Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2011, №71

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

УДК 531.9+539.12.01
UDC 531.9+539.12.01

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
В ТЕОРИИ КАЛУЦЫ-КЛЕЙНА

FUNDAMENTAL INTERACTIONS IN KALUZAKLEIN THEORY  

Трунев Александр Петрович
к.ф.-м.н., Ph.D.

Alexander Trunev
Cand.Phys.-Math.Sci., Ph.D.

Директор, A&E Trounev IT Consulting, Торонто,
Канада

Director, A&E Trounev IT Consulting, Toronto, 
Canada 

На основе теории Калуцы-Клейна в 5-мерном пространстве развита модель фундаментальных взаимодействий

The fundamental interaction model is developed on the
basis of  Kaluza-Klein theory in 5-dimension space

Ключевые слова: ГРАВИТАЦИЯ, ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ, СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ, СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 

Keywords: GRAVITY, ELECTROMAGNETISM,
STRONG INTERACTION, WEAK INTERACTION

Введение

В современной физической теории принято считать, что фундамен
тальные  природные силы обусловлены четырьмя видами взаимодействия

– гравитационным, электромагнитным, слабым и сильным, которые в пре
деле сверхвысоких энергий сливаются в одно, создающее суперсилу /1/.

После пионерской работы Эйнштейна /2/, посвященной вопросам суще
ствования элементарных заряженных частиц в общей теории относитель
ности (ОТО),  были предприняты многочисленные попытки описания ча
стиц в рамках объединенной теории гравитации и электромагнетизма Ка
луцы-Клейна  в пятимерном пространстве /3-11/. 

При описании движения частиц и полей в теории Калуцы-Клейна

возникает вопрос о физическом смысле пятой координаты. Согласно гипо
тезе Клейна  /4/, движение вдоль пятой координаты ненаблюдаемое вплоть

до очень малых масштабов, соответствующих энергии порядка 1019 масс

протона. В этом пределе все взаимодействия сливаются в одно, образуя

суперсилу /1/. Согласно же гипотезе Румера /6/, движение в масштабе пя
того измерения представлено постоянной Планка   и вытекающей отсюда

квантовой теорией. Было показано /7-8/, что если пятое измерение является

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

1

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

пространственно-подобным, то уравнения единого поля имеют обычную

форму. 

В работах Эйнштейна /9/, Эйнштейна и Паули /10/ было установле
но, что не существует решений уравнений гравитационного поля в 4-х или

в 5-мерном пространстве (Калуцы), удовлетворяющих условиям:

1) поле стационарно;

2) оно не имеет особых точек;

3) решение описывает поле отличной от нуля массы или заряда. 

Анализ совместных уравнений гравитации и электромагнетизма по
казывает, что в такой теории статические электрические и гравитационные

поля должны быть одного порядка величины. Поэтому в теориях Калуцы
Клейна  все  заряженные  частицы  должны  иметь  массу  порядка

планковской /10,11/. В силу этих теоретических трудностей теория Калу
цы-Клейна была перенесена из 5-мерного пространства в 11-мерное, с за
меной классической гравитации на супергравитацию /1, 11/.      

В настоящей работе построен пример, в котором пятая координата

является времени-подобной, метрический тензор в 5-мерном пространстве

является стационарным, не имеет особых точек, описывает в 4-х мерном

пространстве статическое поле отличной от нуля массы или ненулевого за
ряда.  На  основе  разложения  метрического  тензора  в  5-мерном  про
странстве по степеням расстояния до центра гравитации развита модель

фундаментальных взаимодействий, которая описывает протон, электрон и

нейтрон. В классическом случае теория предсказывает, что массивные тела

могут обладать электрическим зарядом и магнитным полем, что находится

в согласии с данными астрономических наблюдений.    

Динамика частиц в 5-мерном пространстве и виды взаимодей
ствий

Движение заряженных частиц в пятимерном пространстве описыва
ется уравнением 5-эйконала /6/:

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

2

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

0
G
=

∂

Σ
∂

∂

Σ
∂

ν
µ

µ ν

x
x
(1)

i

i

i

k
i
ik

ik
g
e

mc

G
G

e

mc
A
G
G

G
G

G
G
g

2

55

5

2

55
55

5
5

55

,
=
=
−
=

Здесь  
e
c
m
A
g
G
i
ik
,
,
,
,
,
µ ν
 - метрические тензоры в 5-ти и 4-х мерном

пространстве, векторный потенциал, масса, скорость света и заряд частицы

соответственно. 

Полагая 
N
G
=
55
, находим выражение метрического тензора в 5-мер
ном пространстве через гравитационные и электромагнитные потенциалы,

имеем /4-7/

+

=
1
i

k
k
i
ik

ik
g

g
g
g
g
N
G
,
+
−

−

=

−

k
i

ik

i

k
ik

ik

g
g
g
g

g
g
N
G

1

1
                       (2)

Используя второе выражение (2) при 
1
=
N
, запишем первое уравне
ние (1) в виде

0
)
1
(
2

2

5
5
=
∂

Σ
∂
+
+

∂

Σ
∂

∂

Σ
∂
−

∂

Σ
∂

∂

Σ
∂

x
g
g
g
x
x
g
g
x
x
g
k
i

ik

i
k

ik

k
i

ik
               (3)

Переход к классической динамике осуществляется в частном случае,

когда действие выражается в виде суммы

)
,
,
,
(
4
3
2
1
5
x
x
x
x
S
mcx
+
=
Σ
.

В этом случае первое уравнение (1) сводится к уравнению Гамильто
на-Якоби для классического действия релятивистской частицы

0
)
(
2 =
+
−

∂

∂

−

∂

∂
mc
mcg
x
S
mcg
x
S
g
k
k
i
i

ik
                         (4)  

Действующие на частицу силы описываются метрическим тензором

и векторным потенциалом - 
i
ik A
,
g
, которые отождествляются с метриче
ским тензором ОТО и векторным потенциалом электромагнитного поля

соответственно /3-7/. Следовательно, уравнение (4) описывает  движение

классических заряженных частиц во внешнем электромагнитном и грави
тационном поле. 

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

3

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

Заметим, что в исходном уравнении (1) пятая координата ничем не

выделена, а переход к уравнению (4) является возможным благодаря  част
ному решению 
)
x
,
x
,
x
,
S(x
+
mcx
=
4
3
2
5
1
Σ
, которое никак не соотносится с ги
потезой Клейна. Можно поэтому утверждать, что указанное частное реше
ние соответствует принципиальной возможности совместного  описания

движения заряженных частиц в гравитационном и электромагнитном поле.

Другие частные решения связаны с иным представлением основных

сил, которые  описываются исходным метрическим тензором 
ik
G . Можно

предположить, что метрический тензор 
ik
g
 при любом представлении ис
ходного действия типа  
)
x
,
x
,
x
,
S(x
+
mcx
=
4
3
2
5
1
Σ
 описывает  гравитацию в

четырехмерном пространстве. Аналогичное утверждение касается и век
торного потенциала. Не исключено, что при некотором представлении век
торный потенциал можно будет отождествить со слабым или сильным вза
имодействием. 

Действительно, различие в описании электромагнитных, слабых и

сильных взаимодействий в современной теории сводится к утверждению,

что каждое взаимодействие осуществляется посредством частиц вектор
ных полей – фотонов, Z и W бозонов, или глюонов соответственно /1/. С

точки зрения динамической модели (4) эти различия сводятся только к

переопределению заряда и векторного потенциала /11/.  Назовем это утвер
ждение правдоподобной гипотезой, которую предстоит проверить. 

Метрический тензор в 5-мерном пространстве и классические

поля

Выше не сделано никаких предположений о виде 
ik
G . Заметим, что

этот тензор имеет физический смысл не только в связи с метрическим тен
зором ОТО и векторным потенциалом электромагнитного поля, согласно

уравнениям (2), но и как метрический тензор пятимерной теории гравита
ции с источником в виде материальных полей /6, 10/. 

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

4

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

Например, в работе /12/ был рассмотрен вариант пятимерной грави
тации, с источником в виде нелинейного спинорного поля. В этом частном

случае тензор 
ik
G  имеет диагональную форму, а квадрат интервала задает
ся в виде /12/

(
)
2
2
2
2
2
2
)
(
2
2
2
)
(
ρ
ρ
φ

ρ
χ
d
dz
dy
dx
dt
c
e
ds
−
−
−
−
=
                            (5)

Здесь ρ - пятая координата. В общем же случае тензор 
ik
G определя
ется как решение уравнений Эйнштейна в 5-мерном пространстве /6/. По
скольку ни источник, ни распределение материи в 5-мерном пространстве

заранее неизвестны, можно лишь опираться на интуитивные представле
ния о такого рода гравитации, рассматривая классические поля, как ре
зультат действия сил более высокой размерности /1/. В частности, можно

предположить,  что  вблизи  массивного  центра  гравитации  метрический

тензор в 5-мерном пространстве представляется в виде ряда по степеням

расстояния  до источника, 

2
2
2
z
y
x
r
+
+
=
, следовательно

Gik=Gik(0)+ ˙
Gik(0)kr+ ¨
G ik(0)(kr)2

2
+...                                   (6)

Здесь параметром  k задается масштаб области применения модели

(6), а точкой обозначено дифференцирование по безразмерному параметру

kr
r =
~
. Рассмотрим вид тензора (6), возникающего при удержании первых

трех членов разложения для случая метрики в поле центральных сил с гра
витационным потенциалом в форме Ньютона. 

Положим  x

1=ct , x

2=x , x

3= y , x

4=z ,  в этих обозначениях имеем для

квадрата интервала в 4-мерном пространстве (см., например, /13/):

(
)

r
M

dz
dy
dx
c
t
c
c
ds

γ
ϕ

ϕ
ϕ

−
=

+
+
−
−
+
=
2
2
2
2
2
2
2
2
)
/
2
1
(
)
/
2
1
(

                  (7)

Здесь γ  - гравитационная постоянная, М – масса центрального тела.

Предположим, что коэффициенты метрики в 5-мерном пространстве ха
рактеризуется некоторым параметром  
)
0
(
)
0
(
11
11

2
G
G

−
=
=
ε
. Тогда, полагая,

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

5

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

что 

2
2
/
2
/
c
M
k
γ
ε
=
, приходим к выражению интервала в зависимости от па
раметров метрики в 5-мерном пространстве: 

(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
)
/
1
(
)
/
1
(
dz
dy
dx
kr
t
c
kr
ds
+
+
+
−
−
=
ε
ε
                      (8)

Далее заметим, что в этом случае метрический тензор в четырехмер
ном пространстве является диагональным с компонентами 

)
/
1(
;
/
1
2

44
33
22

2

11
kr
g
g
g
kr
g
ε
ε
+
−
=
=
=
−
=
                     (9) 

Зададим векторный потенциал источника, связанного с центром гра
витации в виде

u
g
1
1
,
/
g
kr
g
=
= ε
                                              (10)

Здесь  u – некоторый вектор в трехмерном пространстве, который

определим ниже. Отсюда находим скалярный и векторный потенциал элек
тромагнитного поля 

u
A
e
ϕ

ε

ϕ
=
=
=
,

2

kr
e

mc

r
q

e
                                    (10')

Полагая  N =(kr)

2  в первом выражении (2) и вычисляя метрический

тензор в 5-мерном пространстве, с учетом (9)-(10), находим, что в этом

случае выражение (6) содержит в правой части только три члена ряда раз
ложения по степеням параметра 
kr
r =
~

Gik=(

Ngik+Ngi g k
Ngk

Ngi
N )=Gik(0)+ ˙Gik(0)(kr)+ ¨Gik(0)(kr)

2

2
             (11)

Отметим, что нулевой член разложения (11), описывающий плоское

пространство, зависит от наличия заряда. В метрике (7) всякое массивное

тело может иметь   положительный или отрицательный электрический за
ряд 
e
k
M
mc
q
/
/
2γ
±
=
. Поскольку же заряд квантуется, можно определить

массу, порождающую электрон или протон, из соотношений:  q=e,  M=m,

следовательно, m3=ke4/2c2 γ . Отсюда находим выражение неизвестного па
раметра теории

4
2
3
/
2
e
c
m
k
γ
=
                                         (12)

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

6

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

Заметим, что это выражение соответствует закону Кулона в форме

(11) в Гауссовой системе единиц. В системе СИ правую часть (12) следует

умножить на  

2

0)
4
( π ε
, где  
0
ε  - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Численное значение параметра (12), имеющего размерность обратной дли
ны, составляет в случае электрона около 1,7.10-28 м-1, а в случае протона

приблизительно 1,05.10-18 м-1.  Интересно, что соответствующий масштаб в

случае электрона превосходит размер наблюдаемой Вселенной, тогда как

для протонов этот масштаб составляет около 100 световых лет. 

Этот результат показывает, что для описания движения в четырех
мерных мирах с учетом сил гравитации и электромагнетизма требуется

лишь конечное число членов ряда (6) в разложении метрического тензора в

5-мерном пространстве.      

Рассмотрим вопрос о нижнем пределе применимости развиваемой

модели. Для этого сравним нулевой и второй члены разложения (6). Пред
полагая, что эти слагаемые имеют один порядок, 

2
2)
(
ε
≈
kr
, находим соот
ветствующий минимальный радиус,  

2
2

min
/
/
mc
e
k
r
=
≈ ε
, который в случае

электрона совпадает с его классическим радиусом – таблица 1. На этом

масштабе электростатическое поле существенно влияет на метрику 5-мер
ного пространства, как буде показано ниже.  Отметим, что минимальный

размер в случае протона совпадает с радиусом действия слабого взаимо
действия.

Таблица 1. Параметры разложения метрического тензора 
ik
G

k, 1/м
ε
rmax, м
rmin, м

e1,703163E-28
4,799488E-43
5,87E+27
2,81799E-15

p+
1,054395E-18
1,618178E-36
9,48E+17
1,5347E-18

 Далее заметим, что учет эффектов, обусловленных вращением тел,

не приводит к увеличению числа членов в разложении метрического тензо
ра в 5-мерном пространстве в форме  (6). Действительно, в метрике 4-мер
http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

7

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

ного пространства вращающееся тело порождает гравитомагнитное поле,

векторный потенциал которого определяется согласно /13, 14/

3
3

2

r
c

g

L
r
A
×
=
γ
                                                     (13)

Здесь L - вектор механического момента вращения тела. В прибли
жении, в котором справедливо выражение интервала (7), потенциал грави
томагнитного поля связан с компонентами метрического тензора соотно
шением 
α
α
α
1
11
1 /
g
g
g
Ag
−
≈
−
=
, где индекс 1 относится к временной координа
те.  Но тогда из выражения (11) следует, что гравитомагнитное поле в пя
тимерном пространстве не зависит от расстояния до источника, но зависит

от угла, поскольку 
r
c

k
NA
Ng
g

α

α
α

γ
]
[
2

3

2

1

L
r ×
−

=
−
=
.     

Векторный потенциал магнитного диполя описывается выражением,

аналогичным (13), но дает вклад в метрический тензор в 5-мерном про
странстве в виде комбинации 
k
ig
g
, что могло бы приводить к появлению в

правой части (6) слагаемых, пропорциональных  

2)
(kr , как это следует из

выражения  (11).  Тем  самым  аналитичность  метрического  тензора  в

окрестности начала координат могла бы нарушиться. Чтобы избежать это
го,  будем  рассматривать  векторный  потенциал  магнитного  диполя  как

суперпозицию векторных потенциалов (10'), исключив тем самым слагае
мые, пропорциональные 

2)
(kr  из разложения метрического тензора (6).  В

свою очередь, чтобы векторный потенциал (10) приводил к появлению в

разложении метрического тензора слагаемых только с нулевой степенью,

достаточно наложить на вектор u условие

r

]
[
s
r
u
u
0

×

+
=
                                                   (14)

Здесь 
s
u,  - постоянные векторы. Из выражений (10') и (14) следует,

что в рассматриваемом случае всякое массивное тело порождает не  только

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

8

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

гравитационное и гравитомагнитное поле, но и статическое электрическое

и магнитное поле. 

Электрический заряд нашей планеты, вычисленный согласно (10),

составляет около 4,1.108 Кулон в случае электронов и 9,57.106 Кулон в слу
чае протонов. Для планет-гигантов эти величины возрастают пропорцио
нально корню квадратному из их массы, поскольку 
e
k
M
mc
q
/
/
2γ
±
=
. Сле
довательно, небесные тела Солнечной системы обладают большими элек
трическими зарядами, что было установлено в работе  /15/ на основе ана
лиза вариаций магнитного поля Земли.  

Таким образом, мы показали, что разложение метрического тензора

ik
G  в 5-мерном пространстве по степеням малого параметра kr  в виде (6)

с точностью до членов второго порядка равносильно описанию гравитаци
онного поля тяготеющих масс в рамках ОТО с гравитационным потенциа
лом в форме Ньютона. Установлено, что всякое массивное тело порождает

статическое гравитационное, электрическое и магнитное поле (элементар
ные  частицы,  обладающие  массой  покоя,  но  не  обладающие  зарядом,

рассматриваются  ниже).  Отметим,  что  модель  взаимосвязи  магнитного

поля с гравитацией массивных тел впервые предложил Эйнштейн в работе

«Об эфире» (см. /5/, стр. 154) для описания магнитного поля Земли и Солн
ца. 

Разумеется, что одних выражений (10') недостаточно для описания

электромагнитного поля небесного тела. Векторный потенциал (10') можно

рассматривать как постоянный источник, возбуждающий токи, как внутри

самого тела, так и в окружающем его пространстве, чем объясняются,

например, наблюдаемые вариации магнитного поля Земли  /15/. 

Рассмотрим вопрос о том, какое преобразование координат при по
вороте в плоскости времени и пятой координаты дает в результате коэффи
циенты тензора (11). Для этого используем общие уравнения с тремя пара
http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

9

Научный журнал КубГАУ, №71(07), 2011 года

метрами, включающие растяжение осей, поворот на заданный угол и изме
нение взаимной ориентации осей, имеем   

))
cos(
sin
(

))
sin(
cos
(

5
1
5

5
1
1

β
α
α

β
α
α

+
′
+
′
−
=

+
′
+
′
=

x
x
kr
x

x
x
kr
x

                                  (15)

Вычисляя интервал, находим

)
sin
2
)
(
)
((
)
(
5
1

2

5

2

1

2
2
5

2
1

2
β
x
d
x
d
x
d
x
d
kr
dx
dx
ds
′
′
+
′
+
′
=
+
=
                  (16)

При 
0
=
β
 преобразование координат (15) сводится к растяжению и

повороту, в этом случае коэффициент G15=G51=0 , следовательно, в такой

системе электростатический потенциал равен нулю. 

При 
0
=
α
 преобразование (15) сводится к растяжению и изменению

взаимной ориентации осей, т. е. к переходу от прямоугольной системы

координат к косоугольной (аффинной) системе. В этом случае находим,

что  
β
ε
sin
)
(
2
)
(
2

51
15
kr
kr
G
G
=
=
=
.  Следовательно,  электростатическое  поле

возникает при таких деформациях пространства, при которых изменяется

взаимная ориентация осей времени и пятой координаты. Полученное соот
ношение позволяет найти предельное значение электростатического потен
циала в виде 
kr
kr
2
sin
2
≤
=
β
ε
, что с учетом первого уравнения (15) дает из
вестное ограничение на потенциал 

2
2
c
m
e
e
e ≤
ϕ
                                                 (17) 

В квантовой электродинамике это ограничение связано с рождением

пар частиц – электронов и позитронов, тогда как в данной теории оно яв
ляется следствием геометрических соотношений в 5-мерном пространстве.

Наконец,  заметим,  что  использованное  выше  соотношение

)
0
(
)
0
(
11
11

2
G
G

−
=
=
ε
, выражающее связь заряда и массы, является следствием

аналогичного соотношения, полученного в классической электродинамике

для электрона 

2

min

2 /
mc
r
e
=
. В общем же случае можно отказаться от этой

связи, рассматривая метрику, зависящую и от массы, и от заряда.  

Сильные и слабые взаимодействия

http://ej.kubagro.ru/2011/07/pdf/39.pdf

10