Высшая геометрия

Н.В. Ефимов




                ВЫСШАЯ ГЕОМЕТРИЯ





ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ, СТЕРЕОТИПНОЕ

Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей высших учебных заведений










МОСКВА фИЗМАТЛИТ 2003

УДК 514.1
ББК 22.151.1
      Е 91

    Е ф и м о в Н. В. Высшая геометрия. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 584 с. — ISBN 5-9221-0267-2.
    Перед вами прекрасная книга, в которой с редкой ясностью и яркостью излагаются основы геометрии — евклидовой и неевклидовой, проективной геометрии, геометрии постоянной кривизны. Эта книга — классический учебник, выдержавший семь изданий, отличается методически продуманным и умело распределенным материалом и остается современной и своевременной.
    Для студентов и аспирантов всех математических специальностей, физиков и информатиков, лекторов геометрических курсов, математиков-исследователей.
    Ил. 191.





Учебное издание

ЕФИМОВ Николай Владимирович
ВЫСШАЯ ГЕОМЕТРИЯ



Редактор И.Л. Легостаева
Оригинал-макет: В.Е. Рокотян
Оформление переплета: А.Ю. Алехина


ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 02.04.03. Формат 60x90/16.
Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 36,5. Уч.-изд. л. 39,25. Заказ № 10891

Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru

Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6





ISBN 5-9221-0267-2

ISBN 5-9221-0267-2

© ФИЗМАТЛИТ, 2003, 2004
                       © Н. В. Ефимов, 2003, 2004

ОГЛАВЛЕНИЕ




ПРЕДИСЛОВИЕ...............................................6

I ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ                                     9

I.  КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ
    ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ.............................. 9
   § 1. Аксиомы Евклида.................................. 9
   §2.  Пятый постулат.................................. 14
   § 3. Н. И. Лобачевский и его геометрия............... 30
   § 4. Формирование понятия геометрического пространства .... 33

II. АКСИОМЫ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ...................... 39
   § 1. Геометрические элементы ........................ 39
   § 2. Группа I. Аксиомы связи......................... 39
   § 3. Группа II. Аксиомы порядка...................... 42
   § 4. Следствия из аксиом связи и порядка............. 43
   § 5. Группа III. Аксиомы конгруэнтности.............. 51
   § 6. Следствия из аксиом I—III....................... 55
   § 7. Группа IV. Аксиомы непрерывности................ 68
   § 8. Группа V. Аксиома параллельности. Абсолютная геометрия . 81

III. НЕЕВКЛИДОВА ТЕОРИЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ.................... 85
   § 1. Определение параллельных по Лобачевскому........ 85
   § 2. Особенности расположения параллельных и расходящихся прямых............................................... 96
   § 3. Функция Лобачевского П(х).......................101
   § 4. Прямые и плоскости в пространстве Лобачевского..105
   § 5. Эквидистанта и орицикл..........................112
   § 6. Эквидистантная поверхность и орисфера...........122
   § 7. Элементарная геометрия на поверхностях пространства Лобачевского ..........................................127
   § 8. Площадь треугольника............................138
   § 9. Доказательство логической непротиворечивости геометрии Лобачевского ..........................................149
   § 10. Основные метрические соотношения в геометрии Лобачевского ...............................................169
   § 11. Краткие сведения о геометрии Римана............183

Оглавление

IV. ИССЛЕДОВАНИЕ АКСИОМ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГЕОМЕТРИИ 192
   § 1. Три основные задачи аксиоматики...................192
   § 2. Непротиворечивость аксиом евклидовой геометрии....196
   § 3. Доказательство независимости некоторых аксиом евклидовой геометрии..............................................211
   § 4. Аксиома полноты...................................222
   § 5. Полнота системы аксиом евклидовой геометрии.......227
   § 6. Аксиоматический метод в математике................230

II ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ                                  232

V. ОСНОВЫ ПРОЕКТИВНОЙ ГЕОМЕТРИИ.......................... 232
   § 1. Предмет проективной геометрии.....................232
   § 2. Теорема Дезарга. Построение гармонических групп элементов 238
   § 3. Порядок точек на проективной прямой ..............251
   § 4. Разделенность гармонических пар; непрерывность гармонического соответствия...................................259
   § 5. Аксиома непрерывности. Проективная система координат на прямой.................................................266
   § 6. Проективная система координат на плоскости и в пространстве ..................................................278
   § 7. Проективное соответствие между элементами одномерных многообразий .............................................291
   § 8. Проективное соответствие между многообразиями двух и трех измерений .............................................301
   § 9. Аналитические представления проективных отображений. Инволюция ...............................................311
   § 10. Формулы преобразования проективных координат. Сложное отношение четырех элементов............................328
   § 11. Принцип двойственности...........................338
   § 12. Алгебраические кривые и пучки. Алгебраические поверхно       сти и связки. Комплексная проективная плоскость и комплексное проективное пространство .................352
   § 13. Образы второй степени. Теория поляр..............361
   § 14. Конструктивные теоремы и задачи проективной геометрии . . 377

VI. ТЕОРЕТИКО-ГРУППОВЫЕ ПРИНЦИПЫ ГЕОМЕТРИИ. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ..................................... 405
   § 1. Геометрия и теория групп..........................405
   § 2. Проективная группа и ее основные подгруппы........410
   § 3. Геометрии Лобачевского, Римана и Евклида в проективной схеме .................................................423

Оглавление

5

VII. ПРОСТРАНСТВО МИНКОВСКОГО.......................... 441
   § 1. Многомерное аффинное пространство...............441
   § 2. Евклидовы пространства и пространство Минковского .... 458
   § 3. Пространство событий специальной теории относительности . 473

III ГЕОМЕТРИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ 491

VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА НЕЕВКЛИДОВОЙ МЕТРИКИ .................................................. 491
   § 1. Метрическая форма евклидовой плоскости..........491
   § 2. Вычисление расстояния между двумя точками на плоскости Лобачевского.........................................496
   § 3. Метрическая форма плоскости Лобачевского........508
   § 4. Внутренняя геометрия поверхности и задача Бельтрами . . . 525
   § 5. Геометрия на поверхности постоянной кривизны....532
   § 6. Вывод основных метрических соотношений в геометрии Лобачевского ..........................................545

IX. ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ГЕОМЕТРИИ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ .............................................. 551
   § 1. Двумерные многообразия с дифференциально-геометрической
       метрикой.........................................551
   § 2. Параболические пространственные формы ..........560
   § 3. Эллиптические пространственные формы............567
   § 4. Гиперболические пространственные формы..........570
   § 5. Теорема Гильберта...............................576

Предисловие к шестому изданию


   В настоящее издание внесены некоторые изменения текста пятого издания на страницах 53 (где несколько усилена аксиома III.4) и 431. Они сделаны по совету А. М. Заморзаева, которому приношу глубокую благодарность.

   12 июля 1977 г.



Н. Ефимов

Предисловие к пятому изданию


   В настоящее (пятое) издание внесены небольшие изменения в отдельных местах книги, где, как нам представлялось, требовались поправки и некоторые улучшения прежнего текста.

  7 июля 1970 г.



Н. Ефимов

Предисловие к четвертому изданию


   В настоящее издание включена новая глава VII, посвященная пространствам Минковского и основам специальной теории относительности. Эта глава в известной мере примыкает к главам V и VI где излагаются проективная геометрия и теоретико-групповые вопросы, но по существу ее изложение построено независимо от остального материала книги (в ней используются лишь готовые результаты главы V для доказательства линейности преобразований Лоренца). Что касается других разделов, то они, в основном, остались без изменений, если не считать местных исправлений и улучшений (которых, однако, довольно много).
   Автор выражает благодарность Нгуен Кан Тоану (Вьетнам), И. А. Вайнштейну и А. М. Заморзаеву за полезные замечания и рекомендации к четвертому изданию.
   26 февраля 1961 г.                               Н. Ефимов

Предисловие

7

Предисловие к третьему изданию


   В третьем издании книги сделано множество отдельных исправ

лений и улучшений текста. Кроме того, написаны два новых раздела главы III: “Основные метрические соотношения в геометрии Лобачев

ского” и “Краткие сведения о геометрии Римана”. Дифференциально

геометрический материал отнесен в конец книги.
   Среди отдельных изменений текста следует отметить изменение формулировки аксиомы Кантора. В первом издании книги была принята несколько усиленная по сравнению с обычной формулировка этой аксиомы. Во втором издании при сохранении той же формулировки включен (в главе IV) пример неархимедовой геометрии, в которой имеет место предложение Кантора. Однако указанный пример основан на обычной формулировке канторовской аксиомы. На этот дефект обратил мое внимание А. Д. Александров. В насто




ящем издании аксиома Кантора дана в обычной формулировке. Ряд других дефектов изложения исправлен благодаря рецензии П.К. Рашевского, опубликованной в “Советской книге” от 10 октября 1949 года. Для подготовки третьего издания весьма существенным было обсуждение книги (повторное, после второго издания) на семинаре В. Ф. Кагана в МГУ.




   Несколько слов по поводу использования книги в качестве учебного пособия по курсу оснований геометрии. В настоящем издании основной материал расположен в первых двух частях. В книге этот материал излагается систематически, почти без пропусков деталей рассуждений (за исключением доказательства некоторых теорем элементарной геометрии). Само собой разумеется, что в лекционном изложении такая детализация нецелесообразна (даже если бы на курс было отведено много часов). Наиболее трудоемкой является глава II

первой части; мне кажется, что из этой главы на лекциях следует изложить формулировки аксиом и примеры строгого доказательства

некоторых теорем; кроме того, следует достаточно подробно остановиться на наиболее принципиальных моментах, каковыми являются: измерение длин, эквивалентность аксиом Архимеда и Кантора аксио

ме Дедекинда и значение этих аксиом для обоснования аналитической геометрии. Доказательства большинства начальных теорем элементарной геометрии целесообразно отнести к самостоятельной работе

студентов с проверкой на консультациях, на семинарских занятиях

или на математическом кружке.
   Глава III (геометрия Лобачевского) легко поддается лекционному изложению, и материал этот студенты обычно слушают с удовольствием. Но и здесь многие вспомогательные теоремы можно дать без доказательства. Напротив, логическую непротиворечивость геомет

Предисловие

рии Лобачевского, мне кажется, следует доказать со всей подробностью как один из наиболее принципиальных вопросов курса (именно здесь целесообразно использовать точные формулировки аксиом и точно сформулировать полученный результат). Что касается главы IV, то здесь можно ограничиться общим обзором; понятие неполной аксиоматики достаточно иллюстрировать примером первой группы аксиом с реализацией на тетраэдре. Если материал главы IV излагать более подробно, то я рекомендовал бы остановиться на неархимедовых системах (с предварительным кратким изложением сущности декартовой реализации всех аксиом). Проективные понятия в курсе оснований геометрии, естественно, должны играть подсобную роль. Соответственно этому, мне кажется, из главы V достаточно взять построение проективных координат на прямой и на плоскости (опустив доказательство непрерывности гармонического соответствия и доказательство плотности проективной шкалы), аналитическое представление проективных соответствий (исключая трехмерный случай) и теорию поляр. Главу VI я рекомендовал бы изложить полностью. Материал третьей части может быть использован в работе математических кружков и семинаров.

   15 апреля 1953 г.                              Н. Ефимов

Часть I


            ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ









Глава I

КРАТКИЙ ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ОСНОВАНИЯМ ГЕОМЕТРИИ




§ 1. Аксиомы Евклида

   1.   Возникновение геометрических представлений относится к весьма отдаленным временам. Начальное оформление их обычно связывают с древнейшими культурами Вавилона и Египта.
   С VII века (до нашей эры) начинается период развития геометрии трудами греческих ученых. В VI и V веках было получено много основных геометрических фактов. К этому же времени, видимо, сложилось понятие о доказательстве теорем.
   В III столетии греки обладали уже глубокими геометрическими знаниями, причем они имели не только накопленный запас фактов, но и методы геометрических доказательств. Естественно поэтому, что в этот период возникли попытки собрать весь этот материал и расположить его в логически связном порядке.
   Изложение начал геометрии предпринималось многими греческими авторами, сочинения которых до нашего времени не дошли. Невидимому, они были забыты после появления знаменитых “Начал” Евклида.