Электродинамика

УДК 621.371: 537.86 (075.8) 
ББК 32.845 
     С61 

 
 
Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор  В. А. Давыдов;  
доктор техн. наук  М. Д. Воробьёв  
 
Сомов А. М., Старостин В. В., Бенеславский С. Д. 
   С61         Электродинамика: Учебное пособие / Под ред. А. М. Сомова. − 
М.:  Горячая линия–Телеком, 2011. – 198 с.: ил.  
ISBN 978-5-9912-0155-1. 
В книге изложены вопросы теории электромагнитных волн под углом 
зрения применения основных её положений в технике СВЧ и антеннах. 
Рассмотрены вопросы излучения, распространения, преломления, отражения и возбуждения таких волн в свободном пространстве и в направляющих системах. 
Для студентов, обучающихся по специальностям 090106 – «Информационная безопасность телекоммуникационных систем», 090107 – «Противодействие техническим разведкам», направлению подготовки 090900 – 
«Информационная безопасность» (профиль «Безопасность телекоммуникационных систем»), будет полезна студентам телекоммуникационных и 
радиотехнических специальностей, аспирантам и специалистам в области 
инфокоммуникаций и защиты информации.  
ББК 32.845 
 
 
Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

 
Учебное издание 

Сомов Анатолий Михайлович 
Старостин Владимир Васильевич 
Бенеславский Сергей Дмитриевич 
 
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА 
Учебное пособие  

Книга  подготовлена при поддержке  грантов Президента Российской Федерации  
НШ-5.2008.10 и НШ-24.2010.10 

Редактор  Ю. Н. Чернышов 
Компьютерная верстка  Ю. Н. Чернышова 
Обложка художника  В. Г. Ситникова 

Подписано в печать  25.09.2010.  Печать офсетная. Формат 60×88/16. Уч. изд. л. ….  Тираж 500 экз. 
 
ISBN  978-5-9912-0155-1                                            © А. М. Сомов, В. В. Старостин,  
С. Д. Бенеславский, 2011 
   © Издательство  Горячая линия–Телеком, 2011  

Введение

В предлагаемом Вашему вниманию учебном пособии рассматриваются основы классической, или как её ещё называют, макроскопической теории электромагнитного поля, а также её приложений для
решения задач возбуждения, излучения и распространения радиоволн
в неограниченных средах и направляющих системах. В этой классической теории электромагнитного поля среда распространения электромагнитных волн характеризуется некоторыми усредненными параметрами, что позволяет отвлечься от её дискретной микроскопической
структуры, имеющей место в действительности.
Предложенный подход может использоваться для решения инженерных задач до тех пор, пока размеры рассматриваемых областей
пространства во много раз больше размеров атомов и молекул.
Для описания электромагнитных процессов, происходящих в
микромире, была развита специальная квантовая теория поля. Интересующая же нас практическая радиотехника в большинстве случаев
имеет дело с макроскопическими явлениями, поэтому представляемая
здесь теория электромагнитного поля является научной базой для целого ряда радиотехнических дисциплин, таких, как распространение
радиоволн, антенные и фидерные устройства, электроника СВЧ, радиолокация, радиоастрономия и т.д.
Что же имеется в виду под термином «электромагнитное поле»?
Современная наука говорит о том, что в природе материя может существовать в двух модификациях: в форме вещества и в форме физических полей. Самым общим определением электромагнитного поля
является утверждение о том, что этот вид поля является одним из
существующих в природе физических полей, и в то же время это одна
из общих форм существования материи.
Кроме электромагнитного поля, существуют и другие физические
поля, например гравитационные, внутриядерные. Хотя природа этих
полей к этому времени изучена по сравнению со свойствами электромагнитного поля меньше, однако имеются многие факты, свидетельствующие об их взаимной связи. В связи с этим учёный-физик Альберт
Эйнштейн последние десятилетия своей научной деятельности посвятил созданию единой теории поля, охватывающей и включающей в
себя все известные виды полей. В настоящее время ведущие физики
современной науки продолжают эту сложную и напряжённую работу.

Введение

Следует отметить, что в настоящее время научно доказана материальная сущность всех известных полей, в том числе и исследуемого
электромагнитного поля, поскольку оно обладает массой и удовлетворяет определенным качественным и количественным соотношениям,
которые рассматриваются далее в предлагаемом Вашему вниманию
учебном пособии.
Теория электромагнитного поля исторически складывалась, осваивалась практикой и развивалась вначале в рамках создаваемой
теоретической электротехники, а затем в XX и XXI веках — её дальнейшего продолжения — радиотехники. Основоположниками этой
теории электромагнитного поля по праву можно считать выдающихся
физиков XIX века — англичан М. Фарадея и Д. Максвелла, а также
академика Петербургской Академии Э.Х. Ленца.
Майкл Фарадей в 1830 году открыл чрезвычайно важное для теории и практики электромагнитного поля явление электромагнитной
индукции, впервые экспериментально доказал взаимную связь между магнитным и электрическим полями. Он так же открыл явление
поворота плоскости поляризации оптической волны при её прохождении через кристалл исландского шпата, помещенный в постоянное
магнитное поле (1846 г.), называемое в честь автора, его открывшего,
эффектом Фарадея.
В радиотехнике имеет место такое же явление поворота плоскости поляризации при прохождении радиоволн через ионосферу Земли
вдоль меридианов, совпадающих по направлению с направлением силовых линий магнитного поля. Эммануил Ленц (1833 г.) установил
один из основных принципов электродинамики — принцип инерции
электромагнитного поля, получивший название принципа Ленца.
Дж.К. Максвелл провёл анализ накопленных экспериментальных
данных, обобщил и широко развил идеи, высказанные и экспериментально полученные Фарадеем и Ленцем, придал им строгую математическую форму, объединил в единую и стройную теорию электромагнитного поля (1865 г.). Основой этой теории является совокупность
двух основных законов, описываемых системой дифференциальных
уравнений электромагнитного поля, называемых уравнениями Максвелла.
В самом начале появления теория электромагнитного поля Максвелла была встречена научным сообществом с недоверием, однако
опыты Генриха Герца, проведённые в 1888 году, окончательно утвердили право на её существование. Генрих Герц ещё далее развил теорию Максвелла и именно он придал ей современный математический
вид. Результаты опытов, проведённых Герцем, напрямую подвели к

Введение
5

мысли о возможности создания беспроводной линии передачи информации на расстояние — к созданию радиосвязи, однако в то время
сам Герц относился к этому возможному практическому применению
своей теории весьма скептически. Честь открытия практического радиоприёма, а значит и радио, принадлежит нашему соотечественнику Александру Степановичу Попову. Именно он 5 мая 1895 г. впервые продемонстрировал возможность радиоприема электромагнитного излучения грозовых разрядов молний, а уже в следующем году
А.С. Попов с использованием изобретенной им антенны осуществил и
радиосвязь на заметном для того времени расстоянии (250 м).
Большой вклад в развитие теории электромагнитного поля внес
профессор Московского университета П.Н. Лебедев, экспериментально измеривший (1899 г.) давление световых волн, являющихся частным случаем электромагнитного поля, тем самым подтвердивший
фундаментальный вывод теории Максвелла — материальность электромагнитного поля.
Свой вклад в развитие теории электромагнитного поля, а также
в инженерную практику её применения, внесли и вносят российские
ученые. Здесь следует отметить академиков Шулейкина, Введенского,
Щукина, Фока, Пистолькорса, Богомолова, профессора Айзенберга,
Калинина и многих других ученых.
Этот вклад высоко оценен мировым сообществом и многим фундаментальным соотношениям присвоены имена их первооткрывателей: формулы Шулейкина — Ван-дер-Поля, Введенского, Фока, граничные условия Леонтовича — Щукина, эффект Кабанова, двойная
ромбическая антенна Айзенберга и т.д.
Электромагнитное поле характеризуется векторными характеристиками, поскольку имеет как величину, так и направление воздействия, а прежде всего, векторами напряженности электрического и магнитного полей (векторами ⃗E и ⃗H), поэтому эта теория опирается на
математический аппарат векторного анализа.
Основные понятия и
соотношения векторного анализа для напоминания кратко приведены
в приложениях.
Далее будут рассматриваться закономерности двух видов полей
скалярных и векторных в их зависимости от времени. Для этих полей могут быть образованы так же и пространственные производные,
показывающие наибольшую скорость и направление изменения рассматриваемой функции в пространстве. В этих полях пространственные производные образуются как предел отношения поверхностного
интеграла от рассматриваемой функции по замкнутой поверхности к
объему этой поверхности.

Введение

В случае стремления объема к нулю (т.е. стягивания поверхности в точку), элементарная площадка поверхности считается вектором,
величина которого равна площади площадки, а направление действия
совпадает с направлением внешней нормали к поверхности интегрирования.
В скалярном поле такая объемная производная оказывается вектором, называется градиентом, и ее направление показывает направление наибольшего изменения скалярной функции в пространстве.
Если изменения направление вектора известно, то градиент равен произведению производной функции по этому направлению на его единичный вектор.
В векторном поле рассматриваются два произведения вектора и
элементарной площадки, которую он пересекает, — скалярное и векторное. Соответственно существуют также две производные, характеризующие поле: дивергенция, в которой в подинтегральном выражении фигурирует скалярное произведение, и ротор, в котором фигурирует векторное произведение.
Дивергенция при этом является
скалярной, а ротор — векторной величиной. Дивергенция показывает
наличие в рассматриваемой точке источников или стоков поля (термины заимствованы из теории гидродинамики), а ротор направлен
перпендикулярно вектору поля и показывает наличие «вихря», т.е.
изменения величины вектора поля в направлении, перпендикулярном
плоскости, проходящей через вектор поля и ротор.
Для определения объёмных производных от сложных функций удобно использовать символический вектор — вектор Гамильтона.
Обычно выделяются для рассмотрения в теории два частных вида
векторных полей: соленоидальное (без наличия источников) в котором дивергенция равна нулю, и потенциальное (безвихревое) в котором ротор равен нулю. Любое векторное поле может рассматриваться
как сумма этих соленоидного и потенциального полей.
Учебное пособие содержит семь глав.
В первой главе рассматриваются начальные основы теории электромагнитного поля, приводятся основные законы электро- и магнитостатики, а также базовые определения векторных и скалярных величин, характеризующих
электрическое и магнитное поля, рассматриваются электрические и
магнитные параметры среды.
Затем описывается содержание и история развития идей Фарадея, Ленца и Максвелла, оформленных в виде системы дифференциальных уравнений для описания закономерностей электромагнитного
поля. Анализируются также общие свойства этих полей, рассматриваются энергетические соотношения в электромагнитном поле (теорема

Введение
7

Умова — Пойнтинга), граничные условия для векторов напряжённости электрического и магнитного полей. Затем приводится решение
волновых уравнений поля для комплексных амплитуд с помощью скалярного и векторного потенциалов, а также вектора Герца.
Такая же методика используется и далее для решения общей задачи об излучении электромагнитных волн при заданных источниках.
Формулируется теорема об эквивалентных источниках поля (принцип
Гюйгенса — Френеля).
Во второй главе рассматривается структура поля при излучении
электромагнитных волн элементарными источниками: элементарным
вибратором и элементарной рамкой.
Основное внимание при этом
уделяется изучению свойств полей в дальней (волновой) зоне. Для
анализа полей излучения элементарной рамки используется перестановочная двойственность уравнений поля, предложенная А.А. Пистолькорсом.
В третьей главе рассмотрены особенности структуры поля при
распространении плоских электромагнитных волн в различных средах и их поляризационные свойства. Рассматривается случай распространения сигнала в физической среде с дисперсией фазовой скорости распространения; поясняются различие фазовой и групповой
скоростей; анализируются частные случаи дисперсии.
В четвертой главе изучаются общие законы преломления и отражения плоских волн на границе двух сред с различающимися параметрами. Основное внимание уделяется преломлению и отражению
волн на границе диэлектрик — диэлектрик и диэлектрик — проводник, рассматриваются явления полного прохождения и полного отражения волны.
В последнем случае анализируется возникновение
во второй среде поверхностных волн и выясняются их свойства. Для
границы диэлектрик — хороший проводник анализируются приближенные граничные условия Леонтовича — Щукина и указываются
области их практического использования.
В пятой главе рассматриваются общие свойства направляемых
волн, делается попытка их классификации как по типу направляющих
систем, так и по свойствам и структуре распространяющихся полей.
Здесь же рассмотрены волны в полосковых и коаксиальных линиях
передачи, где основное внимание уделено Т-волнам.
В шестой главе рассмотрены волны в металлических волноводах — прямоугольного и круглого поперечного сечения, а также в
радиальном волноводе. Основное внимание уделено волне типа H10
в прямоугольном волноводе, приведены структуры её полей и поверхностных токов, поясняется принцип действия и особенности других

Введение

элементов волноводных трактов. Волны в волноводах круглого поперечного сечения рассмотрены более кратко; указаны особенности
структуры полей и определены области применения таких волноводов. Рассмотрены волны различных типов, а волна H11 анализируется как волна, аналогичная волне H10 в прямоугольном волноводе.
В заключение рассмотрены вопросы возбуждения волн и определяется величина затухания волн в волноводах.
Седьмая глава посвящена колебаниям в объемных резонаторах,
демонстрируется спектр их резонансных частот, рассмотрены их добротности. Основное внимание уделено колебаниям в прямоугольных
резонаторах типа H101, чаще всего используемым в аппаратуре.
Пособие заканчивается списком рекомендуемой литературы и тремя приложениями. В первом из них поясняется физическое содержание основных операций векторного анализа — градиента скалярного
поля, дивергенции и ротора векторного поля. Далее приведена сводка
формул, применения этих операций к сложным полям, описываемым
произведением двух функций — скалярной и векторной, двух векторных; здесь же дана сводка формул последовательного применения
этих операций. Приведены также основные интегральные соотношения, справедливые для скалярных и для векторных полей.
В приложении 2 приведены электрические характеристики радиочастотных кабелей со сплошной изоляцией, выпускаемых отечественной промышленностью.
В приложении 3 приведены основные размеры и электрические
характеристики прямоугольных и круглых металлических волноводов, выпускаемых промышленностью.

Рекомендуемая литература

Основная:
1. Пименов Ю.В., Вольман В.И. Техническая электродинамика. Под
ред. Ю.В. Пименова. — M.: Радио и связь, 2002.
2. Семёнов Н.А. Техническая электродинамика. — М.: Связь, 1973.
3. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. —
М.: Наука, 1978.
4. Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М.: Высшая
школа, 1990.
Дополнительная:
5. Сомов А.М., Старостин В.В. Распространение радиоволн. — M.: Гелиос, 2008.
6. Сомов А.М. Расчёт антенн земных станций спутниковой связи. —
M.: Горячая линия —- Телеком, 2008.

Г Л А В А
1
Основы теории электрического поля

1.1. Основные величины, определяющие
электромагнитное поле. Электромагнитные
параметры среды существования поля

Прежде чем начинать знакомство с довольно сложными соотношениями в виде уравнений Максвелла для описания электромагнитных полей, целесообразно ознакомиться с основными величинами, определяющими интенсивность и ориентацию составляющих этого поля. Для этих целей удобно рассмотреть простейшие типы полей —
статические поля, например статическое электрическое поле точечного положительного заряда Q, размещённого в вакууме и схематично
представленного на рис. 1.1. Для выяснения особенностей такого поля
в зону его действия помещается пробный единичный точечный положительный заряд q.

. 1.1. Статическое поле заряда

Сила поля заряда Q, действующая на пробный положительный заряд q, согласно известному закону Кулона, определяется как

⃗F =
1

4πε0

Qq
r2 ⃗r 0,
(1.1)

где постоянный коэффициент 1/(4πε0) определяется выбранной практической и рационализированной системой единиц — СИ; ⃗r 0 — единичный вектор, определяющий направление действия искомой силы; ε0 — диэлектрическая проницаемость среды, окружающей заряды Q и q.
Соотношение (1.1) позволяет ввести понятие вектора напряжённости электрического поля заряда Q как силы, воздействующей на
единицу пробного заряда, внесённого в это поле:

⃗E = lim
q→0

⃗F
q ,

т.е.

⃗E =
1

4πε0

Q
r2⃗r 0.
(1.2)

Г л а в а 1

Именно этот вектор и имеется в виду, когда речь идёт о напряженности только электрического поля при рассмотрении составляющих
более сложного по структуре электромагнитного поля.
В выбранной выше физической системе представления единиц
СИ среды, окружающей заряд, а обычно под ней имеется в виду
вакуум,
приписывается
определенные
значения
диэлектрической
(ε0 = 1/36π · 10−9 Ф/м) и магнитной µ0 = 4π · 10−7 Гн/м) проницаемостям. Для выяснения основных свойств электростатического поля
необходимо определить его дивергенцию и ротор (div и rot). Для этого
выражение вида (1.2) приводится к виду

⃗E =
Q

4πε0

1
r3⃗r = C1
1
r3⃗r,
(1.3)

поскольку здесь ⃗r = r⃗r0, тогда дивергенция поля заряда Q

div ⃗E = C1 div
( ⃗r

r3

)
= C1

(
grad 1

r3

)
⃗r+ C1

r3 div⃗r = −3C1
⃗r 0

r4⃗r+3C1

r3 = 0

(1.4)
и
div ⃗E ≡ 0.

Необходимо заметить при этом, что точка размещения исследуемого заряда является особой точкой и поэтому из рассмотрения должна быть исключена:
1
C1
rot ⃗E = rot
( 1

r3⃗r
)
= −⃗r × grad 1

r3 + 1

r3 rot⃗r = 0.

Поскольку в первом слагаемом (⃗r 0) × (⃗r 0) = 0, а во втором
rot⃗r = 0, то и

rot ⃗E ≡ 0.
(1.5)

Согласно этому электростатическое поле является соленоидальным, поскольку div ⃗E = 0, и потенциальным, так как rot ⃗E = 0.
В поле потенциального типа может быть введена скалярная потенциальная функция, например электростатический потенциал вида
U. Тогда напряжённость электростатического поля может быть выражена через этот потенциал:

⃗E = − grad U,
(1.6)

С учётом соотношения, определяющего градиент grad U(r) =
= (dU/dr)⃗r 0, и соотношения (1.2), можно записать

U =
Q

4πε0r.
(1.7)