Тензорное исчисление

Акивис М.А.
Гольдберг В.В.






                Тензорное исчисление











МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 512.972
ББК 517.2
     А39


    Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление: Учеб. пособие. — 3-е изд., перераб. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 304 с. — ISBN 5-9221-0424-1.
    Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике, физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформации и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа.
    Второе издание — 1972 г.
    Для студентов высших технических учебных заведений.
    Табл. 6. Ил. 25. Библиогр. 23 назв.































ISBN 5-9221-0424-1

                                        © ФИЗМАТЛИТ, 2003
© М. А. Акивис, В. В. Гольдберг, 2003

ОГЛАВЛЕНИЕ



Предисловие к третьему изданию.............................. 5

Предисловие к первому изданию............................... 7

ГЛАВА I. ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Понятие линейного пространства......................... 9
§ 2. Линейная зависимость векторов......................... 12
§ 3. Размерность и базис линейного пространства............ 15
§ 4. Прямоугольный базис в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов......................................... 19
§ 5. Векторное и смешанное произведения векторов........... 24
§ 6. Преобразования ортонормированного базиса. Основная задача тензорного исчисления......................................... 30
§ 7. Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве . . 38

ГЛАВА II. ПОЛИЛИНЕЙНЫЕ ФОРМЫ И ТЕНЗОРЫ
§ 1. Линейные формы ....................................... 46
§ 2. Билинейные формы...................................... 48
§ 3. Полилинейные формы. Общее определение тензора......... 52
§ 4. Алгебраические операции над тензорами ................ 58
§ 5. Симметричные и кососимметричные тензоры............... 63

ГЛАВА III. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ВЕКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА И ТЕНЗОРЫ ВАЛЕНТНОСТИ 2
§ 1. Линейные преобразования............................... 73
§ 2. Матрица линейного преобразования...................... 77
§ 3. Определитель матрицы линейного преобразования. Ранг матрицы 83
§ 4. Линейные преобразования и билинейные формы............ 87
§ 5. Умножение линейных преобразований и умножение матриц ...     95
§ 6. Обратное линейное преобразование и обратная матрица..        103
§ 7. Группа линейных преобразований и ее подгруппы........ 107

ГЛАВА IV. ПРИВЕДЕНИЕ К ПРОСТЕЙШЕМУ ВИДУ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Собственные векторы и собственные значения линейного преобразования ................................................ 115
§ 2. Приведение к простейшему виду матрицы линейного преобразования в случае различных собственных значений ............ 124

Оглавление

§ 3. Многочлены от матриц и теорема Гамильтона-Кэли............... 129
§ 4. Свойства собственных векторов и собственных значений симметричного линейного преобразования......................... 132
§ 5. Приведение к диагональному виду матрицы симметричного линейного преобразования................................... 135
§ 6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду..   142
§ 7. Представление невырожденного линейного преобразования в виде произведения симметричного и ортогонального преобразований . 146

ГЛАВА V. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Общее уравнение поверхности второго порядка. Его инварианты 152
§ 2. Приведение к простейшему виду общего уравнения поверхности второго порядка........................................ 155
§ 3. Определение типа поверхности второго порядка при помощи инвариантов ................................................. 159
§ 4. Классификация поверхностей второго порядка.............. 163
§ 5. Приложение теории инвариантов к классификации поверхностей
    второго порядка.......................................... 167
§ 6. Центральные и нецентральные поверхности второго порядка . . . 171
§ 7. Примеры................................................. 173

ГЛАВА VI. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕНЗОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
       К НЕКОТОРЫМ ВОПРОСАМ МЕХАНИКИ И ФИЗИКИ
§ 1. Тензор инерции .............................................. 182
§ 2. Некоторые свойства кристаллов, связанные с тензорами валентности 2.................................................. 189
§ 3. Тензоры напряжений и деформации.............................. 199
§ 4. Дальнейшие свойства кристаллов............................... 210

ГЛАВА VII. ОСНОВЫ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА
§ 1. Тензорное поле и его дифференцирование....................... 222
§ 2. Механика деформируемой среды................................. 235
§ 3. Ортогональные криволинейные системы координат................ 242
§ 4. Подвижный репер ортогональной криволинейной системы координат и тензорные поля..................................... 250
§ 5. Дифференцирование тензорного поля в криволинейных координатах ..................................................... 259

Ответы и указания к решению задач и упражнений.................... 271

Список литературы................................................. 294

Предметный указатель.............................................. 296

ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ


   Первое издание этой книги было опубликовано издательством “Наука” в 1969 году в серии “Избранные главы высшей математики для инженеров и студентов втузов” тиражом 40000 экземпляров. Так как весь тираж книги был распродан очень быстро, в 1972 году “Наука” опубликовала второе издание книги тиражом 35000 экземпляров. Этот тираж был тоже быстро распродан.
   С тех пор в России эта книга не переиздавалась и сохранилась лишь в библиотеках любителей математики, хотя потребность в такого рода издании имеется как в России, так и за ее рубежами.
   Книга содержит основы тензорного исчисления и начала тензорного анализа с многочисленными приложениями. Она адресована инженерам, студентам втузов и всем, кто хочет изучить тензоры. Главная особенность книги заключается в том, что основные понятия линейной алгебры и тензорного исчисления и анализа рассматриваются в

трехмерном евклидовом пространстве и в ортогональных координатах, т. е. в книге рассматриваются только трехмерные ортогональные тензоры. Как показывает практика, этого вполне достаточно для знакомства с тензорным исчислением и изучения его приложений к различным вопросам геометрии и физики. Эта форма изложения полезна, потому что именно и такой форме тензоры используются во многих инженерных и научных приложениях.
   В книге рассматриваются приложения тензорного исчисления к теории кривых и поверхностей второго порядка, а также тензор и эллипсоид инерции, связанные с движением твердых тел. Изучаются некоторые тензоры, описывающие свойства анизотропных кристаллов, тензоры теплопроводности и электрического сопротивления, тензоры, описывающие свойства диэлектриков и т.д. Особенно детально изучаются темзоры напряжений и деформации сплошной среды.
   Эта книга использовалась и используется как учебник тензорного исчисления для студентов втузов в России и бывших республиках СССР. Она стала справочником и настольной книгой для многих инженеров и исследователей в прикладных науках. На нее ссылаются в своих статьях многие, кто использует тензоры.
   В 1972 году первые четыре главы книги были переведены на английский язык Р. А. Силверманом и изданы издательством Prentice Hall,

Предисловие к третьему изданию

Inc. под названием “Введение в линейную алгебру”. В 1977 году другое известное американское издательство Dover Publications, Inc. начало издавать (и издает до сих пор) этот перевод в мягком переплете под названием “Введение в линейную алгебру и тензоры”. Эти английские издания используются в западных университетах как основной или как дополнительный учебник по линейной алгебре и тензорам. На него также имеются многочисленные ссылки в научных и прикладных статьях. Очень хорошая рецензия на английский перевод (автор В. N. Moyls) была опубликована в журнале Linear and Multilinear Algebra, (1974, том 2, с. 293, 294).
   Мы очень рады, что издательство “ФИЗМАТЛИТ” решило переиздать нашу книгу, и надеемся, что она окажется полезной для нового поколения инженеров, студентов втузов и всех, кто хочет ознакомиться с основами тензорного исчисления и началами тензорного анализа.
   При подготовке третьего издания в книгу было внесено много редакционных поправок и уточнений, проверены ответы и указания ко всем задачам, прилагаемым в книге для самостоятельного решения, и исправлены опечатки, обнаруженные в предыдущем издании.

М. А. Акивис (Psagot, Israel)
В. В. Гольдберг (Livingston, New Jersey, USA)

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

   Среди читаемых во втузах специальных глав высшей математики в последнее время выделился курс тензорного исчисления, который необходим для изложения основ механики сплошных сред, кристаллографии, некоторых разделов теоретической физики, физики полупроводников и многих других разделов теоретических и технических дисциплин, изучаемых во втузах.
   Несмотря на наличие большого числа книг по тензорному исчислению (см. например книги [11-16] в списке рекомендуемой литературы), студенты и аспиранты высших технических учебных заведений, так же, как и инженеры, работающие в промышленности, которым необходимы первоначальные сведения по тензорному исчислению, затрудняются в подборе руководства по этому разделу математики. Это объясняется тем, что некоторые из имеющихся руководств рассчитаны на достаточно подготовленного читателя и предполагают знакомство с основами линейной алгебры. Изложение же тензорного исчисления в других книгах оказывается сложным именно из-за отсутствия его связи с линейной алгеброй.
   В предлагаемой книге при изложении тензорного исчисления подчеркивается его связь с линейной алгеброй. Необходимые понятия и предложения линейной алгебры вводятся и доказываются в связи с построением аппарата тензорного исчисления и не предполагаются заранее известными читателю.
   Для простоты и наглядности все изложение ведется в трехмерном пространстве. При этом используются только ортогональные системы координат. Все введенные в книге понятия и полученные результаты иллюстрируются большим числом разобранных примеров. Каждый параграф снабжен упражнениями, назначение которых — подкрепить и углубить излагаемый материал.
   В книге рассматриваются приложения тензорного исчисления к некоторым вопросам геометрии, механики и физики. Здесь строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформации и некоторые вопросы кристаллофизики.
   Изложены также основы тензорного анализа, который строится сначала в прямоугольных декартовых, а затем — в криволинейных

Предисловие к первому изданию

ортогональных системах координат. При этом использован метод подвижного репера, который, как нам кажется, дает возможность наиболее просто ввести абсолютное дифференцирование тензоров и ковариантные производные.
   Мы не рассматриваем здесь такие важные вопросы, как приложение тензорного исчисления к дифференциальной геометрии, специальной и общей теории относительности, аналитической механике и т. д. Это связано с тем, что изложение таких вопросов потребовало бы от нас построения тензорного исчисления в многомерном пространстве и введения косоугольных систем координат. А мы сознательно избегаем этого. Однако после знакомства с настоящей книгой читатель без труда сумеет разобраться в литературе, посвященной этим приложениям тензорного исчисления, а также в любой другой литературе, использующей аппарат тензорного исчисления.
   Содержание книги несколько выходит за рамки программ, по которым в большинстве технических вузов изучается тензорное исчисление. Но в соответствии с конкретной программой вуза всегда можно выбрать те главы и параграфы, изучение которых будет необходимо.
   При изложении материала авторы исходили из того, что читатель знаком только с обычным курсом высшей математики, читаемым во втузах.
   В конце книги приводится список литературы, на которую мы ссылаемся в тексте, а также литературы, рекомендуемой для более глубокого изучения отдельных вопросов.
   Мы выражаем искреннюю признательность В. В. Лохину, Л. 3. Рум-шискому, М. П. Шаскольской, внимательно прочитавшим рукопись и сделавшим ряд полезных замечаний, а также Л. В. Гольдштейн и Л. Г. Пикулевой за большую помощь при подготовке рукописи к печати.

ГЛАВА I


ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО







§ 1. Понятие линейного пространства

   В курсе аналитической геометрии читатель уже встречался с понятием свободного вектора — направленного отрезка, который можно переносить в пространстве параллельно его первоначальному положению. Обычно такие векторы обозначают жирными буквами латинского алфавита: а, Ь,..., х, у,... Для простоты можно считать, что все эти векторы имеют общую начальную точку, которую мы обозначим буквой О и назовем началом координат.
   В аналитической геометрии для векторов были определены две операции:
   а) сложение векторов х и у, обозначаемое х + у;
   б)    умножение вектора х на действительное число А, обозначаемое Аж.
   Совокупность всех векторов пространства является замкнутой относительно этих двух операций в том смысле, что при умножении вектора на число снова получается некоторый вектор и при сложении двух векторов — некоторый третий вектор из этой же совокупности.
   Сложение векторов и умножение вектора на число обладают следующими свойствами.
   1. ж + у = у + ж.
   2. (ж + у) + z = ж + (у + z).
   3. Существует нулевой вектор 0 такой, что ж + 0 = ж.
   4.    Для каждого вектора ж существует противоположный вектор у = —ж такой, что ж + у = 0.
   5. 1 • ж = ж.
   6. А(уж) = (Ау)ж.
   7. (А + у)ж = Аж + ух.
   8. А(ж + у) = Аж + Ау.
   Однако не только для совокупности векторов пространства могут быть определены операции сложения и умножения на действительное число, обладающие указанными выше свойствами. Как мы увидим далее, существуют и другие множества элементов, на которых определены аналогичные операции. Такие множества называются линейными (или векторными) пространствами. Будем обозначать их буквой L. Элементы таких пространств будем также называть векторами.
   Рассмотрим несколько примеров.

Гл. I. Линейное пространство

   а)    Совокупность векторов, лежащих на одной прямой, образует линейное пространство, так как сложение и умножение таких векторов

на действительное число приводит нас снова к векторам, лежащим на этой прямой, и свойства 1-8 легко проверяются. Обозначим такое ли

нейное пространство через L±. (Смысл нижних индексов выяснится в §3.)
   б)   Совокупность векторов, лежащих в одной плоскости, также ока

зывается замкнутой по отношению к сложению и умножению на

действительное число; свойства 1-8 для них выполняются, и поэтому эта совокупность образует линейное пространство, которое мы обозначим через Ь₂.
   в)    Совокупность всех векторов пространства также является линейным пространством. Обозначим его через L%.
   г)   Совокупность векторов, лежащих в плоскости XOY, начала ко

торых совпадают с началом координат, а концы лежат в первом квадранте, не образует линейного пространства, так как оказывается незамкнутой относительно умножения на число: при А < 0 вектор Аж не принадлежит первому квадранту.
   д)    Рассмотрим множество, элементом которого является упорядоченная совокупность п действительных чисел: ж = {жх, х₂, •••, хп}. Определим сложение элементов ж и у = {у±,у₂, ...,уп} и умножение элемента ж на действительное число А с помощью равенств

X + у = {жх + У1, Х₂ + У2, хп + у„},

Аж = {Ажх, A.t‘2-Ажп}.

Такое множество элементов образует линейное пространство, так как

определенные в нем операции сложения и умножения на число облада

ют, как легко видеть, всеми восемью указанными выше свойствами этих операций. Например, нулевым вектором в этом пространстве будет вектор 0 = {0,0, ...,0}, а вектором —ж — вектор {—Жх, — х₂,... ...,— хп}. Будем обозначать это пространство через Lₙ.
   е)    Совокупность всех многочленов P(i) = ад + a±t + ... + aₙtⁿ степени не выше п, для которых обычным образом определены сложение

и умножение на действительное число, как легко проверить, также образует линейное пространство.
   ж)     Множество непрерывных на отрезке [а, 6] функций ip(t) также образует линейное пространство, если для этих функций естественным образом определить операции сложения и умножения на число. Это пространство мы будем обозначать С[а, Ь].


   ЗАДАЧИ И УПРАЖНЕНИЯ

   1. Выяснить, образует ли линейное пространство:
   а)   совокупность всех векторов, выходящих из начала координат пространства Ь₂ (см. пример б)), за исключением векторов, параллельных некоторой заданной прямой;