01.00.00 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

1

УДК 519.2:303.732.4 
UDC 519.2:303.732.4 
 
 
СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДЛЯ 
СГРУППИРОВАННЫХ ДАННЫХ 
STATISTICAL ESTIMATION FOR THE 
GROUPED DATA 
 
 
Орлов Александр Иванович 
д.э.н., д.т.н., к.ф.-м.н., профессор 
Orlov Alexander Ivanovich 
Dr.Sci.Econ., Dr.Sci.Tech., Cand.Phys-Math.Sci., 
professor 
Московский государственный технический 
университет им. Н.Э. Баумана, Россия, 105005, 
Москва, 2-я Бауманская ул., 5, prof-orlov@mail.ru

Bauman Moscow State Technical University, 
Moscow, Russia  

 
 
Описана вероятностная модель группировки данных, 
в том числе многомерных. Обобщена формулы 
Эйлера-Маклорена. С ее помощью получены 
поправки Шеппарда и поправки на группировку для 
коэффициента корреляции. Найдены и изучены 
асимптотические поправки на группировку в общем 
случае. Оценена точность приближения 

The probabilistic model of grouping data (including 
multidimensional data) is described. We have also 
generalized Euler-Maclaurin’s formulas. With its 
help Sheppard’s corrections and corrections on 
grouping for correlation coefficient are received. We 
have found and studied asymptotical corrections on 
grouping data generally. Accuracy of approach has 
been estimated 
 
 
Ключевые слова: СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ, 
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА, 
ПРИКЛАДНАЯ СТАТИСТИКА, МОДЕЛЬ 
ГРУППИРОВКИ ДАННЫХ, ОБОБЩЕНИЕ 
ФОРМУЛЫ ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА. ПОПРАВКИ 
НА ГРУППИРОВКУ, ТОЧНОСТЬ ПРИБЛИЖЕНИЯ 

Keywords: STATISTICAL METHODS, 
MATHEMATICAL STATISTICS, APPLIED 
STATISTICS, MODEL OF GROUPING DATA, 
GENERALIZED EULER-MACLAURIN’S 
FORMULA, CORRECTIONS ON GROUPING, 
ACCURACY OF APPROACH 
 
 
1. Введение 

 
При вычислении различных статистических характеристик часто 

пользуются сгруппированными данными. Погрешность группировки - 

один из видов погрешностей наблюдений. До появления компьютеров 

группировку проводили для облегчения расчетов. К сожалению, 

устаревшие рекомендации по обязательному проведению группировки 

укоренились в курсах по «общей теории статистики». В отмененном из-за 

низкого научного уровня ГОСТ 11.006-74 (СТ СЭВ 1190-78) «Прикладная 

статистика. Правила проверки согласия опытного распределения с 

теоретическим» группировку предписывалось проводить даже при 

проверке согласия по критериям Колмогорова и омега-квадрат, что 

приводило к ошибочным статистическим выводам.  

 
В современных условиях нет необходимости сокращать число 

арифметических операций при анализе статистических данных. Вместо 

гистограмм для описания распределения в настоящее время рекомендуют 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

2

использовать непараметрические оценки плотности [1]. Однако с 

существующей традицией приходится считаться, следовательно, надо 

уметь оценивать влияние группировки данных на статистические 

характеристики. 

 
Другая 
причина 
использования 
сгруппированных 
данных 
– 

неточность измерений, приводящих либо к автоматическому (с помощью 

средств измерения) округлению, либо к округлению, проводимому 

специалистом, осуществляющим измерение. 

 
В настоящей статье рассмотрим статистические методы анализа 

сгруппированных данных. Начнем с одномерных данных.  

 

2. Вероятностная модель группировки 

 
Пусть выборка объема n  взята из непрерывного распределения 

числовой случайной величины X  с плотностью вероятности 
)
(x
f
. Пусть 

элементы выборки сгруппированы по интервалам длины h , центры 

которых находятся в точках 
ih
a
ai
+
=
0
, где 
,...
2
,1
,0
±
±
=
i
(Поскольку для 

непрерывной случайной величины вероятность попадания в точку 

соприкосновения интервалов равна 0, то нет необходимости указывать, к 

какому из интервалов относятся такие точки.) В таких случаях при 

вычислении 
моментов 
и 
других 
выборочных 
характеристик 
по 

сгруппированным данным обычно предполагается [2, с.393-394], что все 

выборочные значения, принадлежащие некоторому интервалу, совпадают 

с центром этого интервала. Тогда фактически рассматривается выборка из 

дискретного распределения, в соответствии с которым случайная величина 

Y  принимает значения 
ih
a
ai
+
=
0
 с вероятностями  

∫

+

−
=
=
=

2

2

)
(
)
(

h
a

h
a

i
i

i

i

dx
x
f
a
Y
P
p
. 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

3

 
Пользуясь сгруппированными данными, оценивают те или иные 

выборочные характеристики, например, моменты  

∑

+∞
<
<
∞
−
=

i
i
k
i
k
p
a
Y
M
)
(
, 

которые будем называть групповыми. Во многих случаях исследователя 

интересуют моменты исходной непрерывной случайной величины X : 

∫

+∞

∞
−
=
dx
x
f
x
X
M
k
k
)
(
)
(
. 

Поэтому важно изучить соотношения между этими двумя множествами 

моментов. При некоторых условиях регулярности приближенные значения 

моментов 
)
(
k
X
M
 можно получить, введя поправки к групповым моментам 

)
(
k
Y
M
. 

 
Групповые моменты запишем в виде 

,)
(
)
(
)
(

2

2
∑
∑
∫
+∞
<
<
∞
−
+∞
<
<
∞
−

+

−
=
=

i
i
i

h
a

h
a

k
i
k
a
g
dx
x
f
a
Y
M

i

i
 

.
)
(
)
(

2

2
∫

+

−
=

h
a

h
a

k
dx
x
f
a
a
g

 

 

 
Для решения поставленной задачи применим формулу Эйлера
Маклорена [2, с.394-398] и ее обобщение, полученное в [3]. 

 

3. Обобщение формулы Эйлера-Маклорена 

 
В различных статистических методах анализа данных возникает 

необходимость вычисления сумм следующего вида: 

∑
=
−
+
=

n

i
h
i
a
g
n
h
a
g
S

1
)
)1
(
(
)
,
,
,
(
, 

где 
)
(x
g
 – достаточно гладкая функция. Другими словами, требуется 

просуммировать значения функции 
)
(x
g
 в n  точках, отстоящих друг от 

друга на расстояние h , начиная с точки a . Типичным примером является 

суммирование 
биномиальных 
вероятностей 
с 
целью 
вычисления 

попадания биномиально распределенной случайной величины в заданный 

интервал.  

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

4

 
Классическая формула Эйлера-Маклорена такова [4, п.465]: 

.
)}
(
)
(
{

...
)}
('
)
('
{
)}
(
)
(
{
)
(
1
)
,
,
,
(

)
1
(
)
1
(
1

2
1

m
m
m
m
m

nh
a

a
R
a
g
nh
a
g
h
A

a
g
nh
a
g
h
A
a
g
nh
a
g
A
dx
x
g
h
n
h
a
g
S

+
−
+
+

+
−
+
+
−
+
+
=

−
−
−

+
∫
 

Здесь 
m
R  – остаточный член порядка 
m
h , выражение для которого 

приведено в [4, с.540],  

1
,
)!
2
(
)1
(
,1
,0
,
2
1
1
2
1
2
1
≥
−
=
>
=
−
=
−
−
p
p

B
A
p
A
A
p
p
p
p
, 

где 
p
B  есть p -е число Бернулли [4, п.449]. В частности, 

30240

1
,
720
1
,
12
1

6
4
2
=
−
=
=
A
A
A
. 

 
Очевидным недостатком классической формулы Эйлера-Маклорена 

является ее несимметричность – левый конец отрезка 
]
,
[
nh
a
a
+
, по 

которому проводится интегрирование, входит в число точек, значения 

функции в которых суммируется, а правый – нет. Этот недостаток связан с 

тем, что каждому слагаемому в рассматриваемой сумме ставится в 

соответствие отрезок длины h , значение функции 
)
(x
g
 в левом конце 

которого 
и 
есть 
рассматриваемое 
слагаемое. 
В 
результате 
нет 

симметричности – формула меняется при изменении направления оси x 
ов. 

 
Чтобы избавиться от несимметричности, достаточно слагаемому 

)
(
0x
g
 (где 
h
i
a
x
)1
(
0
−
+
=
 при некотором i ) поставить в соответствие отрезок 





+
−
2
;
2
0
0
h
x
h
x
. 
Опишем 
подход 
к 
получению 
асимптотических 

разложений, впервые предложенный в статье [3] в связи с изучением 

скорости сходимости распределения классической статистики омега
квадрат (Крамера-Мизеса-Смирнова) к предельному распределению. 

Будем исходить из формулы Тейлора с дополнительным членом в виде 

определенного интеграла [4, п.318]: 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

5

∫
−
+
−
+

+
−
+
−
+
=

+
x

x

m
m
m
m
dt
t
x
t
g
m
x
x
m
x
g

x
x
x
g
x
x
x
g
x
g
x
g

0
)
)(
(
!
1
)
(
!
)
(

...
)
(
!2
)
(''
)
(
!1
)
('
)
(
)
(

)
1
(
0
0
)
(

2
0
0
0
0
0
. 

Проинтегрируем почленно обе части этого равенства по x по отрезку 

отрезок 




+
−
2
;
2
0
0
h
x
h
x
. Получим, что 

∫
∫

∫
∫
∫

∫
∫
∫

+

−

+
+

+

−

+

+

−

+

−

+

−

+

−










−
+
+
+
+
+

+
+
=









−
+
−
+

+
−
+
−
+
=

2

2

)
1
(
1
0
)
(
5
0
)
4
(

3
0
0

2

2

)
1
(
2

2

0
0
)
(

2

2

2
0
0
2

2

0
0
0

2

2

0

0
0

0

0
0

0

0

0

0

0

0

0

0

)
)(
(
!
1
)1
(
2
!
)
(
...
80
!4
)
(

12
!2
)
(''
)
(
)
)(
(
!
1
)
(
!
)
(

...
)
(
!2
)
(''
)
(
!1
)
('
)
(
)
(

h
x

h
x

x

x

m
m
m

m
m

h
x

h
x

x

x

m
m

h
x

h
x

m
m

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

dx
t
x
t
g
m
m
h
m
x
g
h
x
g

h
x
g
h
x
g
dx
t
x
t
g
m
dx
x
x
m
x
g

dx
x
x
x
g
dx
x
x
x
g
h
x
g
dx
x
g

 

(при четном m ). Весьма важно, что обращаются в 0 все интегралы, 

соответствующие нечетным степеням.  

 
Из только что полученного соотношения следует, что 

m
m

m
m
h
x

h
x
Q
m
h
m
x
g
h
x
g
h
x
g
dx
x
g
h
x
g
−
+
−
−
−
−
=

+
+

−∫
)1
(
2
!
)
(
...
1920
)
(
24
)
(''
)
(
)
(

1
0
)
(
5
0
)
4
(
3
0
2

2

0

0

0
, 

где 
m
Q  – остаточный член, указанный в предыдущей формуле. 

 
Применим аналогичную процедуру ко второй производной - 

функции 
)
('' x
g
. Исходим из формулы Тейлора 

...
)
(
!2

)
(
)
(
!1

)
(
)
(''
)
(''
2
0
0
)
4
(

0
0
)
3
(

0
+
−
+
−
+
=
x
x
x
g
x
x
x
g
x
g
x
g
 

Интегрируя, получаем, что  

...
12
!2
)
(
)
(''
)
(''

3
0
)
4
(

0

2

2

0

0

+
+
=
∫

+

−

h
x
g
h
x
g
dx
x
g

h
x

h
x
, 

откуда  

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

6

...
12
!2
)
(
2
'
2
'
...
12
!2
)
(
)
(''
)
(''

3
0
)
4
(

0
0

3
0
)
4
(
2

2

0

0

0

−
−









−
−




+
=
−
−
= ∫

+

−

h
x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
g
dx
x
g
h
x
g

h
x

h
x
 
Подставляя в формулу для 
h
x
g
)
(
0
, получаем, что 

).
(
5760
)
(
7
2
'
2
'
24

)
(
)
(
5760
)
(
7
)
(''
24
)
(

)
(
1920
)
(
...
12
!2
)
(
)
(''
24
)
(
)
(

7
5
0
)
4
(

0
0

2

2

2

7
5
0
)
4
(
2

2

2
2

2

7
5
0
)
4
(
3
0
)
4
(
2

2

2
2

2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

h
O
h
x
g
h
x
g
h
x
g
h

dx
x
g
h
O
h
x
g
dx
x
g
h
dx
x
g

h
O
h
x
g
h
x
g
dx
x
g
h
dx
x
g
h
x
g

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

h
x

+
+









−
−




+
−

−
=
+
+
−
=

=
+
−











−
−
−
=

∫
∫
∫

∫
∫

+

−

+

−

+

−

+

−

+

−

 

Дальше 
можно 
провести 
аналогичные 
выкладки 
для 
четвертой 

производной, и т.д. С помощью продемонстрированного подхода можно 

получить, например, следующий результат: 

∫

+

−
=

2

2

0

0

0

)
(
1
)
(

h
x

h
x
dx
x
A
h
x
g
, 

где  

∫







−
+
−
−
−
+
−
−
+

+
−
+
−
=

x

x
dt
h
t
x
h
t
x
h
t
x
t
x
t
g

x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
g
x
A

0
.
967680
)
(
31
34560
)
(
7
2880
)
(
5040
)
(
)
(

)
(
967680
31
)
(
5760
7
)
(''
24
)
(
)
(

6
4
3
2
5
7
)
8
(

)
6
(
6
)
4
(
4
2

 

 
Таким 
образом, 
справедливо 
следующее 
соотношение, 

напоминающее классическую формулу Эйлера-Маклорена: 

).
(
2
2
1
967680
31
2
2
1
5760
7

2
'
2
1
'
24
)
(
1
)
)1
(
(
)
,
,
,
(

7
)
5
(
)
5
(
5
)
3
(
)
3
(
3

2
1

2
1

h
O
h
a
g
h
n
a
g
h
h
a
g
h
n
a
g
h

h
a
g
h
n
a
g
h
dx
x
g
h
h
i
a
g
n
h
a
g
S

h
n
a

h
a

n

i

+











−
−












−
+
−











−
−












−
+
+

+











−
−












−
+
−
=
−
+
=
∫
∑




 −
+

−
=

 
Сравнение с классической формулой Эйлера-Маклорена показывает, 

что в последней формуле отсутствует первый член асимптотического 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

7

разложения, соответствующий 
)}
(
)
(
{
1
a
g
nh
a
g
A
−
+
, а коэффициенты при 

остальных членах меньше по абсолютной величине: 

.
30240

1

967680

31
;
720
1

5760

7
;
12
1

24
1

6
4
2
<
<
=
<
=
<
A
A
A
 

Полученная формула симметрична – не меняется при изменении 

направлении оси x -ов.  

 
Из сказанного вытекает рекомендация: вместо классической 

формулы Эйлера-Маклорена употреблять полученную в статье [3] 

формулу, в которой каждому входящему в сумму значению аргумента 

ставится в соответствие отрезок, для которого это значение является 

центром. Полученная формула позволила, в частности, построить 

компактные таблицы для специальных функций, используемых при 

оценивании параметров гамма-распределения, и вывести формулы для 

использования вне таблиц, при разработке государственного стандарта 

ГОСТ 11.011-83 [5]. Многомерный аналог полученной формулы, в котором 

каждой 
точке 
целочисленной 
решетки 
ставился 
в 
соответствие 

прямоугольный параллелепипед, для которого эта точка являлась центром, 

позволил 
разработать 
оригинальный 
метод 
оценивания 
скорости 

сходимости 
распределений 
непараметрических 
статистик 
типа 

Колмогорова, Смирнова и омега-квадрат [3].  

 

4. Поправки Шеппарда 

 
С помощью формулы Эйлера-Маклорена групповые моменты 
)
(
k
Y
M
 

могут быть выражены линейными функциями от «истинных» моментов 

)
(
k
X
M
 (в предположении, что остаточным членом можно пренебречь). 

Решая последовательно уравнения относительно «истинных» моментов 

)
(
k
X
M
, получаем [2, с.395]: 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

8

,...
240
7
)
(
2
1
)
(
)
(

,
)
(
4
1
)
(
)
(

,
12
1
)
(
)
(

),
(
)
(

4
2
2
4
4

2
3
3

2
2
2

h
h
Y
M
Y
M
X
M

h
Y
M
Y
M
X
M

h
Y
M
X
M

Y
M
X
M

+
−
=

−
=

−
=

=

 

 
Таким образом, получены поправки к результатам расчетов по 

сгруппированным данным, позволяющие более точно оценить моменты 

исходного распределения. Эти поправки были впервые выведены В.Ф. 

Шеппардом в 1898 г. [6] и поэтому называются в статистической 

литературе «поправками Шеппарда». Общая формула имеет вид [7]: 

j
j
k
k

j
j
j
j
k
k
h
Y
M
B
C
X
M
)
(
)1
2
(
)
(

0

1
−

=

−
∑
−
=
, 

где 
j
B  – числа Бернулли [4, п.449]. 

 
Хотя поправки Шеппарда получены еще в XIX веке, статистическая 

теория обработки сгруппированных данных продолжает развиваться. Ниже 

рассмотрена непараметрическая многомерная постановка, в которой 

границы группировки задаются статистиком. Параметрическую теорию 

развивал Г. Куллдорф [8]. Модель группировки со случайным сдвигом 

начала координат изучал Н.А. Бодин [9-11]. Вместо округления результаты 

измерений могут быть представлены в виде случайных интервалов, как это 

принято в статистике интервальных данных [1, гл. 12]. 

 

5. Многомерная группировка 

 
Дадим описание 
группировки данных 
в 
случае 
m -мерного 

случайного 
вектора 
)
,...,
,
(
2
1
m
Z
Z
Z
Z =
 
с 
плотностью 
распределения 

)
,...,
,
(
2
1
m
x
x
x
p
. Пусть выборочные значения координаты 
iZ  группируются по 

интервалам 
длины 
ih  
со 
средними 
точками 
(центрами) 

,...
2
,1
,0
,
,
±
±
=
+
=
k
kh
a
a
i
i
k
i
 Вектор 
)
,...,
,
(
2
1
m
h
h
h
h =
 назовем шагом группировки. 

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

9

При вычислении выборочных характеристик предполагается, что все 

выборочные значения вектора Z , координаты которого удовлетворяют 

неравенствам 

,
,...,
2,1
,
2
2

)
(
,
)
(
,
m
i
h
a
Z
h
a
i
i
k
i
i
i
i
k
i
=
+
≤
<
−
 

совпадают 
с 
центром 
)
,...,
,
(
)
(
,
)
2
(
,2
)
1
(
,1
m
k
m
k
k
a
a
a
 
данного 
m -мерного 

прямоугольного параллелепипеда, т.е. фактически мы обрабатываем 

выборочные значения дискретного m -мерного вектора 
)
,...,
,
(
2
1
m
W
W
W
W =
 с 

распределением   

,
...
)
,...,
,
(
)
,...,
,
(
{
2
1
2
1
)
(
,
)
2
(
,2
)
1
(
,1
m
m
A
m
k
m
k
k
dx
dx
dx
x
x
x
p
a
a
a
W
P
∫
=
=
 

где 

.
,...,
2,1
,
2
2
:)
,...,
,
(
)
(
,
)
(
,
2
1


=
+
≤
<
−
=
m
i
h
a
x
h
a
x
x
x
A
i
i
k
i
i
i
i
k
i
m
 

 
Представляется 
естественным 
разложить 
разность 
между 

характеристиками вектора W  и характеристиками вектора Z  по степеням 

координат шага группировки и оценить возникающий при этом 

остаточный член, т.е. получить обобщение поправок Шеппарда для 

моментов. Будем рассматривать характеристики вида 
)
(Z
Mf
, где f  – 

достаточно гладкая функция. 

 

6. Поправки на группировку для коэффициента корреляции 

 
В качестве примера рассмотрим линейный парный коэффициент 

корреляции Пирсона 
)
,
(
2
1 Z
Z
ρ
. Как известно, для удовлетворяющей 

некоторым условиям регулярности [2, п.27.9] плотности 
)
,
(
2
1 x
x
p
 

справедливы соотношения 

12
)
(
)
(
,
12
)
(
)
(

),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(

2
1
2
2

2
1
1
1

2
1
2
1
2
2
1
1

h
Z
D
W
D
h
Z
D
W
D

Z
Z
M
W
W
M
Z
M
W
M
Z
M
W
M

+
=
+
=

=
=
=

Научный журнал КубГАУ, №98(04), 2014 года 

http://ej.kubagro.ru/2014/04/pdf/80.pdf 

10

при достаточно малых 
1h  и 
2h  с точностью до членов более высокого 

порядка по 
1h  и 
2h . Из приведенных соотношений и определения 

коэффициента 
корреляции 
)
,
(
2
1 Z
Z
ρ
 
с 
помощью 
элементарных 

преобразований получаем, что  





















−

+
+

=
−
1

)
(
12
1
)
(
12
1

1
)
,
(
)
,
(
)
,
(

2

2
2

1

2
1

2
1
2
1
2
1

Z
D
h
Z
D
h
Z
Z
Z
Z
W
W
ρ
ρ
ρ
 

с той же точностью. Поскольку при малых y

)
(
2
1
1
1
2
y
O
y
y
+
−
=
+
, 

то при достаточно малых 
1h  и 
2h  с точностью до членов более высокого 

порядка  

.
)
(
24
)
(
24
)
,
(
)
,
(
)
,
(

2

2
2

1

2
1
2
1
2
1
2
1








−
−
=
−
Z
D
h
Z
D
h
Z
Z
Z
Z
W
W
ρ
ρ
ρ
 

Из последней формулы вытекает, что 

.
)
(
24
)
(
24
1
)
,
(
)
,
(

2

2
2

1

2
1
2
1
2
1








+
+
=
Z
D
h
Z
D
h
W
W
Z
Z
ρ
ρ
 

с 
той 
же 
точностью. 
Воспользовавшись 
приведенными 
выше 

соотношениями для вторых моментов координат двумерного вектора, 

получаем окончательную формулу 

.
)
(
24
)
(
24
1
)
,
(
)
,
(

2

2
2

1

2
1
2
1
2
1








+
+
=
W
D
h
W
D
h
W
W
Z
Z
ρ
ρ
, 

с точностью до членов более высокого порядка, в которой поправка на 

группировку определяется только по сгруппированным данным. Отметим, 

что группировка приводит к уменьшению коэффициента корреляции (по 

абсолютной величине):  

)
,
(
)
,
(
2
1
2
1
W
W
Z
Z
ρ
ρ
>
.