Общий курс высшей математики для экономистов

Под общей редакцией проф. В.И. Ермакова

Москва 
ИНФРА-М 
2010

ОБЩИЙ КУРС 
ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ 
ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ

Учебник

Рекомендовано 
Министерством образования Российской Федерации 
в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, 
обучающихся по экономическим специальностям

Общий курс высшей математики для экономистов: Учебник / Под 
общ. ред. В.И. Ермакова. — М.: ИНФРА-М, 2010. — 656 с. — (Высшее 
образование).

ISBN 978-5-16-003986-2

В учебник включены основные разделы математики, необходимые для подготовки экономистов различных специализаций.
Предназначен для студентов экономических факультетов вузов.

ББК  22.11.я73

ISBN 978-5-16-003986-2 
© Авторский коллектив, 1999, 2000

О27

УДК 330.115(075.8)
ББК  22.11.я73
О27

Авторский коллектив:
Б.М. Рудык (раздел А);
В.И. Ермаков, Р.К. Гринцевичюс и Г.И. Бобрик (раздел В);
В.И. Матвеев и И.М. Гладких (раздел С);
Р.В. Сагитов и В.Г. Шершнев (раздел D)

Рецензенты:
кафедра статистики Московского банковского института
(зав. кафедрой — д-р экон. наук, проф. Б.И. Искаков)
и проф. В.И. Пучков

Предисловие

Профессиональный уровень экономиста во многом зависит от того, освоил ли он современный математический аппарат и умеет ли использовать его при анализе сложных экономических процессов и принятии решений. Поэтому в подготовке экономистов широкого профиля изучение
математики занимает значительное место.
Математическая подготовка экономиста имеет свои особенности, связанные со спецификой экономических задач, а также с широким разнообразием подходов к их решению.
Задачи практической и теоретической экономики очень разносторонни. К ним относятся, в первую очередь, методы сбора и обработки статистической информации, а также оценка состояния и перспективы развития экономических процессов. Применяются различные способы использования полученной информации – от простого логического анализа до
составления сложных экономико-математических моделей и разработки
математического аппарата их исследования.
Неопределенность экономических процессов, значительный случайный разброс и большой объем получаемой информации обусловливают
необходимость привлечения к исследованию экономических задач теории
вероятностей и математической статистики.
Наряду с моделированием экономистам необходимо изучать теорию оптимизации, которая представлена математическими методами исследования операций, в том числе линейным программированием.
Отмеченные направления требуют знания основополагающего математического аппарата: основ линейной алгебры и математического анализа, теории вероятностей и математического программирования.
Представленный курс высшей математики включает разделы, изучаемые экономистами различных специализаций – от общеэкономических и
финансовых до экономической кибернетики и информатики.
Данный учебник написан преподавателями кафедры высшей математики Российской экономической академии им. Г.В. Плеханова.

Материал разбит на четыре раздела.
Первый раздел (А) посвящен линейной алгебре, второй, наиболее емкий, раздел (В) – математическому анализу. Третий раздел (С) включает
элементы теории вероятностей и математической статистики. Четвертый
раздел (D) посвящен линейному программированию.
Каждый раздел имеет собственную нумерацию. Ссылки на номера параграфов, таблиц, рисунков, теорем и формул относятся только к данному разделу.
Для удобства читателей особыми значками отмечены начало и конец теорем и отдельных выводов (❑  и  ■), следствий (✧  и  ✦) и примеров (❍  и  ●).

А. ОСНОВЫ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ

И МАТРИЦ

1. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1.1. Линейные уравнения

Линейным уравнением относительно неизвестных x1, x2, ..., xn называется выражение вида

a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b,
(1.1)

где a1, a2, ..., an, b – числа. При этом a1, a2, ..., an называются коэффициентами уравнения, а b – свободным членом.
Последовательность n чисел k1, k2, ..., kn называется решением уравнения (1.1), если после подстановки

x1 = k1, x2 = k2, ..., xn = kn
в данное уравнение оно превратится в верное числовое соотношение.

❍ Пример. Уравнение

2x1 + 3x2 – 5x3 + x4 = 4
(1.2)

обладает решением 2, 1, 1, 2, так как после подстановки x1 = 2, x2 = 1,
x3 = 1, x4 = 2 получаем верное числовое соотношение 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 1 –
– 5 ⋅ 1 + 2 = 4. Последовательность же чисел 3, 2, 0, 1 не является
решением уравнения (1.2), так как полученное после подстановки
x1 = 3, x2 = 2, x3 = 0, x4 = 1 числовое соотношение 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 – 5 ⋅ 0 +
+ 1 = 4 не верно. ●

Подчеркнем, что последовательность чисел k1, k2, ..., kn составляет
одно решение уравнения (1.1) (а не n решений), поэтому решение уравнения (1.1) будем записывать в круглых скобках в виде (k1, k2, ..., kn).
Решения уравнения (1.1)

K = (k1, k2, ..., kn), 
L = (l1, l2, ..., ln)

будем считать о д и н а к о в ы м и  только в том случае, когда

k1 = l1, k2 = l2, ..., kn = ln.
(1.3)

Если же условие (1.3) не выполняется, решения считаются  р а з л и ч н ы м и.
Два линейных уравнения называются равносильными, если их решения совпадают. Легко доказать, что если данное уравнение подвергнуть
одному из следующих преобразований:
а) перенос членов из одной части уравнения в другую;
б) почленное умножение обеих частей уравнения на одно и то же
отличное от нуля число, –
то получим уравнение, равносильное данному.
Решить уравнение (1.1) – значит найти все его решения или установить, что их нет. В зависимости от того, каковы числа a1, ..., an, b, можно определить, имеет уравнение (1.1) решение или нет, а также количество этих решений. Возможны только следующие три случая:
1) a1 = ... = an = 0, b 0;
2) a1 = ... = an = 0, b = 0;
3) хотя бы одно из чисел a1, ..., an отлично от нуля.
В  п е р в о м  случае уравнение (1.1) имеет вид

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = b, b 0
(1.4)

и не имеет решений. В самом деле, пусть (k1, k2, ..., kn) – решение этого
уравнения, тогда

0k1 + 0k2 + ... + 0kn = b

должно быть верным числовым соотношением, что невозможно, так как
b 0. Противоречие возникает, если предположить, что уравнение (1.4)
имеет решение. Следовательно, оно не имеет решений. Будем называть
уравнение (1.4) противоречивым.
Во  в т о р о м  случае уравнение (1.1) имеет вид

0x1 + 0x2 + ... + 0xn = 0
(1.5)

и каждая последовательность (k1, k2, ..., kn) является решением этого
уравнения. Поэтому уравнение (1.5) будем называть тривиальным.
В  т р е т ь е м  случае предположим, для определенности, что a1 0.
Перенесем все члены из левой части уравнения (1.1), кроме члена a1x1,
в правую часть, а затем разделим обе части уравнения на коэффициент
a1 0. Тогда получим

x1 = c0 + c2x2 + ... + cnxn,
(1.6)

где c0 = b/a1, 
ci = –ai/a1, 
i = 2, 3, ..., n.
Уравнения (1.1) и (1.6) равносильны, поэтому для того, чтобы решить уравнение (1.1), достаточно найти все решения уравнения (1.6).
Неизвестное x1 назовем разрешенным, а неизвестные x2, ..., xn – свободными.

❑  Теорема 1.1. Придадим свободным неизвестным x2, ..., xn уравнения (1.6) произвольные значения k2, ..., kn. Тогда:
1) можно построить решение K уравнения (1.6), у которого значения
свободных неизвестных равны соответственно k2, ..., kn;
2) если у решений K и L уравнения (1.6) значения свободных неизвестных совпадают, то и сами решения совпадают.
Д о к а з а т е л ь с т в о . 1. Если значения свободных неизвестных
x2 = k2, ..., xn = kn подставить в (1.6), то для неизвестного x1 получим
значение
x1 = c0 + c2k2 + ... + cnkn.

Ясно, что

K = (c0 + c2k2 + ... + cnkn, k2, ..., kn)

является решением уравнения (1.6).
2. Пусть у решения L = (l1, l2, ..., ln) уравнения (1.6) значения свободных неизвестных равны соответственно k2, ..., kn, т. е.
l2 = k2, ..., ln = kn.
(1.7)
Так как L – решение уравнения (1.6), то
l1 = c0 + c2l2 + ... + cnln
или с учетом (1.7)
l1 = c0 + c2k2 + ... + cnkn.
(1.8)
Из условий (1.7) и (1.8) следует, что решения K и L совпадают. ■

Уравнение (1.6) имеет бесконечное множество решений, так как
значения для неизвестных x2, ..., xn можно выбирать бесконечным числом различных способов.
Итак, при n > 1 уравнение (1.1) не имеет решений либо имеет бесконечное множество решений.

1.2. Системы линейных уравнений

Пусть дана система m линейных уравнений относительно неизвестных x1, x2, ..., xn. Уравнения системы будем считать пронумерованными – первое, второе и т. д. Коэффициенты при неизвестных в i-м уравнении системы обозначим через ai1, ai2, ..., ain (первый индекс указывает номер уравнения, второй – номер неизвестного, при котором стоит
этот коэффициент), а свободный член i-го уравнения – через bi. Тогда
система линейных уравнений будет выглядеть следующим образом:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2,
(1.9)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm.

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪

Числа a11, a12, ..., amn называются коэффициентами системы уравнений, а числа b1, b2, ..., bm – свободными числами.
Заметим, что в системе уравнений (1.9) количество неизвестных
может  не совпадать с числом уравнений.
Систему линейных уравнений (1.9) можно представить также в виде
таблицы
x1
x2
...
xn
a11
a12
...
a1n
b1
a21
a22
...
a2n
b2
...
...
...
...
...
am1
am2
...
amn
bm
в i-й строке которoй, 1 ≤ i ≤ m, записаны коэффициенты при неизвестных и свободный член i-го уравнения системы (1.9).
Решением системы уравнений (1.9) называется такая последовательность чисел (k1, k2, ..., kn), которая является решением каждого уравнения системы. Решить систему уравнений – значит найти все ее решения
или убедиться в том, что их нет.
В дальнейшем увидим, что возможны только следующие три случая:
1) система уравнений несовместна, т. е. не имеет ни одного решения;
2) система уравнений является определенной, т. е. имеет единственное решение;
3) система уравнений является неопределенной, т. е. имеет бесчисленное множество решений.
Система уравнений, которая имеет хотя бы одно решение, называется совместной.
Пусть система уравнений содержит противоречивое уравнение. Тогда каждое решение этой системы должно быть решением противоречивого уравнения. Так как противоречивое уравнение не имеет решений,
то система, содержащая противоречивое уравнение, несовместна.
Чтобы найти все решения системы уравнений или установить их отсутствие, следует преобразовать данную систему уравнений, стремясь получить систему уравнений, все решения которой находятся без труда
(в дальнейшем такую систему уравнений будем называть разрешенной).
Если при этом использовать только такие преобразования, которые переводят систему уравнений в равносильную, то полученная разрешенная и
исходная системы уравнений равносильны. Следовательно, все найденные решения разрешенной системы будут решениями исходной системы.
Заметим, что не всегда данную систему уравнений удается преобразовать в разрешенную. Если в процессе преобразований получена система, содержащая противоречивое уравнение, то эта система и, значит,
равносильная ей исходная система не имеют решений.
Намеченная программа решения системы линейных уравнений будет реализована в параграфах 1.3–1.5.

1.3. Разрешенные системы линейных уравнений

В этом параграфе рассмотрены системы уравнений специального
вида, которые играют большую роль при решении произвольных систем уравнений.
Неизвестное xi называется разрешенным, если какое-нибудь уравнение системы содержит неизвестное xi с коэффициентом, равным единице, а во все остальные уравнения системы неизвестное xi не входит,
т. е. входит с коэффициентом, равным нулю.

❍  Пример. Система уравнений

x1 
+ 3x3 
– 3x5 
= 5,

–7x3 + x4 + x5 
= 8,
(1.10)

x2 + 2x3 
– x5 + x6 = 1

содержит разрешенные неизвестные x1, x2, x4, x6. Неизвестные же x3 и
x5 не являются разрешенными.  ●

Если каждое уравнение системы содержит разрешенное неизвестное, то такую систему называют разрешенной. Ясно, что система уравнений (1.10) является разрешенной.
Из каждого уравнения разрешенной системы выберем по одному
разрешенному неизвестному. Тогда получим набор попарно различных
неизвестных, который называется набором разрешенных неизвестных
данной разрешенной системы. Заметим, что набор разрешенных неизвестных в общем случае определен неоднозначно. Например, система (1.10) обладает двумя наборами разрешенных неизвестных x1, x4, x2
и x1, x4, x6.
Неизвестные системы линейных уравнений, которые не входят в
данный набор разрешенных неизвестных, называются свободными. Если
в системе (1.10) фиксирован набор разрешенных неизвестных x1, x4, x2,
то неизвестные x3, x5, x6 являются свободными. Если же в системе (1.10)
x1, x4, x6 – набор разрешенных неизвестных, то свободными являются
неизвестные x2, x3 и x5.
Пусть теперь разрешенная система уравнений содержит неизвестные x1, x2, ..., xn и предположим, для определенности, что набор неизвестных x1, x2, ..., xr является набором разрешенных неизвестных данной системы. Тогда возможны два случая: 1) r = n; 2) r < n.
В  п е р в о м  случае все неизвестные системы x1, x2, ..., xn образуют
набор разрешенных неизвестных. Из определения набора разрешенных
неизвестных следует, что данная система содержит n уравнений. Для
определенности предположим, что первое уравнение системы содержит неизвестное x1, второе – x2 и т. д., n-e уравнение содержит неизвестное xn. Из определения разрешенных неизвестных вытекает, что не
⎧
⎨⎪

⎩⎪

известное x1 содержится только в первом уравнении, неизвестное x2 –
только во втором и т. д., неизвестное xn содержится только в n-м уравнении. Отсюда следует, что первое уравнение системы содержит только
неизвестное x1, второе – только x2 и т. д., n-e уравнение содержит только неизвестное xn, т. е. разрешенная система имеет вид

x1 = b1,
x2 = b2,
. . . . .
xn = bn.

Ясно, что эта система уравнений имеет единственное решение
(b1, b2, ..., bn).
Во  в т о р о м  случае (r < n) разрешенная система состоит из r уравнений вида

x1 + a1 r +1xr +1 + ... + a1nxn = b1,

x2 + a2 r +1xr +1 + ... + a2nxn = b2,
(1.11)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xr + ar r +1xr +1 + ... + arnxn = br.

Неизвестные xr +1, ..., xn являются свободными неизвестными системы (1.11).
Выразим разрешенные неизвестные x1, x2, ..., xr системы (1.11) через
ее свободные неизвестные xr +1, ..., xn:

x1 = b1 – a1 r +1xr +1 – ... – a1nxn,

x2 = b2 – a2 r +1xr +1 – ... – a2nxn,
(1.12)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
xr = br – ar  r +1xr +1 – ... – arnxn.

Ясно, что системы уравнений (1.11) и (1.12) равносильны.

❑ Теорема 1.2 (свойство свободных неизвестных). Придадим свободным неизвестным xr +1, ..., xn системы уравнений (1.12) произвольные
значения kr +1, ..., kn.
Тогда:
1) можно построить решение K системы уравнений (1.12), у которого значения свободных неизвестных равны соответственно kr +1, ..., kn;
2) если у решений K и L системы уравнений (1.12) значения свободных неизвестных совпадают, то и сами решения совпадают.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если значения свободных неизвестных xr +1 =
= kr +1, ..., xn = kn подставить в систему уравнений (1.12), то для разрешенных неизвестных x1, ..., xr получим следующие значения:

⎧
⎨
⎪

⎩⎪

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪

⎧

⎨
⎪

⎩
⎪