РЕШЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА ДЛЯ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОГО ЦИЛИНДРА

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МЕХАНИКА
2008. Вып. 2
УДК 536.421.4:532.781
c
⃝È. Ì. Öóí
РЕШЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ СТЕФАНА
ДЛЯ ТЕРМИЧЕСКИ ТОНКОГО ЦИЛИНДРА
Сравниваются последствия двух допущений о форме фронта кристаллизации
термически тонкого цилиндра.
Ключевые слова: динамическая задача Стефана, экструдирование расплавленного металла, фронт кристаллизации, термически тонкий цилиндр, длина участка
кристаллизации.
Экструдирование расплавленного металла с последующей кристаллизацией в математической физике формализуется динамической задачей
Стефана. В этом процессе капиллярную струю диаметром 0,2÷3 мм направляют в охлаждающую среду. В литературе имеются два допущения
о форме фронта кристаллизации цилиндра: плоской и двумерной осесимметричной поверхностях фронта.
Н. Р. Берманом и другими авторами [1] рассматривалась кристаллизация цилиндра диаметром 5 ÷ 30 мкм, движущаяся со скоростью до 8 м/с.
Фронт кристаллизации при этом был аксиоматизирован как плоскость,
перпендикулярная оси цилиндра. В источниках указывается (см., например, [2]) на значительную грубость этого допущения. Так, Ш. Кэвеш [2]
определял металлографическим методом направление нормали к фронту кристаллизации в цинковой литой проволоке диаметром 267 мкм, полученной экструдированием расплава в воду. У поверхности угол между
нормалью и осью проволоки составлял 79◦. Таким образом, фронт кристаллизации следует считать двумерным, что и предполагаем.
Пусть диск толщиной △l переместится совместно с цилиндром на величину △z = v △τ в направлении движения, где v  скорость движения,
△τ  время. При этом в диске за счет кристаллизации кольца толщиной
△r выделяется количество тепла △Q = −△Hпл 2πr △r △l ρж, а потери
тепла составят △Q = q 2πrв △l △τ, где △Hпл  теплота кристаллизации,
q  удельный тепловой поток с внешней поверхности, r  текущий радиус
фронта кристаллизации, rв = r1
p
(r/r1)2 + [1 −(r/r1)2] (ρж/ρт)  текущий внешний радиус кристаллизирующегося жидкого цилиндра, r1  начальный радиус жидкого цилиндра, ρж, ρт  плотности металла в жидком
и твердом состояниях. Приравнивая два выражения для △Q и переходя
к пределу при △τ →0, получим уравнение, описывающее продвижение
фронта кристаллизации по сечению цилиндра:
dR
1 + 1−R2
R2
Ω,
где R = r/r1, Ω= ρж/ρт, d1 = 2 r1.
dτ = −
2 q
ρæ △Hïë d1
q