы займа С. Величина d называется эффективной учетной ставкой (effective rate of discount) за единицу

времени.
   Учетная ставка d может быть выражена и через интенсивность процентов <5 и коэффициент дисконтирования v:

d = 1 — v = 1 — е s.

   Предположим теперь, что сумма (7 = 1 дается в долг на время 1 /р с заблаговременной выплатой процентов. Как мы видели, эффективная процентная ставка есть i*p>> = /р = (1 +  — 1. Именно эта сумма
должна быть выплачена в момент t = 1/р в виде процентов. Если ее привести к моменту to = 0, то она превратится всумму i*p^-(l+i)⁻¹/p = = 1 — (1 + Поскольку г = d/(l — d), для эффективной учетной ставки    за время 1 /р получим формулу
                      d⁽p} = 1 - (1 Однако в финансовой математике принято работать не с эффективными (т. е. реальными) учетными ставками за время 1/р, а с так называемыми номинальными (т. е. условными, не существующими реально) учетными ставками (nominal rate of discount)
d^ =p-d⁽p} =p(l-(l-d)¹/p).
Величину d^ называют номинальной учетной ставкой, начисляемой с частотой р (nominal rate of discount convertible pt lily).


3. Оценивание серии платежей.
   Детерминированные ренты
   Если мы хотим оценить серию выплат, которые должны быть сделаны в разные моменты времени, то все эти выплаты должны быть приведены к некоторому фиксированному моменту to = 0, после чего эти выплаты можно складывать, сравнивать и т. д.
   С точки зрения приложений к страхованию и пенсионным схемам наиболее важной является задача определения современной стоимости а серии из п выплат величиной bi, Ь%, ..., Ьп соответственно, которые будут сделаны в некоторые моменты ti, t2, .. ., tₙ в будущем. Величина а может рассматриваться, например, как сумма, которую человек должен внести в пенсионный фонд в момент заключения договора (этот момент обычно принимают за начальный) с тем, чтобы в будущем, в моменты ti, t2, ..., tₙ, получать пенсию величиной bi, b-i, ..., Ьп. Как следует из вышесказанного,
а = biv*¹ + b^v*² + ... + bₙvtⁿ.

3. Оценивание серии платежей. Детерминированные ренты

9

   Если плата за пенсии производится в виде нескольких платежей величиной Ci,.. ., Cj., сделанных в моменты т±, . .., т/., то справедливое соотношение между взносами с, и пенсионными выплатами bi находится из принципа эквивалентности обязательств:

civT¹ + ... + cₖvTk = biv*¹ + ... + bₙvtⁿ.

Левая часть этой формулы выражает современную ценность всех взносов в пенсионный фонд или страховую компанию, а правая — современную стоимость всех пенсионных выплат.
   Описанная выше общая модель детерминированной пенсионной схемы на практике обычно не применяется. Реально используются схемы, обладающие той или иной формой регулярности как по величине взносов и выплат, так и по моментам осуществления этих платежей. Особо важным является случай серии платежей фиксированной величины, которые производятся через равные промежутки времени фиксированное число раз. Такие серии платежей обычно называют постоянными рентами (level annuity). Часто, если нет опасности путаницы с терминами, слово «постоянные» опускают.

   Детерминированные постоянные ренты
   Рассмотрим п последовательных единичных промежутков времени (0,1),...,(п — 1,п). Под моментом to = 0 мы обычно будем подразумевать настоящий момент, а в качестве единичного промежутка времени будем рассматривать один год (этот выбор, конечно, условен, так что приводимые ниже формулы можно применять и в случае, если в качестве единичного промежутка времени выбрана одна неделя, один месяц, одни квартал и т. д.).
   Серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в конце этих промежутков, т. е. в моменты 1,2,... ,п, называется запаздывающей рентой (annuity payable in arrear или immediate annuity). Этот денежный поток изображен на рис. 1.1.

п — 1

Рис. 1.1

время

   Серия из п выплат, каждая величиной 1, сделанных в начале этих промежутков, т. е. в моменты 0, 1, 2, .. ., п — 1, называется упреждающей рентой (annuity payable in advance или annuity-due). Этот денежный поток изображен на рис. 1.2.