W-метод исследования вариационных задач (с вычислительными аспектами)

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929/.534
c
⃝Â. Ç. Öàëþê
W-МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
(с вычислительными аспектами) 1
Приведены обзор последних результатов, связанных с применением W-метода
для решения и исследования квадратичных вариационных задач; сообщение о
разработке программного пакета, предназначенного для производства точных
вычислений, связанных с этими задачами; примеры прикладных задач.
Ключевые слова: квадратичная вариационная задача, экстремальная задача в
гильбертовом пространстве, функционально-дифференциальное уравнение, краевая задача, оператор Грина, символическая компьютерная алгебра.
В работах математиков Пермской школы систематически применялся
прием, получивший название W -подстановки. Суть его в переносе рассматриваемой задачи в пространство (локально) суммируемых функций
с помощью оператора Грина надлежащим образом подобранной краевой
задачи.
Эта идея, несмотря на ее простоту, оказалась очень эффективной как
для получения условий разрешимости краевых задач для функциональнодифференциальных уравнений (ФДУ), так и в теории устойчивости ФДУ.
В последние годы Н. В. Азбелев усиленно пропагандировал применение W -подстановки для решения и исследования вариационных задач.
Развернутые изложения метода, в его состоянии на момент публикации,
приведены в [13]. Последний обзор работ школы Н. В. Азбелева по теории
и приложениям вариационных задач опубликован в [4].
Ÿ 1. Канонический вид функционала
Наибольшее развитие получила теория задач вида
1
2
dtn
2
a
(1)
j=1
T1jx · T2jx + T0x dt →min,
I(x) def
=
Z b
³
ψdnx
´2
+ p
m
X
ℓix = αi,
i = 1, 2, . . . , N,
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû 060100744 è 060196060).