Пространство стоуновского представления и конструкции расширений

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.972.8
c
⃝À. Ã. ×åíöîâ
ПРОСТРАНСТВО СТОУНОВСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И КОНСТРУКЦИИ РАСШИРЕНИЙ 1
Рассматриваются абстрактные задачи о достижимости с ограничениями асимптотического характера. Для них конструируются расширения в пространстве
стоуновского представления, которое порождено ультрафильтрами фиксированной алгебры множеств пространства обычных решений. Исследуются вопросы
структуры множества допустимых обобщенных элементов в связи с возможной
несовместностью задачи в классе точных решений.
Ключевые слова: расширение, стоуновское представление, ультрафильтр.
Рассматривается абстрактная задача о достижимости в топологическом пространстве (ТП) (H, τ) с ограничениями асимптотического характера, определяемыми непустым семейством E подмножеств (п/м) непустого множества E, именуемого пространством решений; H именуем пространством оценок. Задан (целевой) оператор h : E →H. Определяем (несеквенциальное) множество притяжения (МП) в (H, τ), привлекая
ультрафильтры (у/ф) множества E :
(τ −AS)[E]
△
= {z ∈H | ∃F ∈Fo
u[E| E] : h1[F]
τ
=
⇒z}.
(1)
В (1) обозначения соответствуют [1]:
τ
⇒обозначает сходимость баз фильтров [2, гл. I] в (H, τ); при F ∈Fu[E], где Fu[E]  множество всех у/ф
E, h1[F] есть семейство всех h−образов множеств из F;
Fo
u[E | E]
△
= {F ∈Fu[E] | E ⊂F}
есть множество всех E−допустимых у/ф множества E. Если x ∈E, то
(E−ult)[x] определяем как семейство всех множеств G, G ⊂E, таких, что
x ∈G; (E −ult)[x] ∈Fu[E]  тривиальный у/ф, соответствующий x. Для
МП (1) имеются эквивалентные представления в классе всех фильтров
E и в классе направленностей в E. Класс последовательностей в E не
является, вообще говоря, достаточным для представления МП (1); см. [3].
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 06-01-00414, 07-01-96088).