Избранные научные труды. Математика

УДК 517.53, 517.968, 917.983,
517.988.8
ББК 22.16
И 20

Издание осуществлено при поддержке
Российского фонда фундаментальных
исследований по проекту 08-01-07040

Р е д к о л л е г и я :
В. В. Васин (ответственный редактор), А. Л. Агеев,
В. В. Арестов, К. Н. Гурьянов, И. В. Мельникова

И в а н о в В. К. Избранные научные труды. Математика. — М.: ФИЗМАТЛИТ,
2008. — 552 с. — ISBN 978-5-9221-0980-2.

Настоящее издание представляет собой сборник избранных работ выдающегося
российского математика, члена-корреспондента РАН В. К. Иванова (1908–1992).
В нем представлены работы по основным направлениям научной деятельности
В. К. Иванова: теории приближения функций, обратной задаче потенциала, некорректно поставленным задачам, теории обобщенных функций.
Труды представляют интерес для математиков и геофизиков, работающих в данных направлениях, а также для студентов и аспирантов, специализирующихся в этих
дисциплинах.

ИВАНОВ Валентин Константинович

ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ. МАТЕМАТИКА

Редактор С.А. Тюрина
Оригинал-макет: Е.Н. Водоватова
Оформление переплета: Н.В. Гришина

Подписано в печать 13.05.08. Формат 70
100/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 44,85. Уч.-изд. л. 44,85. Тираж 400 экз. Заказ №

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ОАО «Чебоксарская типография № 1»
428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15

ISBN 978-5-9221-0980-2

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2008

c⃝ В. К. Иванов, 2008

ОГЛАВЛЕНИЕ

От редколлегии. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Иванов Валентин Константинович . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Р А З Д Е Л
I

АЛГЕБРА И ТЕОРИЯ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ

О свойствах коэффициентов неприводимых уравнений деления круга. .. . . . .
13
О понижении степени аффинорных полиномов (cовместно c Я. С. Дубновым)
18
Задача о минимаксе системы линейных функций. .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
23
О равномерных приближениях непрерывных функций . .. . . . . . . . . . . . . . . .
45

Р А З Д Е Л
II

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ПОТЕНЦИАЛА
И ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Об определении гармонических моментов возмущающих масс по производной
гравитационного потенциала, заданной на плоскости . .. . . . . . . . . . . . . . .
62
Интегральное уравнение обратной задачи логарифмического потенциала . .. .
75
Распределение особенностей потенциала и пространственный аналог теоремы
Полиа . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
Обратная задача потенциала для тела, близкого к данному . .. . . . . . . .. . . . .
98
О разрешимости обратной задачи логарифмического потенциала в конечном
виде . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
Связь между ростом целой функции многих переменных и распределением
особенностей ассоциированной с ней функции. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
127
Теорема единственности обратной задачи логарифмического потенциала для
звездных множеств . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
140
Об устойчивости обратной задачи логарифмического потенциала . .. . . . . . . .
149
Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложение
к суммированию двойных степенных рядов . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
153
Об одной краевой задаче, связанной с аналитическими функциями двух
комплексных переменных . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
167
Об индикатрисе роста целой функции двух комплексных переменных . .. . . .
179
Обобщение тождества Вороного–Харди . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
187
Интегральные уравнения первого рода и приближенное решение обратной
задачи потенциала. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
208

Об одном приложении аналитических функций к обратной задаче потенциала
(совместно с Л. Э. Казаковой) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
211
Многомерные обобщения сумматорной формулы Эйлера . .. . . . . . . . . . . . . .
219
Об устойчивости комплексной проблемы моментов. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
О существовании основной функции линейного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами при условиях периодичности . .. . . . . .
240

Р А З Д Е Л
III

НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ

О линейных некорректных задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
246
О некорректно поставленных задачах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
249
Некорректные линейные уравнения и уравнения типа свертки (cовместно
с И. Н. Домбровской) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
Об одном типе некорректных линейных уравнений в векторных топологических пространствах . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
269
Задача Коши для уравнения Лапласа в бесконечной полосе . .. . . . . . . . . . . .
277
О численном дифференцировании (cовместно с Т. Ф. Долгополовой) . . . . . .
283
К теории некоторых линейных уравнений в абстрактных пространствах (совместно с И. Н. Домбровской) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
291
О приближенном решении операторных уравнений первого рода . .. . . . . . . .
300
О равномерной регуляризации неустойчивых задач . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
Об интегральных уравнениях Фредгольма первого рода. .. . . . . .. . . . . . . . . .
321
О регуляризации линейных операторных уравнений первого рода. .. . . . . . . .
334
О применении метода Пикара к решению интегральных уравнений первого
рода . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
Об оценке погрешностей при решении линейных некорректно поставленных
задач (совместно с Т. И. Королюк) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
346
Некорректные задачи в топологических пространствах. .. . . . . . . . . . . . . . . .
358
Линейные неустойчивые задачи с многозначными операторами . .. . . . . . . . .
368
О решении операторных уравнений, не удовлетворяющих условиям корректности . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
376
Задача квазиобращения для уравнения теплопроводности в равномерной метрике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
Об оценке устойчивости квазирешений на некомпактных множествах . .. . . .
394
О величине параметра регуляризации в некорректно поставленных задачах
управления . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
401
О возможности определения энергетического спектра бозе-системы по термодинамическим функциям (совместно с В. А. Коршуновым, Т. Н. Решетовой и В. П. Тананой) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
408
Improperly posed problems (совместно с А. Н. Тихоновым, М. М. Лаврентьевым) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
413
Один способ оценки погрешности при решении операторных уравнений первого рода в гильбертовом пространстве . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
431

Оглавление
5

Р А З Д Е Л
IV

ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ

Обобщенное преобразование Фурье в операционном исчислении . .. . . . . . . .
437
Умножение распределений и регуляризация расходящихся интегралов . .. . . .
455
Гиперраспределения и умножение распределений Шварца . .. . . . . . . . . . . . .
465
Алгебра, порождаемая функцией Хевисайда и дельта-функциями. .. . . . . . . .
470
Об умножении обобщенных функций многих переменных с точечной особенностью . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
474
Алгебра одного класса обобщенных функций. .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
488
Ассоциативная алгебра простейших обобщенных функций. .. . . . . . . . . . . . .
492
Об алгебре элементарных обобщенных функций . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
504
Асимптотическое приближение к произведению обобщенных функций . .. . . .
508
Об умножении однородных функций нескольких переменных. .. . . . . . . . . . .
518
Общая
схема
устранения
расходимостей
разного
рода
(совместно
с И. В. Мельниковой). .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
523
Об условиях корректности Адамара в пространствах обобщенных функций
532
Новые обобщенные функции и слабая корректность операторных задач (совместно с И. В. Мельниковой) . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
540
Список опубликованных работ члена-корреспондента РАН В. К. Иванова . .. .
547

ОТ РЕДКОЛЛЕГИИ

Настоящее издание содержит собрание избранных работ выдающегося российского математика члена-корреспондента АН СССР Валентина Константиновича Иванова (1908–1992).
Творческий диапазон В. К. Иванова был необычайно широк. Ему принадлежит
решение ряда важнейших задач алгебры и теории чисел, функционального анализа
и теории функций комплексного переменного, математической физики и теории
обобщенных функций, обратной задачи потенциала и общей теории некорректных
задач. В каждой из этих областей им были предложены оригинальные решения
актуальных проблем, а в некоторых из них заложены глубокие идеи и новые направления исследований, которые плодотворно развивались несколькими поколениями
математиков и геофизиков.
Будучи человеком глубоко эрудированным и обладая широким кругозором,
В. К. Иванов легко ориентировался не только в различных разделах математики, но
и в теоретической физике, механике, геофизике, что позволяло ему черпать новые
идеи и подходы из различных областей естествознания и находить содержательные
приложения для разработанных методов.
Валентин Константинович оставил богатое научное наследие, которое питает
и вдохновляет его многочисленных учеников и последователей.
Редколлегия ставила целью представить все основные направления исследований
В. К. Иванова. Однако в это издание не вошла серия прикладных работ, выполненных
в 1935–1947 г.г. в период работы Валентина Константиновича в Уралгипромаше
и Свердловском горном институте. Не включены некоторые работы по теории функций комплексного переменного, а также отдельные статьи, посвященные обобщенным
функциям и их связи с некорректно поставленными задачами.
Представленные в издании статьи сгруппированы в четыре раздела: «Алгебра
и теория приближения функций», «Обратная задача потенциала и теория функций комплексного переменного», «Некорректно поставленные задачи», «Обобщенные
функции». В пределах каждого раздела статьи расположены в хронологическом
порядке. В нескольких случаях мы сочли необходимым дать терминологические
пояснения.
При подготовке статей к печати авторский текст не подвергался какой-либо
правке за исключением очевидных опечаток и цитированной литературы, которая
оформлена в соответствии с современными требованиями.
Редколлегия глубоко признательна Российскому фонду фундаментальных исследований, при финансовой поддержке которого было осуществлено это издание.

ИВАНОВ ВАЛЕНТИН КОНСТАНТИНОВИЧ
(1908–1992)

Валентин Константинович родился 1 октября 1908 г. в Санкт-Петербурге в семье железнодорожного служащего. Начальное образование он получил в реальном
училище, а после переезда родителей в 1922 г. в Свердловск продолжил учебу
в советской школе им. Н. А. Некрасова.
Яркое математическое дарование Валентина Константиновича проявилось очень
рано. Вот как, например, об этом написано в его характеристике после окончания
школы в 1925 г.: «Иванов В. К., 17 лет, сын служащего до революции и в настоящее
время. Исключительно одарен в области математики при хорошем общем развитии,
обладает глубоко аналитическим умом, редкой способностью к синтезу, умением
систематически работать, богатой интуицией, глубиной восприятия, чисто нотовской
(НОТ — научная организация труда. — Прим. ред.) манерой выражения мыслей
в различных дисциплинах наук...».
После завершения учебы в школе Валентин Константинович оказался перед
трудным выбором. Дело в том, что тогда в Свердловске не было математического
факультета, а в столичный университет поступить было очень трудно. Существовал
так называемый соцотбор: в первую очередь — рабфаковцы, во вторую — дети
рабочих, а уже потом все остальные. Так что абитуриент из семьи служащего
оказывался в очень невыгодных условиях. Поэтому по совету родителей он поступил
в Уральский политехнический институт, который окончил в 1930 г.
После завершения учебы в институте он сначала в течение одного года работает
инженером-конструктором в Гипромезе, а затем вплоть до 1938 г. — в Уралгипромаше. К этому периоду относится и его первая научная публикация [1], связанная с его
профессиональной деятельностью. Одновременно (с 1933 г.) он заочно учится в Ленинградском государственном университете, который блестяще заканчивает в 1939 г.
В этом же году выходит его первая математическая работа [2], связанная с анализом
сходимости методов последовательных приближений и Зейделя для систем линейных
алгебраических уравнений.
По воспоминаниям Валентина Константиновича, в это время он с увлечением
занимался алгеброй, посещал алгебраический семинар, ведущую роль в котором играли П. Г. Конторович и С. Н. Черников. В итоге ему удалось решить ряд алгебраических проблем и подготовить кандидатскую диссертацию на тему «Некоторые вопросы
теории матричных полиномов», которую он успешно защитил в МГУ в 1941 г.
В этом же году выходит статья [4], в которой дано изящное решение задачи
Н. Г. Чеботарева о строении неприводимых делителей полинома xm − 1. А именно,
его гипотеза, что все такие делители имеют в качестве коэффициентов только −1, 0
и 1, подтверждена для случая, когда показатель m содержит не более двух простых
делителей, но в общем случае опровергнута соответствующим контрпримером.
В 1938 г. Валентин Константинович переходит в Свердловский горный институт,
где работает ассистентом, а затем доцентом на кафедре высшей математики до
1947 г. с перерывом в 1941–1942 г.г. для прохождения военной службы. В 1947 г.
выходят несколько его работ [6–8] (совм. с П. В. Гельдом и А. С. Микулинским) по
математической физике.
Примечательна совместная с Я. С. Дубновым работа [5], предвосхитившая один
важный результат теории алгебр над полем. Этот результат устанавливает при весьма
простых предположениях нильпотентность нильалгебры. Полученный в 50-х годах
и связанный с именами М. Нагаты и Г. Хигмэна, он нередко фигурирует в литературе
по теории колец как теорема Нагаты–Xигмэна. Лишь в 80-х годах обнаружилось, что
этот факт был, по существу (но в совершенно других терминах), установлен впервые

Иванов Валентин Константинович

в упомянутой работе [5], опубликованной в 1943 г. и долгое время остававшейся
незамеченной алгебраистами.
С сентября 1947 г. и до конца жизни Валентин Константинович работает в Уральском государственном университете им. А. М. Горького, с которым связан наиболее
плодотворный период его научной и педагогической деятельности. Здесь он работает
в должности доцента, затем профессора, а с 1951 по 1980 г.г., с небольшим перерывом во время пребывания в докторантуре, возглавляет кафедру математического
анализа.
В 1948 г. (за два года до выхода в свет первой части монографии Л. Шварца
по обобщенным функциям) выходит знаковая работа В. К. Иванова [10], где он
предложил конструкцию квазифункций и определил для них преобразование Фурье.
Как впоследствии оказалось, введенные В. К. Ивановым квазифункции совпадают
с распределениями медленного роста, для которых Л. Шварцем и было построено
обобщенное преобразование Фурье. Затем были опубликованы интересные работы [14, 15], в которых исследуется классическая для теории приближения задача
о равномерной аппроксимации комплекснозначной непрерывной на компакте функции квазиполиномами (линейной комбинацией системы функций) и рассматриваются тонкие свойства множества точек минимаксного уклонения квазиполинома от
функции. В этих работах, в частности, получен удобный для приложений критерий
квазиполинома наилучшего равномерного приближения, отличный от известного
критерия А. Н. Колмогорова.
Работая в Свердловском горном институте, Валентин Константинович заинтересовался проблемами, волновавшими тогда геофизиков. Их чисто геофизические
задачи показались ему интересными с математической точки зрения. Это предопределило его интерес к проблеме решения обратной задачи потенциала и другим
проблемам разведочной геофизики. В итоге в 1950-е годы вышел блестящий цикл его
работ по данной проблематике, в котором условно можно выделить три направления
исследований.
1. Проблемы единственности, эквивалентности и устойчивости в обратных задачах гравитационного потенциала.
2. Методы нахождения гармонических моментов аномальных масс по данным
гравитационных наблюдений.
3. Методы решения обратной задачи гравиметрии и аналитического продолжения
аномальных полей.
Из работ первого направления следует выделить статью [26], в которой дано
обобщение (для двумерного случая) классической теоремы П. С. Новикова о единственности решения обратной задачи потенциала для звездных тел известной постоянной плотности. А в статье [25] было показано, что в плоском случае для звездных
областей существуют естественные условия на границе области, обеспечивающие не
только единственность, но и устойчивость решения обратной задачи.
С 1953 по 1955 г.г. В. К. Иванов был докторантом Математического института
им. В. А. Стеклова АН СССР, где защитил докторскую диссертацию на тему «Исследования по обратной задаче потенциала» (1955 г.).
В работе [22], излагающей некоторые результаты докторской диссертации, приведено доказательство единственности решения обратной задачи ньютоновского потенциала для тела, близкого к заданному, в постановке более общей, чем у исследовавшего ее ранее Л. Н. Сретенского.
В работе [23], посвященной другому кругу задач, дано изящное доказательство
следующего основополагающего результата: для всякого распределения конечных
масс, заполняющих конечную область, существует эквипотенциальное распределение с постоянной плотностью.

Иванов Валентин Константинович
9

Этот результат дал мощный импульс большому числу исследований, выполненных в последующие годы А. В. Цирульским, В. Н. Страховым, С. В. Захаровым,
В. Г. Чередниченко, А. С. Моргулисом.
Из работ, относящихся ко второму направлению исследований, необходимо выделить работу [12], которая существенно обобщила и углубила исследования предшественников (Г. А. Гамбурцева, А. А. Заморева, А. П. Казанского и др.). В ней впервые
даны компактные и, самое главное, общие формулы для определения гармонических
моментов масс (относительно начала координат) внешнего гравитационного поля по
значениям внешнего потенциала V и его нормальной производной ∂V/∂z, заданным
на плоскости z = 0. Эти результаты В. К. Иванова послужили отправной точкой для
целого ряда работ других авторов, прежде всего геофизиков.
Очень важным для теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий являются две небольшие по объему публикации [17, 20], а также упомянутые
выше [25, 26], посвященные обратным задачам логарифмического потенциала, т. е.
третьему направлению. Они породили исключительно богатую литературу по данной
тематике других авторов, математиков и геофизиков. Эта литература содержит сотни наименований, где содержатся различные обобщения результатов В. К. Иванова
и развитие его идей (В. Н. Страхов, А. В. Цирульский, Ю. А. Шашкин, Л. Э. Казакова,
А. А. Чудинова, К. Н. Гурьянова, А. А. Козманова и др.).
В указанных работах В. К. Иванов впервые использовал идею характеризации
односвязной области D, занятой массами, с помощью конформного отображения
единичного круга на область D. Для определения этой функции в случае масс в D
постоянной плотности им было построено интегральное уравнение, названное уравнением обратной задачи логарифмического потенциала, и исследованы условия конечной разрешимости таких задач, когда интегральное уравнение редуцируeтся к системе нелинейных уравнений для определения параметров конформного отображения.
В уже упомянутой выше работе [23] получены очень важные для разведочной
геофизики формулы расстояния от плоскости z = 0 (прямой y = 0) до множества
особенностей потенциала в пространственном и плоском случае.
По мнению многих авторитетных ученых исследования В. К. Иванова в области
обратных задач потенциала имеют для геофизиков непреходяшее значение.
Занимаясь обратной задачей потенциала, В. К. Иванов получил ряд глубоких
результатов в теории аналитических и гармонических функций нескольких переменных [23, 24, 27–32, 34, 36], в частности, им доказаны аналоги теорем Пойа о связи
индикатрисы роста целой функции с опорной функцией выпуклой оболочки особенностей ассоциированной с ней функции [23, 24]. Предложен подход к изучению роста
целых функций многих комплексных переменных [27, 28] и рассмотрены приложения
к суммированию кратных степенных рядов. Столь же значимы его результаты в аналитической теории чисел, связанные с обобщением тождеств Вороного–Харди [31]
и многомерных сумматорных формул Эйлера [34, 36].
Обратные задачи потенциала, как правило, сводятся к решению линейных
и нелинейных уравнений Фредгольма первого рода, которые не удовлетворяют
классическим условиям корректности Адамара. Это обстоятельство, по-видимому,
и предопределило интерес Валентина Константиновича к исследованию общей теории
некорректно поставленных задач и методов их решения в начале 60-х годов.
С помощью введенного В. К. Ивановым понятия квазирешения (см. [33, 37]) как
элемента u, реализующего

min{||Au − f|| : u ∈ K} = ||Au − f||

на компактном множестве K, удалось решить проблему существования (квази) решения и построить первый вариационный метод (известный ныне как метод квазирешений Иванова) конструирования устойчивых приближенных решений операторных

Иванов Валентин Константинович

уравнений первого рода в гильбертовых и нормированных пространствах. Результаты этих работ были обобщены Валентином Константиновичем (см. [41, 44, 46, 58])
и другими авторами (И. Н. Домбровская, О. А. Лисковец) в различных направлениях,
в частности, был построен аналог метода квазирешений для топологических пространств и нелинейных операторов. Необходимо отметить, что метод квазирешений,
наряду с методом регуляризации А. Н. Тихонова, является наиболее востребованным
методом решения широкого класса задач естествознания.
В. К. Иванову также принадлежит обоснование еще одного вариационного метода — метода невязки, идея которого была предложена американским математиком
Д. Филлипсом. В работе [47] для уравнения с нелинейным непрерывным оператором
доказана теорема сходимости метода невязки с использованием идеи компактного вложения. Случай линейного оператора, как непрерывного, так и замкнутого,
был исследован в работах учеников В. К. Иванова (И. Н. Домбровская, В. В. Васин,
В. П. Танана). В. А. Морозовым был предложен связанный с этим методом принцип
невязки в качестве регулярного правила выбора параметра регуляризации в методе
Тихонова.
Дальнейшее направление исследований В. К. Иванова было сосредоточено на
проблеме характеризации множеств равномерной регуляризации и связанной с ней
проблеме оценок погрешности вариационных методов регуляризации.
Полное решение этой проблемы было дано в работе [48], где получен следующий
замечательный результат.
Пусть A — линейный вполне непрерывный оператор. Для того чтобы множество M было множеством равномерной регуляризации, необходимо и достаточно, чтобы оно было представимо в виде алгебраической суммы компакта
и конечномерного пространства.
Знание модуля непрерывности обратного оператора позволяет получить оценку погрешности метода решения операторного уравнения. В совместной работе
с Т. И. Королюк [57] для важного случая, когда оператор задачи коммутирует с информационным оператором, были получены конструктивные формулы для модуля
непрерывности, что позволило создать новый эффективный аппарат в теории оценок
погрешности методов решения некорректно поставленных задач, который широко
использовался в работах учеников Валентина Константиновича и его последователей.
Очень интересна работа [53], в которой для интегральных уравнений Фредгольма сформулированы необходимые и достаточные условия на выбор параметра
регуляризации (в зависимости от погрешности исходных данных) для сходимости
регуляризованных по Тихонову решений в пространствах L2[a, b], C[a, b].
Еще один подход, который развивал В. К. Иванов при построении регуляризованного семейства приближенных решений, основывался на использовании частичных
сумм Фурье при соответствующем выборе числа членов ряда, согласованном с погрешностью исходных данных [48, 55].
Не менее интересным и значительным был вклад В. К. Иванова в развитие устойчивых методов решения неклассических задач математической физики [40, 42, 65].
Исследования по некорректным задачам были подытожены в монографии [82] (в соавторстве с В. В. Васиным, В. П. Тананой), переизданной за рубежом [112].
В. К. Иванов, вместе с А. Н. Тихоновым и М. М. Лаврентьевым, является общепризнанным основоположником теории некорректно поставленных задач — теории,
существенно преобразившей облик современного естествознания. За цикл работ по
теории некорректных задач В. К. Иванову и А. Н. Тихонову в 1966 г. была присуждена
Ленинская премия.
В 1970 г. В. К. Иванов избирается членом-корреспондентом АН СССР по Отделению математики.
С 1961 г. в связи с созданием Свердловского отделения Математического института им. В. А. Стеклова Валентин Константинович Иванов — один из его первых