Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 10–11 классы

Б о л ь ш а я  п е р е м е н а

Э.Н. Балаян

ГЕОМЕТРИЯ
Задачи на готовых 
чертежах 
для подготовки к ЕГЭ

10–11 классы

Ростов-на-Дону

        еникс
2013

Балаян Э.Н.
Б20  
Геометрия : задачи на готовых чертежах для подготовки к ЕГЭ: 
10–11 классы / Э.Н. Балаян. — Рос тов н/Д : Феникс, 2013. — 
217 с. : ил. — (Большая перемена).

ISBN 978-5-222-19817-9

Предлагаемая вниманию старшеклассников книга содержит более 600 разноуровневых задач по всем основным темам геометрии (стереометрии) 10–11 классов на готовых чертежах, скомпонованных в 80 таблицах.
Эти задачи не только помогут учащимся углубить свои знания, проверить и 
закрепить практические навыки при систематическом изучении курса стереометрии, но и предоставляют хорошую возможность для самостоятельной эффективной подготовки к успешной сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам по математике.
Для удобства пользования книгой приводятся подробные решения к наиболее 
трудным задачам, а также краткие теоретические сведения, сопровождаемые 
определениями, рисунками и необходимыми справочными материалами. Ко всем 
задачам даны ответы.
Пособие является прекрасным дополнением к существующим учебникам 
геометрии, предназначено учителям, старшеклассникам общеобразовательных 
школ, лицеев, колледжей как для подготовки к урокам, так и сдаче ЕГЭ, а также 
репетиторам.

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72

ISBN 978-5-222-19817-9  
 
 
© Балаян Э.Н., 2012
 
 
 
 
 
 
© Оформление, ООО «Феникс», 2012

УДК 373.167.1:51
ББК 22.1я72
КТК 444
        Б20

ÏÐÅÄÈÑËÎÂÈÅ

Не секрет, что геометрические задачи вызывают у учащихся наибольшие затруднения. Достаточно сказать, что многие абитуриенты, 
как правило, обходят решения геометрических задач на ЕГЭ. Кроме 
того, выполнение наглядного чертежа также вызывает затруднения, 
не говоря уже о трудностях при нахождении идеи решения задачи.
Упражнения на готовых чертежах оказывают неоценимую помощь 
в усвоении и закреплении новых понятий и теорем. Эти задачи дают 
возможность в течение минимума времени усвоить и повторить значительно больший объем материала, тем самым наращивать темп работы 
на уроках. Кроме того, эти задачи способствуют активизации мыслительной деятельности учащихся, обучают их умению грамотно рассуждать, находить в них общее и делать различия, сопоставлять и противопоставлять, делать правильные выводы.
В книге на всех чертежах равные углы и равные отрезки отмечены 
одинаковыми знаками, прямые углы — квадратиками, что дает возможность учащимся значительно быстрее ориентироваться в условиях 
задачи.
Книга состоит из четырех разделов.
В первом разделе, для удобства пользования книгой, приводятся 
краткие теоретические сведения по курсу стереометрии, сопровождаемые необходимыми определениями, свойствами и справочными 
материалами. Изложение материала сжатое, в конспективной форме, 
но достаточное, чтобы им мог пользоваться не только старшеклассник, 
но и тот, кто незнаком с каким-либо разделом, и тот, кто окончил школу ранее и изрядно позабыл материал.
Во втором разделе приводятся базовые задачи, составленные в виде 
таблиц на нахождение углов и расстояний в пространстве, которые 
развивают геометрические представления, лежащие в основе решения 
любых задач по стереометрии.
Количество задач в самих таблицах — различно, среди них есть 
легкие, а более сложные расположены, как правило, в конце каждой 
таблицы, что дает возможность учителю вести дифференцированное 
обучение учащихся, а старшекласснику выбрать те или иные задачи 
в зависимости от уровня своей подготовленности.
В третьем разделе автором собраны разные задачи на многогранники и фигуры вращения. При выполнении задач происходит активная 
мыслительная деятельность учащихся, что, в свою очередь, приводит 
к эффективному непроизвольному запоминанию определений, свойств 
и признаков изучаемых фигур. В свою очередь, определения, свойства 

Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ: 10–11 êëàññû

и признаки рассматриваемых фигур периодически повторяются в процессе решения разнообразных задач, что приводит в итоге к продуктивному запоминанию.
Немаловажное значение имеет и то (как показывает опыт), что учащиеся с большим удовольствием предпочитают решать эти задачи, 
чем отвечать на теоретические вопросы.
В заключительном, четвертом разделе приводятся подробные решения к наиболее трудным задачам, по одной из каждой таблицы.
Решение задач на готовых чертежах, несомненно, способствует повышению творческой активности учащихся, развитию логического 
мышления, является эффективным средством усвоения и закрепления 
теоретического материала.
Ко всем задачам в конце книги даны ответы, что дает возможность 
проверить правильность решенной задачи.
Отметим, что предлагаемые задачи не ставят целью заменить систему задач из существующих учебников по геометрии, а являются лишь 
(как надеется автор) прекрасным дополнением к учебникам. Они дают 
возможность учителю сэкономить значительную часть времени на изучение соответствующих тем и способствуют усилению практической 
направленности преподавания геометрии.
В дополнение к этой книге и для основательной подготовки к урокам 
и ЕГЭ, автор настоятельно рекомендует использовать вышедшие в издательстве «Феникс» книги автора «Геометрия. Задачи на готовых чертежах. 7–9 классы» — 4-е изд., 2012 и «Репетитор по геометрии для подготовки к ГИА и ЕГЭ. 7–11 классы», 2012.

Ðàçäåë I

ÊÐÀÒÊÈÅ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÅÄÅÍÈß 
ÏÎ ÊÓÐÑÓ ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈÈ 
X–XI ÊËÀÑÑÎÂ

При решении задач стереометрии возрастают требования к качеству 
чертежа и его наглядности.
Освоение принципов и техники построения пространственного чертежа — необходимое условие для успешного решения задач.
Пространственные тела можно условно разделить на удобные для 
пространственного изображения и неудобные. К первой категории относятся многогранники: параллелепипед, треугольная призма, треугольная и четырехугольная пирамида. Все остальные будем считать неудобными для изображения.
В некоторых случаях при решении задач можно вообще обойтись одним плоским чертежом или несколькими (в случае необходимости) и не 
строить пространственное изображение.
Основным средством решения задач является аналитический метод.

Ìíîãîãðàííèêè

К этому разделу отнесем два основных типа задач:
1) задачи на вычисление;
2) задачи на сечения.
К задачам на вычисление относятся те, где требуется найти линейные 
элементы правильных призм и пирамид, а именно: сторону основания, 
боковое ребро, апофему и т. д., далее угловые элементы: двугранные углы 
при основании, линейные углы при вершине; площади: боковой поверхности, полной поверхности, основания.
В основе второго типа задач — задач на построение лежит умение 
построить сечение данного многогранника плоскостью и определить вид 
этого сечения. В задачах этого типа сечение задается точкой и прямой, 
тремя точками, двумя точками и прямой, параллельной плоскостью сечения и т. д.

Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ: 10–11 êëàññû

Многогранником называется тело, граница которого состоит из многоугольников.
Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, а 
вершины — вершинами многоугольника.
Отрезки, соединяющие две вершины, не лежащие на одной грани, называются диагоналями многогранника.
Многогранники бывают выпуклые и невыпуклые.
Если многогранник целиком расположен по одну сторону от плоскости каждой его грани, то он называется выпуклым.
Например, тетраэдр, октаэдр, параллелепипед — выпуклые многогранники.
Все грани выпуклого многогранника являются выпуклыми многоугольниками.
В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой 
его вершине меньше 360°.

1. Ïðèçìà

Призмой (рис. 1) называется многогранник, 
у которого две грани ABCDE и A1B1C1D1E1 (основания призмы) — равные многоугольники с 
соответственно параллельными сторонами, а все 
остальные грани (AA1B1B; BB1C1C и т. д.) — параллелограммы, плоскости которых параллельны одной прямой (AA1, BB1 и т. д.).
Параллелограммы AA1B1B, BB1C1C и т. д. 
называются боковыми гранями, а ребра AA1, 
BB1 и т. д. называются боковыми.
Перпендикуляр FF1, опущенный из любой 
точки одного основания на плоскость другого, 
называется высотой призмы.
Если в основании призмы лежит треугольник, четырехугольник и т. д., то призма называется соответственно треугольной, четырехугольной и т. д.
Призма называется прямой, если боковые ребра перпендикулярны к 
основаниям, в противном случае призма называется наклонной.
Если в прямой призме основание — правильный многоугольник, то 
призма называется правильной.
У правильной призмы все боковые грани — равные прямоугольники.
Сечение, которое образовано плоскостью, перпендикулярной боковому ребру призмы, называется перпендикулярным сечением (см. рис. 1).

Рис. 1

A

B

C

D
E

F

A1

B1

C1

D1

H

E1

F1

l

Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ 
 7

Произвольная призма

Sбок. = Pсеч. · l;   V = Sосн. · H;  V = Sсеч. · l;
Sполн. = Sбок. + 2Sосн.

Прямая призма

Sбок. = P · H;   Sполн. = Sбок. + 2Sосн.;   V = Sосн. · H.
Замечание. Для произвольного параллелепипеда справедливы те же 
формулы.

2. Ïàðàëëåëåïèïåä

Параллелепипедом называется призма, основание которой — параллелограмм (рис. 2).
У параллелепипеда 6 граней и все они параллелограммы.
Противоположные грани попарно равны и параллельны.
Параллелепипед имеет 4 диагонали, которые 
пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам.
Любая грань параллелепипеда может быть 
принята за основание.
Параллелепипед, у которого боковые грани — 
прямоугольники, называется прямым.
Прямой параллелепипед, у которого все грани — прямоугольники, называется прямоугольным (рис. 3).
Прямоугольный параллелепипед, у которого 
все грани квадраты, называется кубом.

Прямоугольный параллелепипед (рис. 3):

Sбок. = P · H = 2(a + b)c;
V = abc;
Sполн. = 2(ab + bc + ac);
d2 = a2 + b2 + c2.

Куб

Если a — ребро куба, то
V = a3; d = 
3
a
;   Sполн. = 6a2.

Рис. 2

Рис. 3
a

c

b

d

Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ: 10–11 êëàññû

3. Ïèðàìèäà

Пирамидой называется многогранник, у которого одна грань — основание пирамиды — 
произвольный многоугольник ABCDE (рис. 4), 
а остальные боковые грани — треугольники с 
общей вершиной M.
Перпендикуляр MO, опущенный из вершины 
на основание, называется высотой пирамиды.
Если в основании пирамиды треугольник, 
четырехугольник и т. д., то пирамида называется треугольной, четырехугольной и т. д.
Треугольная пирамида называется тетраэдром (четырехгранником).
Если в основании пирамиды лежит правильный многоугольник, а высота проецируется в 
центр основания, то пирамида называется правильной (рис. 5).
В правильной пирамиде все боковые ребра 
равны, все боковые грани — равнобедренные 
треугольники.
Высота боковой грани MD называется апофемой правильной пирамиды.

Произвольная пирамида

Sполн. = Sбок. + Sосн.;   V = 1
3 Sосн. · H.

Правильная пирамида (рис. 5)

Sбок. = 1
2 P · h;   Sбок. = 


осн.
cos
S
;

Sполн. = Sбок. + Sосн.;   V = 1
3 Sосн. · H.

Если в пирамиде провести сечение, параллельное основанию, то часть 
пирамиды, заключенная между секущей плоскостью и основанием, называется усеченной пирамидой (рис. 6).
Параллельные грани усеченной пирамиды (ABC и A1B1C1) называются ее основаниями; расстояние между ними (OO1) — высотой.
Усеченная пирамида называется правильной, если пирамида, из которой она получена, была правильной.

Рис. 4

Рис. 5

A
B

C

D

M

E
O

A

B

C

D

M

O

H



h

Ðàçäåë I. Êðàòêèå òåîðåòè÷åñêèå ñâåäåíèÿ ïî êóðñó ñòåðåîìåòðèè X–XI êëàññîâ 
 9

Все боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобедренные трапеции.
Высота боковой грани называется апофемой правильной усеченной 
пирамиды.

Произвольная усеченная пирамида

V = 


1
2
1
2
(
)
3
H S
S
S S
.

Правильная усеченная пирамида (рис. 6)

Sбок. = 

1
2
1(
)
2 P
P , где P1, P2 — периметры 

оснований.
Sполн. = Sбок. + S1 + S2, где S1, S2 — площади оснований.

4. Äîïîëíèòåëüíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ýëåìåíòàìè 
ïðèçìû è ïèðàìèäû

1. Если в пирамиде MA1A2…An все боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы (рис. 7), длины всех боковых ребер равны, то вершина M пирамиды 
проецируется в центр окружности, описанной около основания пирамиды (эта точка 
O является также точкой пересечения серединных перпендикуляров, проведенных 
к сторонам основания пирамиды).
2. Если в пирамиде MA1A2…An все боковые грани образуют с основанием равные 
углы и длины всех апофем боковых граней 
равны, то вершина M пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в 
основание пирамиды. Эта точка является также точкой пересечения 
биссектрис углов в основании пирамиды (рис. 8).
3. Если высота треугольной пирамиды MABC проходит через точку 
пересечения высот ABC, лежащего в основании, то противоположные 
ребра пирамиды перпендикулярны, т. е. AM  BC, MC  AB и MB  AC. 
Справедливо и обратное утверждение (рис. 9).
4. Если MO — высота пирамиды MABC и MA  BC, то (MAO)  BC 
(рис. 9).

Рис. 6

A

B

C

O

A1

B1

C1
O1

H
h

Рис. 7

M

O

A1
A2

An

Ãåîìåòðèÿ. Çàäà÷è íà ãîòîâûõ ÷åðòåæàõ äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ: 10–11 êëàññû

5. Если в наклонной призме A1A2…AnB1B2…Bn 
боковое ребро A1B1 составляет равные углы со 
сторонами основания, образующими вершину 
A1, то точка O основания высоты B1O лежит 
на биссектрисе A1 (рис. 10).

Êðóãëûå òåëà

Заметим, что круглые тела по сравнению с 
многогранниками относительно трудно поддаются изображению. Это замечание прежде 
всего относится к шару. По этой причине при 
решении стереометрических задач, как правило, сам шар (а тем более шары) стараются не 
изображать, так как многие задачи на круглые 
тела сводятся к задачам планиметрии.
При решении задач, связанных с цилиндром, используются такие 
понятия, как высота, образующая, радиус основания, осевое сечение, 
основание, поверхность (боковая и полная) и соответственно параметры: 
площадь осевого сечения, площадь боковой и полной поверхностей, площадь основания, объем цилиндра, радиус основания.
Что касается прямого кругового конуса (или просто конуса), то здесь 
добавляются угол при вершине осевого сечения и угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

Рис. 8
Рис. 9

M

O

A1
B1

B2

A2
Bn

A

B

C

D

M

O

Рис. 10

O
A1

B1

A3
A2

An

B3

B2

Bn