Контактные задачи теории упругости для неоднородных тел

Айзикович С.М.

Александров В.М.

Белоконь А.В.

Кренев Л.И. и др.

Контактные задачи
теории упругости
для неоднородных

сред

МОСКВА

ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 539.3
ББК 22.251
А 37

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 05-01-14058д

Контактные
задачи
теории
упругости
для
неоднородных
сред
/
С. М.
Айзикович,
В. М.
Александров,
А. В.
Белоконь,
Л. И.
Кренев,
И. С. Трубчик. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. — 240 с. — ISBN 5-9221-0661-9.

Монография посвящена разработке и обоснованию новых эффективных
математических методов решения статических контактных задач теории упругости для неоднородных сред.
Результаты, полученные в работе, дают возможность делать расчеты
и
определять
параметры
контактного
взаимодействия
функциональноградиентных материалов и могут быть использованы как в непосредственных
инженерных расчетах, так и при оценке эффективности прямых численных
методов.
Для научных и инженерно-технических работников, специалистов в области машиностроения, приборостроения и других отраслей современной техники, а также для преподавателей, аспирантов и студентов вузов, специализирующихся в области механики деформируемого твердого тела.

ISBN 5-9221-0661-9

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2006

c⃝ С. М. Айзикович, В. М. Александров,
А. В. Белоконь, Л. И. Кренев,
И. С. Трубчик, 2006

Научное издание

АЙЗИКОВИЧ Сергей Михайлович
АЛЕКСАНДРОВ Виктор Михайлович
БЕЛОКОНЬ Александр Владимирович
КРЕНЕВ Леонид Иванович
ТРУБЧИК Ирина Степановна

КОНТАКТНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ СРЕД

Редактор Н.Б. Бартошевич-Жагель
Оригинал-макет: И.В. Шутов

Подписано в печать 12.12.05. Формат 6090/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 15. Уч.-изд. л. 18,2. Тираж 400 экз.
Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, г. Москва, Шубинский пер., 6

Введение

Контактные задачи являются центральными в механике деформируемого твердого тела, так как контакт — это основной метод приложения нагрузок к деформируемому телу, кроме того, концентрация
напряжений в зоне контакта часто инициирует разрушение материала. Аналитические решения могут быть получены только для очень
ограниченного класса контактных задач, поэтому важно развивать
численные и численно-аналитические методы их решения.
Особое значение в настоящее время имеют контактные задачи
для неоднородных сред, так как непрерывное изменение механических
свойств по одной из координат характерно для многих тел, что связано
с условиями их создания и эксплуатации.
Расширение температурных диапазонов работы тяжело нагруженных контактов поставило проблемы, связанные с расслаиванием многослойных покрытий, возникновением в них температурных напряжений
при изменении рабочей температуры в зоне сопряжений двух различных материалов (как правило, материалы, имеющие разные значения
упругих модулей, имеют и разные коэффициенты теплового расширения).
Преимущества, связанные с увеличением срока эксплуатации изделий, стимулируют процесс создания функционально-градиентных покрытий и функционально-градиентных соединений, несмотря на все
возрастающую сложность технологии получения таких материалов.
Сегодня интерес к решению задач контактного взаимодействия для
неоднородных материалов поддерживает высокая стоимость и длительность испытаний на износ, а также необходимость осмысления
результатов этих испытаний.
Развитие трибологии [103] способствовало расширению теоретических исследований, которые существенно обогатили область неклассических контактных задач теории упругости и теоретические основы
трибологии. Контактные задачи для тел с покрытиями относятся к одним из основных задач трибологии. Подложка может быть как деформируемой, так и недеформируемой. Покрытия для реальных материалов — достаточно сложные структуры, неоднородные по толщине [143],
обладающие пористостью, различными свойствами на поверхности
и в зоне, примыкающей к подложке.
Упругие характеристики реальных покрытий могут отличаться в
3–6 раз от упругих свойств подложки. Толщина большинства покрытий изменяется в диапазоне от 5–10 нм до нескольких миллиметров.

Введение

В настоящее время наибольшее прикладное значение имеют покрытия
с толщиной меньше одного микрона.
При построении общей теории упругости неоднородного тела возникает необходимость решать все те же задачи, что и для теории
упругости однородных материалов, но появляются и новые достаточно
сложные задачи. В частности, появляется задача определения значений
модуля упругости внутри неоднородного тела. Даже в частных случаях
однородных тонких покрытий, не говоря уже о покрытиях, свойства
которых изменяются по глубине, это сложная задача.
Тела с покрытиями — широко распространенный класс современных
материалов. Синтез современных покрытий направлен на создание все
более тонких покрытий сложной структуры (функционально-градиентных или многослойных). В большинстве практически важных случаев
свойства покрытий материалов изменяются по одной координате, ортогональной к образующей поверхности подложки, на которую наносится
покрытие, или просто упрочняется приповерхностный слой основного
материала. Развитые ранее классические математические модели однородных материалов эти случаи не охватывают, так как при наличии
значительного градиента упругих свойств наблюдаются не только количественные, но и качественные различия в поведении материалов
с покрытиями. Например, увеличение износостойкости при удачной
конструкции материалов, термостойкость. Но появляются и эффекты
расслаивания, выкрашивания и т. д. Проблема изучения износостойкости покрытий особенно актуальна. На экспериментальное определение
износостойкости покрытий расходуются миллиарды долларов и годы
человеко-часов, но при реальном рассмотрении эксперименты носят
чисто эмпирический характер, так как для покрытия тоньше 2–3
микрон определить достаточно точно упругие свойства и, тем более,
измерить их изменения по глубине без предварительного построения
достаточно точной математической модели контактного взаимодействия
практически невозможно.
Еще одна особенность неоднородных материалов — наличие дополнительных источников концентрации напряжений. В однородных
телах концентрация напряжений возникает в местах резких изменений
геометрии тела и нагрузки. В неоднородных материалах возникает
дополнительная концентрация напряжений в местах резкого изменения
физико-механических характеристик материала (модуля упругости, коэффициента Пуассона и др.), т. е. по поверхностям сопряжения однородных элементов.
Разрушение неоднородных материалов определяется совместным
действием температурных напряжений и напряжений от внешней нагрузки, причем чаще всего разрушение начинается в местах концентрации напряжений. В связи с этим при создании новых материалов
следует учитывать концентрацию напряжений и от физико-механической неоднородности на поверхности контакта однородных элементов.

Введение
5

При расчетах на износостойкость реальных материалов необходимо
учитывать, что вследствие механических, экологических, температурных и других воздействий неизбежно происходит перераспределение
механических свойств материала в приповерхностных слоях.
Известно, что решения смешанных задач математической теории
упругости для слоистых и непрерывно-неоднородных сред представляют необходимую основу для решения соответствующих задач термоупругости, вязкоупругости, теории консолидации [1, 2, 48, 130], теории
разрушения и износостойкости неоднородных сред, а методы, применяемые для их исследования, являются общими для целого класса задач
математической физики.
Первые работы в области контактных задач теории упругости неоднородных тел, опубликованные в середине 50-х годов прошлого века,
были связаны с расчетом фундаментов и оснований в строительстве,
необходимостью расчета покрытий дорожных одежд [136, 137], а также
касались задач расчета плит на многослойных или непрерывно-неоднородных основаниях [63, 80, 81, 92, 93, 125, 126, 132].
Позднее, в конце 80-х годов, интерес к контактным задачам для
непрерывно-неоднородных тел резко возрос в связи с развитием современных технологий, которые позволили получать покрытия с непрерывно изменяющимися упругими свойствами.
К настоящему времени опубликовано большое количество работ
по механике как многослойных, так и непрерывно-неоднородных сред.
Обширный список работ, опубликованных до 1982 г., приведен в
библиографическом указателе [142]. Там же предлагается следующая
классификация неоднородных сред: 1) слоистые среды (многослойные);
2) непрерывно-неоднородные; 3) статистические; 4) разнородные.
Данная монография, согласно этой классификации, связана с разработкой методов решения контактных задач теории упругости для
неоднородных сред второго типа — непрерывно-неоднородных. Монография развивает научное направление в области неклассических
контактных задач, созданное в Ростовском университете академиком
РАН И. И. Воровичем.
Постановка и исследование контактных задач для неоднородных
сред, в достаточно общем виде, стали возможны, с одной стороны,
благодаря развитию аналитических методов решения статических и
динамических контактных задач для классических и неклассических
областей, а с другой стороны, вследствие возросших возможностей
вычислительной техники.
Подробный обзор основных результатов для многослойных сред дан
В. С. Никишиным в монографии [2]. Поэтому в данном обзоре методы, использованные при решении интегральных уравнений, к которым
сводились решения контактных задач для многослойных сред, будут
затронуты только вкратце.

Введение

1. Основные краевые и смешанные задачи для неоднородного
покрытия, лежащего на деформируемом основании. Говоря о контактных задачах, следует заметить, что осесимметричная контактная
задача для простейшего — двухслойного — многослойного основания
(слой на упругом полупространстве; между слоем и полупространством
предполагается полное сцепление) рассмотрена впервые уже в работе
Б. И. Когана [136]. Для приближенного решения использовался метод
коллокации. Задача о кручении такого основания жестким штампом
рассмотрена в работе Д. В. Грилицкого [110], в которой для построения
решения задачи использовался асимптотический метод «больших λ»,
согласно терминологии [90]. Плоская контактная задача рассмотрена
в работе И. М. Вилкова [88], решение получено методом коллокации.
Много внимания контактным задачам для двухслойного основания (плоской, осесимметричной) уделено в работах Ю. А. Шевлякова,
А. К. Приварникова, В. И. Петришина, В. И. Ильмана, В. Д. Ламзюка [123, 124, 152–155, 190, 191, 193, 194, 227]. В них рассмотрены
случаи как полного сцепления слоя с полупространством, так и отсутствия трения между ними. При решении интегрального уравнения
контактной задачи использованы методы: 1) коллокации; 2) сведения
к линейной алгебраической системе путем аппроксимации полиномом
регулярной части ядра интегрального уравнения [34]; 3) асимптотический метод «больших λ»; 4) сведения к интегральному уравнению
Фредгольма второго рода и решения его методом механических квадратур. То есть методы, эффективные для достаточно больших значений λ.
Для решения практических вопросов, связанных с оптимизацией
свойств закрепленных оснований, возникла необходимость исследования в области малых значений характерного геометрического параметра задачи. Однако не было методов, в результате применения
которых получающееся решение носило бы аналитический характер,
что представляет существенные удобства для приложений. Разработке
таких методов и посвящена значительная часть данной работы.
Двухслойное
основание
подробно
исследовалось
в
работах
Г. П. Александровой [61, 62], в них решения контактных задач
строились
с
использованием
метода
«больших
λ»,
при
малых
значениях λ определялось только «вырожденное» решение, полученное
из рассмотрения интегрального уравнения путем предельного перехода
при λ → 0. Приближенными методами осесимметричная контактная
задача
для
двухслойного
основания
рассматривалась
в
работах
Чена, Энгела [241, 248]. Осесимметричную контактную задачу при
наличии сцепления рассматривали В. М. Вайншлельбаум и Р. В. Гольдштейн [85]. Работы В. С. Никишина и Г. С. Шапиро [2, 175–178]
посвящены осесимметричным контактным задачам для кругового и
кольцевого штампов, задачи рассматривались как при наличии трения
или сцепления, так и без трения. Для численных примеров брались
два слоя, лежащие на абсолютно жестком основании.

Введение
7

В работах И. Г. Горячевой и Е. В. Торской проведен анализ напряженного состояния тел с покрытиями при множественном характере
нагружения [104], исследована периодическая контактная задача для
системы штампов и упругого слоя, сцепленного с упругим основанием [105], рассмотрено напряженное состояние двухслойного упругого
основания при неполном сцеплении слоев [106] и исследовано влияния
трения на напряженное состояние тел с покрытиями [211].
При рассмотрении более широкой модели с учетом непрерывной
неоднородности среды сведение контактных задач к интегральному
уравнению осложняется необходимостью при построении трансформанты ядра решать краевую задачу для системы дифференциальных
уравнений с переменными коэффициентами.
В ряде ранних работ были рассмотрены некоторые специальные
случаи неоднородности по глубине (степенной, экспоненциальный, гиперболический, линейный). Заметим, что рассмотренные зависимости
недостаточно точно отражают реальные свойства среды, так как в
указанных случаях предполагается существование точек, в которых
упругие модули равны нулю или бесконечности. Так, в работе Г. Я. Попова [182] приводятся формулы, по которым можно построить интегральные уравнения для полупространства с экспоненциальной зависимостью модуля Юнга от глубины. Н. А. Ростовцевым [201] впервые получено точное решение задачи о действии силы, нормально
приложенной к поверхности изотропного полупространства с модулем
упругости, меняющимся по степенному закону.
В серии работ [250–253] рассматривались основные краевые задачи
для линейной модели неоднородности по глубине для несжимаемого
материала (полупространство или слой на жестком основании).
Контактные задачи для изотропного полупространства с модулем
упругости, меняющимся по степенному закону, рассматривались в работах Б. Г. Коренева, Л. А. Галина, В. И. Моссаковского, Г. Я. Попова,
Н. А. Ростовцева [201], В. С. Проценко, Ю. Д. Колыбихина, Г. И. Белика и др. Задача о кручении неоднородного слоя со степенной и экспоненциальной зависимостью от глубины рассматривалась в [239]. Задачи о кручении неоднородного полупространства для некоторых частных
законов неоднородности рассмотрены В. С. Проценко, Ю. Д. Колыбихиным, Г. А. Морарем. Г. П. Коваленко также рассматривал динамические и статические задачи теории упругости для неоднородных сред
частных видов [140].
В работе Б. И. Когана и В. Д. Зинченко [137] задача о напряженнодеформированном состоянии неоднородного слоя с экспоненциальным
законом неоднородности модуля сдвига при постоянном коэффициенте Пуассона, сцепленного с однородным полупространством, сводится
к решению системы линейных алгебраических уравнений.
При численной реализации для произвольных законов неоднородности использовался ряд подходов. В работе Ю. А. Наумова, Ю. А. Шевлякова, В. И. Чистяка, П. Х. Демченко, С. Я. Вольского, А. К. При

Введение

варникова, В. С. Никишина, Г. С. Шапиро [152, 153, 170, 173, 176]
и некоторых других авторов непрерывная зависимость характеристик
среды от глубины аппроксимируется кусочно-постоянными функциями
(многослойными средами).
Следует
заметить,
что
метод
аппроксимации
произвольной
непрерывной неоднородности среды многослойным пакетом нуждается,
в каждом отдельном случае, в дополнительном исследовании, когда
такая замена является корректной.
В работах Е. А. Кузнецова [144–149] рассматривались контактные
задачи для неоднородного полупространства и полуплоскости, у которых коэффициент Пуассона является произвольной функцией глубины,
а модуль сдвига постоянный или зависит от глубины специальным
образом. Напряжения и перемещения определяются с помощью некоторой функции, удовлетворяющей неоднородному дифференциальному
уравнению второго порядка.
Наряду со статическими контактными задачами рассматривались
и
динамические
контактные
задачи.
По-видимому,
динамические
контактные задачи впервые в общей постановке для произвольных
законов непрерывной неоднородности были изучены в работах В. А. Бабешко, Е. В. Глушкова, Н. В. Глушковой [74](неоднородное полупространство), В. А. Бабешко, И. В. Ананьева, В. В. Калинчука, И. Б. Поляковой [64, 65] (неоднородный слой). Исследование динамических
контактных
задач
для
неоднородных
полупространства
и
слоя
отражено в монографии В. В. Калинчука и Т. И. Белянковой [128].
В предлагаемой монографии рассматриваются только статические
контактные задачи. Решения контактных задач для непрерывно-неоднородного полупространства и полуплоскости в случае произвольного
закона изменения коэффициентов Ламе по глубине были получены
двухсторонним асимптотическим методом [8–10, 12–18]. Трансформанта ядра интегрального уравнения, к которому сводится задача, и ее
аппроксимация аналитическим выражением специального вида находятся численно. После того как аппроксимация трансформанты ядра
интегрального уравнения аналитическим выражением определена, его
решение находится аналитически. Аналитический вид решения удобен
для исследования различных эффектов, связанных с неоднородностью.
Этот метод позволяет строить решения задач для достаточно широкого
класса законов неоднородности.
2. Основные краевые и смешанные задачи для покрытия, лежащего на недеформируемом основании. Простейшая модель покрытия — это однородный слой или клин, сцепленный с недеформируемой
подложкой. Для случая упругого однородного слоя, лежащего на недеформируемом основании, хорошо известны работы российских ученых
В. М. Александрова, И. Г. Альперина, В. А. Бабешко, М. Я. Беленького, А. В. Белоконя, С. Е. Бирмана, М. М. Бронштейна, И. И. Воровича, В. А. Кучерова, С. А. Лутченко, В. И. Петришина, В. С. Тонояна,
Ю. А. Устинова, Г. С. Шапиро и др., а также ряда зарубежных ав

Введение
9

торов: J. B. Albeas, G. M. Gladwell, W. T. Kuipers, P. Meijers, E. Melan, S. F. Smith, C. F. Wang. Изучение смешанных плоских задач для
упругого клина началось в конце 60-х годов — это работы В. С. Тонояна, С. А. Лутченко, Г. Я. Попова, М. И. Бронштейна, В. М. Александрова, И. И. Воровича, В. В. Копасенко, Б. И. Сметанина, В. T. Койтера.
Ряд работ, не включающих собственно смешанные задачи, связан с
изучением вопросов об особенностях напряженного состояния вблизи
особых точек сред [182, 229]. В рамках исследования локального
напряженного состояния в вершине составного клина эти вопросы
рассматривались в работах [45, 67, 82, 117, 118, 164, 179, 206, 242,
243, 263, 269, 270]. Было показано, что в окрестности общей вершины
двух сцепленных клиньев могут возникать интегрируемые особенности, причем их тип зависит от характеристик материалов в локальной
геометрии соединения.
Для составного клина основные граничные задачи теории упругости
рассматривались в работах А. Г. Акопяна [32, 33], В. Г. Блиновой,
А. М. Линькова [82], М. С. Быркэ [84], В. Д. Ламзюка, А. И. Феденко [155], Б. М. Прокофьева [195] (метод функций податливости),
Н. Б. Сафаряна [204], Чен Дай-Хенга [241] (метод разделения переменных), Ж. С. Мишуриса [261].
Специальные законы изменения неоднородности по глубине были исследованы в работах: R. E. Gibson, P. T. Brown [250–253],
рассматривался упругий слой, модуль которого линейно возрастает
с глубиной. В работе [237] исследовалась неоднородная среда для
степенного закона неоднородности. Упругий клин, модуль Юнга которого является степенной функцией радиуса, исследовался в работах
А. Г. Акопяна [32, 33]. О. Н. Шинджикашвили [229]; В. В. Лапенко
решал задачи для материала, коэффициенты упругости которого являются степенными функциями радиуса и экспоненциальными по угловой координате методом разделения переменных [58, 70] и методом
ортогонализации [158]. Для радиально-неоднородного тела задачи теории упругости исследовались В. И. Андреевым [66] и О. Д. Григорьевым [109]. Заметим, что эти зависимости недостаточно точно отражают
реальные свойства среды, так как в этом случае существуют точки,
в которых упругие модули равны нулю. Методом разделения переменных плоская задача теории упругости для неоднородного клина, закон
неоднородности которого является функцией угловой координаты, решалась в работе Г. Б. Колчина [141].
Задачу о действии сосредоточенной силы на вершину плоского
бесконечного клина, состоящего из материала, чувствительного к виду
напряженного состояния, рассматривал О. А. Чернышов [225].
Кручение цилиндрическим штампом упругого двухслойного основания рассматривалось в работе [263]. Предполагалось, что модули
упругости слоев являются степенными функциями специального вида.
Температурные воздействия на неоднородный клин рассматривались в работах [141, 157].

Введение

Следует отметить, что контактные задачи для неоднородных сред
имеют ряд особенностей по сравнению с задачами для однородных сред.
Во-первых, при механической постановке следует учитывать качественно новую картину распределения контактных напряжений для
существенно неоднородных материалов (эффект отставания основания
от штампа при некоторых значениях геометрических и физических
параметров и т. д.).
Во-вторых, в отличие от однородных сред (полупространство, слой)
трансформанты ядер интегральных уравнений в смешанных задачах
неоднородных сред имеют сложную структуру, необозримую в аналитическом виде, в общем случае строят только численными методами.
Одной из целей настоящей монографии является разработка и обоснование эффективных методов решения статических контактных задач
теории упругости для неоднородных сред.
Рассматриваются произвольные общие непрерывные законы изменения коэффициентов Ламе по глубине среды в случае полупространства
или слоя или по угловой координате в случае клиновидной области.
Развивается полуаналитический метод решения рассматриваемых краевых задач. Задачи сводятся к решению парных интегральных уравнений. Трансформанты ядер парных интегральных уравнений строятся
численно. На основании установленных аналитических свойств данных
трансформант строятся их аппроксимации аналитическими выражениями специального вида. Для этих аппроксимаций парных интегральных
уравнений построены замкнутые аналитические решения. Доказывается, что эти решения являются двухсторонне асимптотически точными относительно безразмерного геометрического параметра задач.
Аналитическая форма решений интегральных уравнений удобна для
приложений и позволила впервые получить в аналитическом виде решение задачи о внедрении параболического индентора в неоднородное
полупространство, определить в аналитическом виде форму осадки
поверхности вне штампа в случае неоднородного основания, получить
в аналитическом виде решения задач об изгибе балок и плит на
неоднородном основании.