Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики

УДК 530.1
ББК 22.31
М 42

М е д в е д е в
Б. В.
Начала теоретической физики. Механика, теория поля, элементы квантовой механики — 2-е изд., испр. и доп. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2007. — 600 с. — ISBN 978-5-9221-0770-9.

Книга представляет собой краткое изложение начал теоретической физики.
Главное внимание уделяется при этом логически последовательному изложению узловых фундаментальных вопросов с современной точки зрения.
Книга будет полезна всем изучающим теоретическую физику, но не обязательно выбравшим ее своей основной специальностью: физикам-экспериментаторам, а также интересующимся физикой инженерам, математикам, химикам,
биологам и др.
Допущено Министерством образования и науки Российской Федерации в
качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по физико-техническим и инженерно-физическим направлениям подготовки и специальностям.

ISBN 978-5-9221-0770-9

c⃝ ФИЗМАТЛИТ, 2007

c⃝ Б. В. Медведев, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора ко второму изданию . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Введение. Предмет и метод теоретической физики . . . . . .. . . . . . .
10

Ч а с т ь I. КЛАССИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА . . . . . . . . . . . . . . .
13
1. Место механики в физике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2. Основные понятия механики . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .
15
3. Принцип наименьшего действия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
4. Принцип относительности Галилея. . . . . . . . . . . .. . . . . . .
23
5. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
6. Преобразования сохраняющихся величин . . . . . . . . . . . . .
40
7. Инвариантность относительно преобразований Галилея . .
47
8. Рассеяние частиц. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
58
9. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
10. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
11. Движение в кулоновом поле. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
12. Эффективное сечение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
13. Формула Резерфорда . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
91
14. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
15. Функции Грина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
16. Уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 115
17. Вариационный принцип для уравнений Гамильтона . . . . . 126
18. Скобки Пуассона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
19. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
20. Пример на канонические преобразования: осциллятор . . . 153

Ч а с т ь II. МЕХАНИКА ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ . . . 157
1. Принцип относительности и принцип постоянства скорости света. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
1а. Одновременность и пространство . . . . . . . . . . . . . . . . 166
1б. Замедление времени. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 170

Оглавление

2. Преобразования Лоренца . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 174
3. Четырехмерные векторы и тензоры. . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4. Динамика свободной материальной точки. . . . . . . . . . . . . 195
5. Десять фундаментальных величин . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
6. Взаимодействие в теории относительности. Неизбежность
понятия поля. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 214
7. Лагранжев формализм для поля. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 217
8. Законы сохранения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
9. Электромагнитное поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
10. Уравнения электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
11. Энергия и импульс электромагнитного поля . . . . . . . . . . . 241
12. Трехмерная формулировка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
13. Решение уравнений поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
13а. Однородное уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 257
13б. Уравнения с правой частью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
14. Электростатика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
15. Электростатическое поле вне системы зарядов . . . . . . . . . 282
16. Стационарное поле. Магнетостатика. . . . . . . . . . .. . . . . . . 288
17. Излучение электромагнитного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
18. Дипольные и квадрупольное излучения . . . . . . . . . . . . . . 309
19. Старшие мультипольные излучения . . . . . . . . . . . .. . . . . . 317
20. Рассеяние света на свободных зарядах . . . . . . . . . . . . . . . 346

Ч а с т ь III. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ . . . . . . 351
1. Историческое введение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
2. Состояния. Суперпозиция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
3. Векторы состояния и операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
4. Проблема собственных значений . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 380
5. Функции наблюдаемых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
6. Спектральные представления и вероятности . . . . . . . .. . . . 395
7. Коммутирующие наблюдаемые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403
8. Представления. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 412
9. Квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 416
10. Система с одной степенью свободы . . . . . . . . . . . . . . . . . 418
11. Соотношение неопределенностей Гайзенберга . . . . . . .. . . . 451
12. Волновая функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 460
13. Сдвиги и повороты системы отсчета. . . . . . . . . . . .. . . . . . 466
14. Квантование момента. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473

Оглавление
5

15. Реализации момента . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 481
16. Уравнения движения . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 504
17. Первый пример. Осциллятор . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 519
18. Дальнейшие примеры динамических задач . . . . . . . . . . . . 525
19. Движение в центральном поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533
20. Кулоново поле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540

ДОПОЛНЕНИЯ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547
1. Элементы аналитической механики . . . . . . . . . . . .. . . . . . 547
2. Стохастичность и квантование . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 568

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 594

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА КО ВТОРОМУ
ИЗДАНИЮ

Учебное пособие выдающегося физика-теоретика Б. В. Медведева с момента выхода в свет пользовалось большой популярностью у студентов и преподавателей, так что первое издание
«Начал теоретической физики» быстро разошлось. За прошедшие почти тридцать лет учебных пособий, сравнимых с данной
книгой по уровню и доступности изложения, так и не появилось.
Между тем потребность в подобных целостных курсах теоретической физики не уменьшилась.
Бурное развитие фундаментальной физики и ее технологических приложений с огромной быстротой меняет облик окружающего мира. Численность специалистов в смежных областях,
использующих достижения современной физики, резко возросло. И одновременно возросли трудности в освоении теоретической физики, особенно если ее преподавать шаблонно на уровне
середины XX века. Нужны новые подходы, дальнейшие шаги
к выявлению единства и целостности физического знания. Этим
критериям удовлетворяет труд Б. В. Медведева, вполне заслуживающий право считаться учебником для студентов инженернофизических специальностей вузов.
К сожалению, безвременная кончина Б. В. Медведева в январе 2000 г. не позволила ему самому завершить работу по подготовке данной книги к переизданию. Выполнение этой работы
потребовало внесения ряда исправлений и дополнений в первоначальный текст, намеченных автором. Кроме того, по согласованию с издательством Физматлит было принято решение издать
данный учебник в двух книгах.
В основу книги I положено предыдущее издание, дополненное в конце несколькими существенными материалами, написанными Б. В. Медведевым и опубликованными в других изданиях.
В будущую книгу II предполагается включить элементы квантовой теории поля и аксиоматической теории матрицы рассеяния,
подготовленные мной на основе лекций, прочитанных в разные
годы Б. В. Медведевым, и фундаментальных статей обзорного
характера.

Предисловие редактора ко второму изданию
7

Считаю своим приятным долгом выразить благодарность
В. П. Павлову и П. Б. Медведеву за помощь в подготовке и изданию дополнений к книге I. Я искренне благодарен В. Я. Дубновой и О. Н. Голубевой за помощь в редактировании и поддержку
на всех этапах работы над книгой, а также главному редактору издательства Физматлит М. Н. Андреевой и ее заместителю
Е. С. Артоболевской за качественную организацию издания учебного пособия Б. В. Медведева.
Книга будет весьма полезна студентам, аспирантам, научным
работникам и преподавателям, специализирующимся в области
физики и ее приложений.

20.06.2006
А. Д. Суханов

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

За последние три-четыре десятилетия теоретическая физика,
как и вся физика вообще, испытала период необычайно быстрого роста. Возникли новые физические представления, была
разработана масса методов, использующих самые разнообразные математические средства, было успешно решено совершенно
невероятное количество задач. Неизбежным следствием этого
процесса явился весьма значительный рост объема науки —
так, известный курс Ландау и Лифшица, задуманный в свое
время как собрание того минимума сведений, который необходимо знать всякому теоретику, разросся сейчас более чем до
300 печатных листов. Изучение такого количества материала
требует нескольких лет упорного труда; ясно, что такая роскошь
доступна лишь решившим избрать теоретическую физику своей
основной специальностью. Между тем все расширяется круг лиц,
не претендующих на профессиональную работу в теоретической
физике, которым тем не менее регулярно приходится пользоваться ее результатами и методами, — это, в первую: очередь,
физики-экспериментаторы и воспитываемые физико-техническими и инженерно-физическими факультетами физики с инженерным уклоном, затем математики, которым хотелось бы понимать
смысл физических задач, которые их просят помочь решить,
далее химики, биологи и представители других естественных
наук, в самые основы которых все сильнее вторгаются физические методы и т. п. С другой стороны, даже для профессионалов-теоретиков возникает реальная опасность потерять общую
перспективу за деталями хитроумных методов решения частных
задач.
Эти обстоятельства побудили автора предпринять попытку
краткого изложения начал теоретической физики — той основной схемы физических идей в их взаимной связи и логической
последовательности, которая образует каркас или, если можно
так выразиться, скелет, обрастающий в дальнейшем «мясом» бесчисленных конкретных задач. Если угодно, автор поставил себе
целью написать научно-популярную книгу на научном уровне,
без каких-либо пропусков в логике или математике — судить
о том, насколько удалась эта попытка, дело читателей.

Предисловие к первому изданию
9

Идея написать книгу такого рода зародилась у автора в процессе чтения курса теоретической физики, который он ряд лет
вел в Московском институте электронного машиностроения. Автор благодарен заведующему кафедрой прикладной математики
МИЭМ В. П. Маслову, который предоставил ему такую возможность; автор также благодарен В. А. Гордину, конспекты которого
были использованы при составлении первого варианта рукописи.
Автор пользуется случаем, чтобы выразить свою благодарность всем лицам, читавшим рукопись и сделавшим ряд ценных
замечаний: В. Л. Бонч-Бруевичу, О. И. Завьялову, Г. Ф. Друкареву, В. А. Франке, М. Г. Веселову, рецензенту издательства
Д. В. Ширкову, редактору книги А. Д. Суханову, а также всем
моим коллегам, советами которых я имел случай воспользоваться.

ВВЕДЕНИЕ. ПРЕДМЕТ И МЕТОД
ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

0.1. Теоретическая физика выделилась как самостоятельная наука в первых десятилетиях нашего века. Ее двоякого рода
задача состоит в том, чтобы, во-первых, открывать — исходя
из результатов отдельных, частных опытов — общие законы,
управляющие какой-либо областью физических явлений, и, вовторых, указывать, каким образом, исходя из этих общих законов, можно заранее описать ожидаемое поведение тех или
иных физических систем, предсказать результаты определенных
конкретных экспериментов.
Обе эти задачи на достигнутом нами теперь уровне понимания природы оказываются настолько сложными и требуют
обычно построения столь длинных цепочек логических умозаключений, что в них вряд ли можно было бы продвинуться
сколько-нибудь далеко, не прибегая к техническим средствам,
позволяющим формализовать и в какой-то степени автоматизировать процесс получения логических выводов.
0.2. Такие средства предоставляет нам математика, поэтому
в обеих своих частях — и в индуктивной и, особено, в дедуктивной — теоретическая физика широко пользуется средствами
математики, и эта непривычно высокая для любого естествоиспытателя — включая сюда и физика-экспериментатора — степень математизации является, по-видимому, первой бросающейся
в глаза характерной чертой теоретической физики. Для многих
она может казаться — и оказывается — трудно преодолимым
порогом, но тем не менее через него ведет самый простой путь
к пониманию того, как устроена природа.
0.3. Однако
в
способах
использования
математических
средств, в самом характере рассуждений теоретической физики
имеются некоторые специфические особенности, которые не
только препятствуют тому, чтобы рассматривать ее просто как
один из разделов математики, но и делают иногда ее методы
в каком-то смысле прямо противоположными математическим.
Один известный советский теоретик любил формулировать это
отличие словами: «Математик доказывает, а физик убеждает
слушателей».