ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Ê. Ì. ×óäèíîâ
ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
АВТОНОМНОГО УРАВНЕНИЯ НЕЙТРАЛЬНОГО ТИПА
Получены критерии существования экспоненциальных оценок фундаментальной матрицы и матрицы Коши автономного функционально-дифференциального
уравнения нейтрального типа.
Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение нейтрального типа, фундаментальное решение, матрица Коши, устойчивость.
Рассмотрим функционально-дифференциальное уравнение
˙
x(t) −
i=1
Ai(Si
h ˙
x)(t) −
j=0
Bj(Sj
hx)(t) = f(t),
t ∈R+,
(1)
k
X
m
X
где Ai, Bj ∈Rn×n (вещественные n × n -матрицы), Si
h  i -я итерация
оператора Sh, определенного для фиксированного h > 0 равенством
(Shy)(t) =
(
y(t −h),
t −h ⩾0,
0,
t −h < 0.
Как известно [1, с. 84], асимптотические свойства решений уравнения
(1) определяются двумя матрица-функциями: фундаментальной матрицей X : R+ →Rn×n и матрицей Коши C : R2
+ →Rn×n.
Приведем критерии существования экспоненциальных оценок норм
значений X(t) и C(t, s) в терминах корней явно определенных функций
комплексной переменной.
Определим следующие матрицы-функции комплексной переменной z :
PA(z) = I −
i=1
Aizi,
PB(z) =
k
X
m
X
j=0
Bjzj,
F(z) = exp
¡
P −1
A (z)PB(z)h
¢
,
где I  единичная n × n -матрица, zi  i -я степень переменной z ∈C.
Пусть для всех i, j = 1, . . . , n матрица P(i, j)(z) получается заменой
i -го столбца матрицы PA(z) j -м столбцом матрицы PB(z). Обозначим
символом δ(z) наибольший общий делитель следующих (n2 + 1) многочленов: det PA(z) и det P(i, j)(z), i, j = 1, . . . , n.