СХОДИМОСТЬ ЛОМАНЫХ ЭЙЛЕРА В УСЛОВИЯХ КАРАТЕОДОРИ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.928.1+517.929.8
c
⃝Ä. Â. Õëîïèí
СХОДИМОСТЬ ЛОМАНЫХ ЭЙЛЕРА
В УСЛОВИЯХ КАРАТЕОДОРИ
1
В условиях Каратеодори исследуется сходимость ломаных Эйлера к решениям
системы. Множество всевозможных разбиений оснащается псевдометрикой. Показано, что сходимость разбиений к рассматриваемому промежутку гарантирует
сходимость ломаных Эйлера к пучку решений системы.
Ключевые слова: ломаные Эйлера, сходимость к пучку решений, функции Каратеодори, системы с измеримой по времени правой частью.
Известно, что в системах с непрерывной правой частью ломаная Эйлера лежит сколь угодно близко к решению системы при достаточно малом диаметре разбиения [1]. Для измеримой правой части малый диаметр
разбиения не гарантирует сходимость даже при одном разрыве функции
правой части вдоль всякой траектории. Всевозможные пределы все более
мелких ломаных Эйлера исследовались в работе [2].
В данной работе рассматривается дифференциальная система
˙
x = f(t, x),
x(t0) = x0
(1)
в m -мерном фазовом пространстве Rm на конечном промежутке I0
△
=
[t0, T] (t0 < T) . На систему накладываются условия Каратеодори и условие продолжимости всех решений на весь отрезок I0.
Пусть D  семейство всех замкнутых подмножеств множества I0 , содержащих точки t0, T. Каждому множеству переключений ∆∈D поставим в соответствие функцию τ ∗
∆(t) = max {τ | τ ∈∆, τ ⩽t}.
Для всех m′ ∈N, для всяких функции Каратеодори F ∈B(I0 ×
Rm′, Rm′) и компакта Ψ ⊂C(I0, Rm′) определим на D псевдометрику
ϱF
Ψ : D × D 7→[0, +∞] по правилу:
I0
ϱF
Ψ(∆1, ∆2)
△
= sup
y∈Ψ
Z
°
°
°F
¡
τ ∗
∆1(t), y
¡
τ ∗
∆1(t)
¢¢
−F
¡
τ ∗
∆2(t), y
¡
τ ∗
∆2(t)
¢¢°
°
°
m′ dt.
1Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты 06-0100414, 07-01-96088) и Фонда содействия отечественной науке.