Аэрогидромеханика

Министерство образования и науки  Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

АЭРОГИДРОМЕХАНИКА

СБОРНИК ЗАДАЧ

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2010

УДК 532 + 533.6](076.1)

А 992

Коллектив авторов

д-р техн. наук, проф. А.А. Кураев,

д-р техн. наук, проф. В.В. Ларичкин,

канд. техн. наук, доц. А.Д. Обуховский,

д-р техн. наук, проф С.Д. Саленко

Рецензенты:

д-р техн наук, доц. Е.Г. Подружин,

канд. физ.-мат. наук, доц. Ю.А. Гостеев

Работа подготовлена на кафедре аэрогидродинамики

А 992
Аэрогидромеханика. Сборник задач / колл. авторов : учеб. 

пособие. – Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2010. – 116 с.

ISBN 978-5-7782-1423-1

УДК 532 + 533.6](076.1)

ISBN 978-5-7782-1423-1
© Коллектив авторов, 2010
© Новосибирский государственный 

технический университет, 2010 

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

а – скорость звука, м/с
b – хорда, м
b0 – корневая хорда, м
bк – концевая хорда, м
bА – средняя аэродинамическая хорда, м
с – толщина профиля, м

/
c
c b – относительная толщина профиля

p

p
p
C
q
– коэффициент давления

ср – коэффициент удельной теплоемкости при постоянном давле
нии, Дж/(кг К)

сv – коэффициент удельной теплоемкости при постоянном объеме, 

Дж/(кг К)

Су – коэффициент нормальной силы
Суа – коэффициент подъемной силы

уа
С
– производная коэффициента подъемной силы по углу атаки,

град.–1, рад.–1

Сх – коэффициент продольной силы
Сха – коэффициент лобового сопротивления
g – ускорение свободного падения, м/с2

I – интенсивность вихря, м2/с
l– размах крыла, длина пути перемешивания, м
mz – коэффициент момента тангажа

z

z

m
m
– производная коэффициента момента тангажа по углу

атаки, град.–1, рад.–1

ya
C
z

z

ya

m
m
C

– производная коэффициента момента тангажа по ко
эффициенту подъемной силы

n – внешняя единичная нормаль к поверхности
p – давление, Н/м2

/ 2 
q
V
– скоростной напор невозмущенного потока, Н/м2

S – площадь, м2

Т – абсолютная температура, К
Vх, Vу, Vz – составляющие вектора скорости вдоль соответствующих 

осей координат, м/с

V – скорость невозмущенного потока, м/с
хF – координата фокуса, м
хд – координата центра давления, м

– угол атаки; градус, радиан

0 – угол атаки при Суа = 0, градус, радиан

Г – циркуляция скорости, м2/с

– толщина пограничного слоя, м
* – толщина вытеснения, м
– удлинение, приведенная скорость

k = ср/сv – показатель адиабаты 

– коэффициент динамической вязкости, Н с/м2

= / – коэффициент кинематической вязкости, м2/с
– плотность, кг/м3

– потенциал скорости; угол поперечного V крыла, градус, радиан
– функция тока

– угол стреловидности по линии по 1

4 хорд, град.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник задач составлен в соответствии с программой курсов по 

аэрогидромеханике, аэродинамике и прикладной гидродинамике, читаемых на факультете летательных аппаратов НГТУ.

Решение задач будет способствовать усвоению теории и приобре
тению практических навыков выполнения оценочных расчетов по читаемому курсу. В сборник включен также  ряд задач повышенной 
трудности (обозначены звездочкой), которые могут быть использованы 
для углубленной подготовки студентами, специализирующимися по 
кафедре аэрогидродинамики. В пособии приведены задачи, составленные авторами, и задачи из известных задачников (см. список литературы).

При решении задач следует по возможности объяснить физический 

смысл полученного результата. Прежде чем подставлять числовые 
значения, рекомендуется выполнять выкладки в буквенном виде. Расчеты должны производиться в Международной системе единиц (СИ).

Если в условии задачи не оговариваются параметры среды, то при 

решении следует принимать нормальные условия по таблице МСА 
(табл. П1).

1. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Уравнение неразрывности в дифференциальной форме, отражаю
щее закон сохранения количества вещества применительно к неустановившимся течениям ожидаемой жидкости, имеет вид

div
0
V
t
.

Для установившегося течения несжимаемой жидкости ( = const)

уравнение неразрывности представляется в форме

div
0
V
,  или 
0

y
x
z
V
V
V

x
y
z

.

Для потока сжимаемой жидкости в канале переменного сечения 

уравнение неразрывности означает, что массовый расход жидкости 
вдоль струйки тока неизменен

cp
 
 
const
G
V
S
, или 
1
1cp
1
2
2cp
2
V
S
V
S .

Для несжимаемой жидкости в этом случае уравнение неразрывно
сти выражает условия постоянства объемного расхода вдоль струйки 
тока

cp  
const
Q
V
S
, или 
1 1
2
2
V S
V S .

Согласно теореме Коши–Гельмгольца движение бесконечно малой 

жидкой частицы можно представить как результат сложения трех движений: поступательного, вращательного, деформационного:

пост
вр
деф
V
V
V
V
,

где 
деф
V
– скорость деформационного движения; 
вр
V
r , 
1 rot
2
V –

угловая скорость вращательного движения ( rotV – ротор, или вихрь 
скорости). 

Составляющие и модуль вектора угловой скорости определяются 

по формулам:

1
2

y
z

x

V
V
y
z
, 
1
2

x
z

y

V
V

z
x
, 

1
2

y
x

z

V
V

x
y
,  
2
2
2

x
y
z ,

где 
деф
V
– скорость деформационного движения.

Потенциальным, или безвихревым, называется течение, в котором 

мгновенная угловая скорость вращения частицы жидкости везде равна 
нулю, т.е. 
0
x
y
z
, или 

y
z
V
V
y
z

, 
x
z
V
V

z
x , 

y
x
V
V

x
y

.

Потенциалом скорости называется функция 
(x, y, z), для которой 

справедливы соотношения

V = grad
,

или 

x
V
x , 
y
V
y , 
z
V
z .

Потенциальные течения наблюдаются в потоках как несжимаемой, 

так и сжимаемой жидкости. В случае несжимаемой жидкости потенциал скорости удовлетворяет уравнению Лапласа

2
2
2

2
2
2
0
x
y
z

и носит название гармонической функции. Плоскими потенциальными 
течениями называются  течения, не зависящие от одной из координат 
(например, от Z). В этом случае уравнение неразрывности

0

y
x
V
V
x
y

удовлетворяется при условии существования так называемой функции 
тока 
= 
(х, у), такой что 

x
V
y ,  
y
V
x .

Потенциал скорости 
и функция тока 
удовлетворяют уравнени
ям Коши–Римана

x
y ,  y
x .

В цилиндрической системе координат (r, ) эти уравнения выгля
дят следующим образом:

1

r
V
r
r
,  
1
V
r
r .

Жидкая частица при своем движении описывает траекторию. Ли
нией тока называется воображаемая линия внутри движущейся жидкости, обладающая тем свойством, что частица жидкости, находящаяся 
на ней в данный момент времени, имеет скорость, совпадающую по 
направлению с касательной к этой линии.

При установившемся движении линии тока и траектории тождест
венны. Дифференциальные уравнения линий тока имеют вид

x
y
z

dx
dy
dz

V
V
V

.

В плоском потенциальном течении уравнение линии тока

= const, или 
0
d
dx
dy
dz
x
y
z
.

Объемный расход жидкости Q между двумя линиями тока равен 

разности значений функций тока для этих линий:

Q = 
2 –
1.

Уравнение эквипотенциальной поверхности (в плоском случае –

линии равного потенциала) записывается в виде

= const, или   
0
d
dx
dy
x
y
z
.

Линии тока и линии равного потенциала образуют взаимно ортого
нальные семейства линий, так называемую гидродинамическую сетку, 
поскольку

grad
grad
= 0.

Два потока, которые описываются функциями 
и 
, называются 

сопряженными.

В плоскопараллельном потоке со скоростью V, совпадающей с 

осью х, потенциал скорости и функция тока будут иметь вид

= Vx + c,
= Vу + с.

Для плоского течения с источником и стоком с расходом 
Q

(рис. 1.1)  (« » для источника и « » для стока) составляющие скорости,  
потенциал скорости  и функция тока представляются в виде

2

r

Q
V
r , V = 0,   
rV
r
s
r
,

2
2
,
ln
ln
2
2

Q
Q
x y
r
x
y ,

,
arctg
2
2

Q
Q
y
x y
x ,   

2
2
sin
2

y
r

Q
y
V
V
r
x
y

,

2
2
cos
2

x
r

Q
x
V
V
r
x
y

.

Источник

Vr
Vy
y

r

x

Vx

Рис. 1.1

Основываясь на свойстве аддитивности как потенциала скорости, 

так и функции тока, можно методом наложения «простых» течений 
получить результирующее «сложное» течение. В этом случае  

= 
1 + … +
n ,
= 
1 + … +
n,

где 
и 
– потенциал скорости и функция тока результирующего те
чения. Примером сложного течения является диполь с моментом
М = Q х, т. е. источник и сток с секундными расходами 
Q, помещен
ные на бесконечно малом расстоянии х друг от друга, когда х
0,

Q
, Q х = const.

Для дипольного течения

дип
2
2

cos

2
2

M
x
M

x
y
r
,

дип
2
2

sin

2
2

M
y
M

x
y
r
.