Лекции по функциональному анализу

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

А.И. Сухинов
И.П. Фирсов

Лекции

по функциональному анализу

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

1

УДК 51(075.8)
 ББК 22.162я73
         С 91

Рецензенты:

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

зав. кафедрой математического анализа ТГПИ Илюхин А. А.;

доктор физ.-мат. наук, профессор, 

зав. кафедрой физики ТТИ ЮФУ Куповых Г. В.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С 91

Сухинов А. И., Фирсов И. П.
Лекции по функциональному анализу: учеб. пособие / 
А. И. Сухинов, И. П. Фирсов. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 
2009. – 189 с.

ISBN 978-5-9275-0671-2
Пособие состоит из семи глав. В первой из них дается мера и 

интеграл Лебега на линейном множестве. Во второй излагаются основные 
понятия топологического пространства. В третьей рассматриваются 
свойства метрических пространств. В частности полнота и пополнение, 
принцип сжимающих отображений, компактность и предкомпактность. В 
четвертой главе рассматриваются свойства топологических линейных 
пространств, 
в 
частности 
нормированные 
и 
локально 
выпуклые 
пространства, 

гильбертовы пространства, ряды Фурье. В пятой и шестой главах 
рассматриваются пространства линейных операторов и функционалов, 
сопряженные пространства и операторы, спектр оператора. Последняя 
глава посвящена пространствам с мерой.

Пособие содержит многочисленные примеры.
Предназначено 
для 
студентов 
второго 
курса 
ТТИ 
ЮФУ 

специальности 010500 «Прикладная математика и информатика» и 
студентов других специальностей, у которых программой предусмотрен 
этот курс.

ISBN 978-5-9275-0671-2
УДК 51(075.8)
ББК 22.162я73

© ТТИ ЮФУ, 2009

    © А.И. Сухинов, И.П. Фирсов, 2009

© Южный федеральный

        университет, 2009

2

СОДЕРЖАНИЕ

I. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ. МЕРА И 
ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА..................................................................................5

1. Отношение. Отношение эквивалентности..................................5
2. Отображение ..................................................................................8
3. Упорядоченные множества ........................................................10
4. Строение линейного множества.................................................13
5. Мера Лебега линейного множества...........................................14
6. Свойства меры Лебега. Критерий измеримости ......................19
7. Измеримые функции. Свойства измеримых функций ............24
8. Понятие интеграла Лебега. Основные свойства ......................26

II. ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА.........................................32

1. Понятие топологического пространства. Примеры.................32
2. Окрестность и замыкание в топологическом
    пространстве. Топология подпространства..............................35
3. База топологии. Аксиомы счётности.........................................39
4. Предел последовательности в топологическом пространстве.

Аксиомы отделимости.................................................................42

5. Непрерывные отображения. Гомеоморфизм топологических

пространств...................................................................................46

6. Компактность в топологических пространствах......................49

III. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ................................................53

1. Замечательные неравенства........................................................53
2. Примеры метрических пространств ..........................................56
3. Открытый шар. Топология метрического пространства.
    Метризуемость.............................................................................60
4. Полнота метрического пространства. Примеры ......................65
5. Теорема о вложенных шарах......................................................72
6. Теорема Бэра о категориях .........................................................76
7. Принцип сжимающих отображений и его приложения..........79
8. Пополнение метрических пространств .....................................86
9. Компактность в метрических пространствах...........................91
10. Предкомпактность в метрических пространствах.
     Теоремы Хаусдорфа и Арцела ..................................................96

IV. ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА..............100

1. Понятие топологического векторного пространства.............100
2. Нормированные и топологические нормированные
    пространства...............................................................................103

3

3. Полунормы и локально выпуклые топологические
    пространства...............................................................................106
4. Пространства со скалярным произведением. Гильбертово

пространство...............................................................................110

5. Задача о наилучшем приближении. Ортогональное

дополнение..................................................................................116

6. Ряды Фурье в гильбертовом пространстве.............................120

V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ..............................................................124

1. Примеры линейных операторов. Ограниченность и 

 непрерывность оператора.........................................................124

2. Пространство линейных ограниченных операторов. Норма
    оператора ....................................................................................129
3. Равномерная и сильная сходимости операторов. Ряды
    операторов ..................................................................................133
4. Обратимость линейного оператора .........................................136
5. Основные теоремы функционального анализа ......................138

VI. СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ОПЕРАТОРЫ...............142

1. Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха....................142
2. Примеры сопряжённых пространств. Теорема Рисса............146
3. Сильная и слабая сходимости. Рефлексивность ....................149
4. Обобщённые функции...............................................................152
5. Сопряжённые и самосопряжённые операторы.......................156
6. Компактные операторы.............................................................160
7. Разрешимость уравнения 

A
J x
y



. Понятие спектра

 и резольвенты линейного оператора .......................................163

8. Свойства резольвенты и спектра..............................................168

VII. ПРОСТРАНСТВА С МЕРОЙ ........................................................170

1. Мера в абстрактных множествах.............................................170
2. Пространства с мерой. Сходимость почти всюду и по мере 173
3. Интеграл Лебега в 
n
R ................................................................176

4. Пространства S  и 
p
L ................................................................179

5. Ряды Фурье в 
2
L .........................................................................182

БИБЛИОГАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .....................................................185

4

ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ 
МНОЖЕСТВ. МЕРА И ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА

§1. Отношение. Отношение эквивалентности

Напомним, что прямым (декартовым) произведением
X
Y


множеств X  и Y  называется множество упорядоченных пар 
( , ),
,
.
x y
x
X
y
Y


 Первый элемент 
x  упорядоченной пары 

называют первой проекцией (координатой), а второй элемент y –
второй проекцией (координатой).

Определение 1. Всякое подмножество прямого произведения 

X
Y

 называют бинарным отношением (или просто отношением), 

заданным в множествах X и Y  или в множестве X , если X
Y

. 

Всякое 
подмножество 
прямого 
произведения 
1
2
n
X
X
X



K

называют n-арным отношением.

Если   есть некоторое отношение, то выражения ( , )
x y


 и 

x y
   эквивалентны и означают, что x  находится в отношении   y.

Для наиболее распространенных отношений введены специальные 
обозначения. Например, для отношений равенства, принадлежности, 
меньше, больше, эквивалентности приняты следующие обозначения: 
=, ϵ, <, >, ~.

Пример 1. Множество 

(2,4),(7,3),(3,3),(2,1)


– бинарное 

отношение, заданное в множестве натуральных чисел N , так как 
является подмножеством декартового произведения N×N. Не 
выражая 
никакого 
конкретного 
свойства 
множества 
N, 
оно 

естественно и не имеет специального обозначения. 

Пример 2.


( ,
): ,
n n m
n m
Z
 


– бинарное отношение. Оно 

означает, что упорядоченная пара 



,
,
x y
n n m




тогда и 

только тогда, когда найдётся целое m такое, что y
n m


, то есть 

вторая координата будет делиться на первую. Это отношение 
называется отношением делимости в множестве целых чисел и имеет 
специальное обозначение, пишут y x
 .

Пример 3. Вычитание в множестве Z – пример тернарного 

отношения. Здесь упорядоченной паре 

,a b  целых чисел ставится в 

соответствие третье целое число c
a
b

 . Таким образом, мы имеем 

множество упорядоченных троек









,
, ):
,
, ,
, ,
:
,
, ,
a b
c
c
a
b a b c
Z
a b c
c
a
b a b c
Z
 







.

5

Пример 4. 





2
2

1
,
:
1,
,
x y
x
y
x y
R
 



– 
бинарное 

отношение во множестве действительных чисел R. Оно определяет 
множество точек замкнутого круга единичного радиуса.

Пример 5.


2
( , ):
3 ,
,
x y
y
x x y
R
 


– бинарное отношение, 

это множество точек прямой 
3
y
x

.

Определение 2. Множество первых координат отношения 

называют 
областью 
определения
oтношения 
и 
обозначают  





:
,
,
,
D
x x
X
y
Y
x y




 

, а множество вторых координат 

называют oбластью значений отношения ρ и обозначают 





:
,
,
,
R
Ran
y y
Y
x
X
x y






 

.

Например, в примере 1 




2,3,7 ,
1,3.4
D
R




; в примере 4 



1
1
1,1
D
R



 
; в примере 5  

2
2
D
R
R




.

Если отношение задано в R, то вводят понятие графика 

отношения. Например, графиком отношения в примере 1 являются 
четыре точки плоскости. Графиком отношения в примерах 4 и 5 
являются круг и прямая  
3
y
x

 соответственно.

Отношение 

 




1
,
:
,
y x
x y
Y
X


 



 
называют 

обратным для отношения  . Например, 


 
 
 








1
1
2
2

1
4,2 , 3,7 , 3,3 , 1,2
,
,
:
1
y x
x
y








, 






1

2
,
:
3
y x
y
x
  

– обратные отношения примеров 1, 4 и 5 

соответственно.

Произведением (композицией) отношений 
1
X
Z
 

 
и 

2
Z
Y
 

называют отношение  









2
1
1
2
,
:
,
,
,
,
.
x y
z
Z
x z
z y
X
Y







 




o

Пример 6. Найти композицию 
2
1


o
 отношений в примерах 4 

и 3.

Решение. В данном случае X
Y
Z
R



. Для 


1,1
x
  

существует пара 

1
,x z


, то есть 
2
2
1
x
z

 , и пара 

2
,z y


, то 

есть 
3 .
y
z

 Отсюда следует, что пара 

2
1
,x y



o
удовлетворяет 

неравенству  

2

2
1
3
y
x









, то есть композиция 
2
1

 
o
 это

6

множество точек, расположенных внутри и на эллипсе 

2

2
1
3
y
x









.

Упражнение. Убедиться, что 
1
2


o
– это множество точек, 

расположенных  внутри и на эллипсе  

2

2
1.
3
x
y

 






Определение 3. Отношение  , заданное в множестве X , 

называется рефлексивным, если 

,x x
x
D


 
; симметричным, 

если из 

,x y


 следует 

,
,
y x


то есть  
1

 

; транзитивным, 

если из 

,x y


 и 

,y z


 следует 

,
.
x z



Например, отношение равенства в R
x y
x
y



 является 

рефлексивным (так как x
x

), симметричным (так как из x
y


следует y
x

) и транзитивным (так как из x
y

 и y
z

следует 

x
z

). Отношение в примере 1 не является ни рефлексивным, ни 

симметричным, но транзитивным.

Определение 4. Рефлексивное, симметричное и транзитивное 

отношение
,
X
X
D
X

 


называется 
отношением 

эквивалентности 
на 
множестве 
X .
Пишут 
.
x y
x
y


:

Подмножество A
X

 называется классом эквивалентности, если 

оно состоит из всех эквивалентных между собой элементов.

Например, отношение равенства в системе множеств является 

примером отношения эквивалентности. Действительно, A
A

– это 

рефлексивность; если A
B

, то и B
A

– это симметричность; если 

A
B

, а B
C

, то A
C

– транзитивность. Приведем еще один 

пример.

Пример 7.
Зададим 
отношение 
  
в 
R 
равенством 





,
:
,
x y
x
y
Z
Z
 


– множество целых чисел. Проверим, что 

это отношение является отношением эквивалентности. Очевидно, 

0
x
x
Z



– это рефлексивность. Если x
y
Z


, то и y
x
Z


–

это 
симметрия. 
Транзитивность 
следует 
из 
равенства 


 
.
x
z
x
y
y
z





 Класс эквивалентности в этом случае состоит 

7

из всех действительных чисел, имеющих одинаковую дробную часть. 

Например, 5,17∼0,17.

Теорема. Отношение 
эквивалентности 
на 
множестве 
X

разбивает 
это 
множество 
на 
непересекающиеся 
классы 

эквивалентности.

Доказательство. Пусть x – произвольный элемент множества 

,
X
A
X

 некоторое множество элементов, эквивалентных 

элементу x . Тогда по свойству рефлексивности x
A

. Итак, любой 

элемент x  попадает в некоторый класс эквивалентности, то есть 
происходит разбиение множества X  на классы эквивалентности. 
Докажем теперь, что эти классы эквивалентности не пересекаются. 
От противного. Пусть пересечение классов эквивалентности A и B
не пусто, A
B

  , то есть существует 
.
z
A
B



Тогда 





и
,
,
и
,
.
x
A
y
B
x z
z y


 
 


 (по транзитивности),

что 



,
,
,
x y
x
y


:
  то есть классы A и B совпадают. Получили 

противоречие, которое и доказывает теорему.

Справедливо 
и 
обратное 
утверждение. 
Если 
некоторое 

множество X разбито на классы подмножеств 
,
X
A
  
, так что

выполняются условия: 

1) X
X



 , если 


,

2) 
 
*
,
X
X





U
 то отношение, определяемое 
 
* , есть 

отношение эквивалентности.

§2. Отображение

Определение 1. Бинарное отношение 
X
Y
 

 называется 

функциональным по y , если  


!
:
,
.
x
D
X
y
Y
x y


 





Функциональное отношение называют также отображением X в Y , 
функцией, заданной на Х, значение которой содержатся в Y .

Из определения следует, что утверждение «отношение 

функционально по у » эквивалентно следующим двум требованиям: 

1) D
X
 
; 

8

2) из 

1
,x y


 и 

2
,x y


  следует 
1
2.
y
y


Для функционального отношения существуют специальные 

обозначения: 


 
;
,
,
:
;
,
.

f

x f y
x y
f
f
X
Y
X
Y
y
f x





Пример 1. Бинарное отношение

 
 



1,2 , 2,3 ,
,
Иван Марья
 
 функция с областью определения 



1,2,
f
D
Иван

 и областью значений 


2,3,
.
f
R
Марья


А бинарное отношение


 
 



1
1,2 , 1,3 ,
,
Иван Марья
 

не является функцией, так как не выполняется единственность 
отображения.

Пример 2. Бинарное отношение в примере 5 предыдущего 

параграфа – функция, а в примере 4 – не функция по двум причинам: 

1) 
f
D
X

, 

2)


1,1
x
  
существует целый отрезок 
2
2
1
,
1
x
x










такой, что 

1
,x y


 (неоднозначность).

Пусть задано отображение
:
f
X
Y

 и пусть 
.

A
X

Множество 
 
 


:
,
f
A
y y
f x
Y x
A
B





 
называется 

образом множества A при отображении f . Для множества B
Y


множество 
 
 



1
:
,
f
B
x x
X
f x
B




 называется прообразом 

множества A при отображении f .

Отображение 
:
f
X
Y

 называется сюръективным, если 



.
f X
Y

 Сюръективное отображение называют отображением X

на Y , а не сюръективное – отображением X  в Y . 

Отображение называется инъективным, если каждому образу 

соответствует единственный прообраз, то есть из 
 


1
2
f x
f x


следует  
1
2.
x
x


Сюръективное и инъективное отображение называют биекцией, 

то есть это взаимно-однозначное отображение X на Y .

Если отношение  
X
Y
 

 является биективным отображением 

:
f
X
Y

, 
то 
обратное 
отношение 
1
Y
X
  

 
будет 

9

функциональным по , то есть для 
y
Y
 
 существует единственный 

x
X

 такой, что 
 
.
f x
y

 Отношение 
1
   определяет обратное 

отображение 
1 :
.
f
Y
X



Следует различать прообраз 
 

1
f
B

, определяемый для любого 

отображения, и обратное отображение 
1 :
,
f
Y
X


 существующее 

только для биективного отображения.

Определение 2. Множество Х называется конечным, если для 

некоторого 
фиксированного 
n
N

 
существует 
биекция 



:
1,2 ,...,
f
X
n

. В противном случае оно бесконечно.

Напомним, что множество X  называется счётным, если 

существует биекция  
:
f
X
N

.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 2. Объединение конечного или счётного множества 

счётных множеств является множеством счётным, а множество 

P X

всех 
подмножеств 
счётного 
множества 
X
несчётно 
(без 

доказательства).

Следствие. Прямое произведение счётных множеств X  и Y

счётное.

§3. Упорядоченные множества

Определение 1. Отношение 
X
X
 

 
называется 

антисимметричным, если из  



,
,
x y
и
y x




  следует  x
y

.

Примером антисимметричного отношения является отношение 

включения для множеств. Действительно, если А
В

 и В
А

, то 

А
В

.
Определение 2. Рефлексивное, 
антисимметричное 
и 

транзитивное отношение 
X
X
 

 называется отношением порядка 

на X .

Для отношения порядка вводится специальный знак  (или p , 

читается «предшествует»). Поэтому, если   отношение порядка, то 
вместо  x y
  пишут  x
y

 или  x
y
p
. 

10