Замечательные кривые

Е.А.ДОБРИНА, О.А.САВВИНА

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ

Учебное пособие

Елец - 2005

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ЕЛЕЦКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. БУНИНА









Е. А. Добрина, О. А. Саввина




                ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ КРИВЫЕ





        Учебное пособие











Елец - 2005

УДК 514.74
ББК 22.15
    Д 55

Печатается по решению редакционно-издательского совета Елецкого государственного университета имени И. А. Бунина от 30. 11. 2005 г., протокол №5




Научный редактор:
        доктор педагогических наук профессор Н. Г. Подаева


Рецензенты:
кандидат физико-математических наук И. А. Елецких (Елецкий государственный университет им. И. А. Бунина); кандидат педагогических наук доцент О. В. Тарасова (Орловский государственный университет)





     Добрина Е.А., Саввина О.А.
Д 55 Замечательные кривые: учебное пособие. - Елец: ЕГУ им.
      И.А. Бунина, 2005. - 74 с.
     В настоящем издании излагаются элементы аналитической геометрии сквозь призму изучения наиболее популярных кривых.
      Основная цель книги - облепить подготовку учителя к проведению элективных курсов, поэтому пособие предназначено, в первую очередь, преподавателям средних школ. Насыщенность материала книги историческими сведениями и интересными фактами из области естествознания отличает это издание от других и придает ему направленность на широкий круг читателей.
                                                     УДК 514.74
                                                     ББК 22.15




                               © Елецкий государственный университет им. И.А.Бунина, 2005
                               © Е.А. Добрина. О.А. Саввина. 2005


ВВЕДЕНИЕ


    В 60-х гг. XX столетия в советскую школу была внедрена новая форма организации образовательного процесса - факультативы. Являясь более гибкой формой обучения, факультативы давали возможность полнее отразить в школьном образовании новые достижения науки, позволяли более важное место в обучении отвести выполнению учащимися творческих заданий, выработке навыков самостоятельного поиска знаний. Факультативные занятия, по сути, стали творческой лабораторией учителя, в которой опробовалось не только новое содержание образования, но и новые формы и методы преподавания.
    В настоящее время в связи с реализацией «Концепции модернизации российского образования на период до 2010г.» факультативные занятия утратили свой статус и свое предназначение. На смену факультативным занятиям в школу пришла новая форма организации обучения - элективные курсы, основная задача которых состоит в обеспечении профильного обучения на старшей ступени школы.
    В 2003 г. Департамент общего и дошкольного образования Министерства образования и науки Российской Федерации направил информационное письмо об элективных курсах в системе профильного обучения на старшей ступени общего образования. В нем говорилось: «Элективные курсы (курсы по выбору) играют важную роль в системе профильного обучения на старшей ступени школы. В отличие от факультативных курсов, существующих ныне в школе, элективные курсы - обязательны для старшеклассников».
    Элективные курсы как бы ’’компенсируют” во многом достаточно ограниченные возможности базовых и профильных курсов в удовлетворении разнообразных образовательных потребностей старшеклассников.
    Однако широкий спектр и разнообразный характер элективных курсов поставил некоторые школы и отдельных преподавателей в затруднительное положение, определяемое как нехваткой педагоги

з

ческих кадров, так и отсутствием соответствующего учебно-методического обеспечения. В связи с этим и возникла идея создания учебно-методического пособия по элективному курсу «Замечательные кривые».
    В основу пособия положен факультативный курс «Замечательные кривые», который был разработан одним из авторов (Е. А. Добриной) в 2002-2003 гг., и фрагменты которого были опробованы в МОУ СОШ № 22 г. Ельца в 2003-2004 уч. г.
    В пособии рассматривается содержание элективного курса, а также приводится другое методическое обеспечение - программа, дидактические материалы, примерные конспекты занятий.
    Выбор тематики курса обусловлен тем, что именно в обучении аналитической геометрии (методы которой красной нитью проходят через всё содержание пособия) в школе и вузе наблюдается наибольшая рассогласованность.
    Представленный элективный курс вносит определенный вклад в реализацию преемственности в геометрическом образовании в системе школа-вуз.
    Материал данного пособия распределяется между авторами следующим образом: Введение и Тема 1 подготовлены О. А. Саввиной, Тема 2, Тема 3 и раздел «Методическое обеспечение» составлены Е. А. Добриной.

ТЕМА 1. ЧТО ИЗУЧАЕТ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ? ПОНЯТИЕ О МЕТОДЕ КООРДИНАТ



    Появление аналитической геометрии в XVII веке было подготовлено длительным периодом открытий в геометрии, алгебре, изучении отдельных кривых.
    Надо заметить, что в XVII веке под аналитическими понимались всякие приложения алгебры к геометрии. Теперь под аналитической геометрией подразумевают метод рассмотрения задач на основе понятия координат. Именно такое название - «аналитическая геометрия» - для книги использовал Ньютон «Geometria Analytica» (написана в 1671 г., опубликована в 1736 г.), а также и Лакруа в 1801 г. («Elements de geometric analytique», 1801 г.).
    Начало аналитической геометрии, в современном понимании этой науки, было положено в работах великих французских математиков - П. Ферма¹ «Введение в теорию плоских и простран


Ферма (Fermat) Пьер (17.8.1601- 12.1.1665), французский математик. По профессии юрист: с 1631 был советником парламента в Тулузе. Автор ряда выдающихся работ, большинство из которых было издано после смерти Ф. его сыном, - «Различные сочинения» (1679); при жизни Ферма полученные им результаты становились известны учёным благодаря переписке и личному общению.
Ферма является одним из создателей теории чисел, где с его именем связаны две знаменитые теоремы: Ферма великая теорема и Ферма малая теорема. В области геометрии Ферма в более систематической форме, чем Р. Декарт, развил метод координат, дав уравнения прямой и линий второго порядка и наметив доказательство положения о том, что все кривые второго порядка - конического сечения. В области метода бесконечно малых систематически изучил процесс дифференцирования, дал общий закон дифференцирования степени и применил этот закон к дифференцированию дробных степеней. В подготовке современных методов дифференциального исчисления большое значение имело создание им правила нахождения экстремумов. Своими работами Ферма оказал большое влияние на дальнейшее развитие математики. В области физики с именем Ферма связано установление основного принципа геометрической оптики.

5

4