Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам. Часть 2

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Технологический институт

Федерального государственного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Сборник заданий к типовым расчетам 

и контрольным работам по математическим 

дисциплинам

Часть II

Ростов-на-Дону

Издательство Южного федерального университета

2009

1

УДК 51(075.8)
 ББК 22.1я73
         С 23

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, 

зав. кафедрой математического анализа ТГПИ  Илюхин А. А.;

доктор физико-математических наук, профессор, 
зав. кафедрой  физики ТТИ ЮФУ  Куповых Г. В.

Авторский коллектив:

Бородицкий М. П., Зуев В. Н., Кодачигова Л. К., Мархель Э. Г., 

Сапунцов Н. Е., Сухинов А. И.

Главный редактор     доктор физико-математических наук, профессор А. И. Сухинов.
Заместитель гл. редактора: 
кандидат физико-математических наук, профессор М. П. Бородицкий.

Учебное пособие подготовлено и издано в рамках 

национального проекта «Образование» 

по «Программе развития федерального государственного образовательного 

учреждения «Южный федеральный университет» на 2007–2010 гг.»

С 23

Сборник заданий к типовым расчетам и контрольным 

работам по математическим дисциплинам. Ч. II: учеб. пособие / 
Под редакцией А. И. Сухинова. – Ростов н/Д: Изд-во ЮФУ, 
2009. –  539 с.: ил. 88.

ISBN 978-5-9275-0665-1
ISBN 978-5-9275-0666-5
Сборник содержит задачи по теории функций комплексной 

переменной, операционному исчислению, векторному анализу, уравнениям 
математической физики, теории вероятности и математической статистики.

В начале каждой главы приводится сводка теоретических положений, 

определений и формул, а также дается подробное решение типичных 
заданий, входящих в варианты. В «Сборнике» содержится более 5000 задач 
для самостоятельного решения.

Пособие рекомендуется для студентов, аспирантов и преподавателей 

технических и экономических вузов; может быть использовано как при 
очной, так и при дистанционной формах обучения.

Сборник заданий подготовлен в рамках межвузовской комплексной 

программы «Наукоемкие технологии образования».

ISBN 978-5-9275-0665-1
УДК 51(075.8)

ISBN 978-5-9275-0666-5
ББК 22.1я73

© ТТИ  ЮФУ, 2009

     © Южный федеральный

университет, 2009

2

CОДЕРЖАНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ…………………………………………………………6
I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ .........................................................................8

1. Вектор-функция скалярного аргумента ......................................8
2. Скалярные и векторные поля. Основные дифференциальные 
операции в декартовой системе координат ..................................12
3. Криволинейный интеграл II рода. Формула Грина ................19

3.1. Криволинейный интеграл II рода .................................19
3.2. Формула Грина ...............................................................21

4. Поток векторного поля. Теоремы Гаусса-Остроградского и 
Стокса................................................................................................23

4.1. Поток векторного поля ...................................................23
4.2. Теорема Гаусса-Остроградского....................................26
4.3. Теорема Стокса................................................................26

5. Потенциальное поле....................................................................47
6. Оператор Гамильтона..................................................................50

6.1. Понятие оператора Гамильтона.....................................50
6.2. Дифференциальные операции 1-го порядка.................51
6.3. Дифференциальные операции 2-го порядка.................53

7. Ортогональные криволинейные координаты. Коэффициенты 
Ламэ. Основные дифференциальные операции теории поля в 
криволинейных координатах..........................................................56

7.1. Длина дуги........................................................................56
7.2.Криволинейные координаты. Коэффициенты Ламэ.....56
7.3. Инвариантное определение ротора и дивергенции .....62

Задания..............................................................................................72

II. УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ ...........................104

1. Определение и классификация дифференциальных 
уравнений с частными производными........................................104
2. Характеристические поверхности (характеристики) 
квазилинейного уравнения второго порядка. Приведение
квазилинейного уравнения второго порядка к каноническому 
виду .................................................................................................107
3. Основные уравнения с частными производными. Задачи 
для уравнений с частными производными.................................113
4. Методы решения задач для уравнений с частными 
производными………....................................................................115

3

4.1. Метод характеристик…………………………………115

4.1.1. Метод Даламбера...............................................115
4.1.2. Фазовая плоскость.............................................119

4.2. Метод разделения переменных (метод Фурье)..........129

4.2.1.Ортогональные системы....................................129
4.2.2. Функции Бесселя...............................................130
4.2.3. Модифицированные функции Бесселя...........132
4.2.4. Сферические функции Бесселя........................133
4.2.5. Шаровые и сферические функции .................135
4.2.6. Схема метода Фурье .........................................137

4.3. Метод интегральных преобразований ........................269

Задания............................................................................................283

III. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ И 
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ.....................................................339

1. Комплексные числа и действия над ними ..............................339

1.1. Алгебраическая форма комплексных чисел...............339
1.2. Геометрическая интерпретация комплексных чисел 340

2. Функции комплексного переменного......................................344

2.1. Кривые и области на комплексной плоскости...........344
2.2. Аналитические функции...............................................348

3. Интегрирование функций комплексного переменного.........350
4. Ряды.............................................................................................353

4.1. Ряд Тейлора....................................................................353
4.2. Ряд Лорана......................................................................355

5. Изолированные особые точки..................................................359
6. Вычеты и их применение к вычислению интегралов............363

6.1. Определение и вычисление вычетов...........................363
6.2. Применение вычетов к вычислению интегралов.......366

7. Преобразование Лапласа...........................................................374

7.1. Преобразование Лапласа и его свойства.....................374
7.2. Нахождение изображения по оригиналу ....................379
7.3. Нахождение оригинала по изображению ...................381
7.4. Решение линейных дифференциальных уравнений 
операционным методом.......................................................384
7.5. Решение систем линейных уравнений 
операционным методом.......................................................386

Задания.........................................................................................389

4

IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 
СТАТИСТИКА........................................................................................425

1. Классическое определение вероятности.................................425
2. Элементы комбинаторики……………………………………428
3. Геометрическое определение вероятности.............................433
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей.....................437
5. Формула полной вероятности. Формула Байеса....................440
6. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли .......444
7. δ-функция и  ее свойства...........................................................447
8. Законы распределения и числовые характеристики
случайных величин........................................................................448
9. Двумерные случайные величины ...........................................458
10. Функции случайных аргументов ...........................................468
11. Характеристические функции................................................480
12. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева....................482
13. Квантили случайных величин................................................483
14. Точечные и интервальные оценки параметров 
распределения ................................................................................485
15. Проверка статистических гипотез .........................................488
16. Критерий 
2
 ..............................................................................499

Задания............................................................................................501

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.......................................................................................537
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК...................................................538

5

ПРЕДИСЛОВИЕ

Предлагаемая вниманию преподавателей и студентов вторая 

часть «Сборника заданий к типовым расчетам и контрольным 
работам по математическим дисциплинам» является коллективным 
трудом многих сотрудников кафедры высшей математики и 
аккумулирует опыт, накопленный на кафедре высшей математики 
ТРТУ более чем за 50 лет. Тем не менее, не могу не сказать о ведущей 
роли в написании и редактировании глав, посвященных векторному 
анализу и теории поля, теории вероятностей и математической 
статистике (главы 1, 3 и 4) заместителя главного редактора − 
профессора М.П. Бородицкого, а в написании главы «Уравнения 
математической физики» − профессора В.Н. Зуева. 

Имеющийся опыт применения первой части «Сборника…», 

позволяет говорить о востребованности такого учебного пособия в 
техническом университете в современных условиях, что, по моему 
мнению, объясняется следующими его особенностями. 

Во-первых, 
«Сборник
заданий 
к 
типовым 
расчетам 
и 

контрольным работам по математическим дисциплинам » (части 1 и 2) 
содержит подборку большого количества типичных примеров и задач 
(более 11000) , покрывающих потребности проведения практических 
занятий по математическим курсам в I-IV семестрах. Для каждой 
типичной задачи составлено не менее 30 вариантов заданий равной 
трудности. Общее число заданий второй части «Сборника…» – 5070. 
Это позволяет проводить объективный контроль качества обучения, 
как в рамках отдельной группы, так и для потока групп, 
занимающегося по единой рабочей программе. Части 1 и 2 «Сборника
заданий 
к 
типовым 
расчетам 
и 
контрольным 
работам 
по 

математическим дисциплинам» представляют собой открытую базу 
задач, из которых можно формировать задания разного уровня 
сложности и осуществлять контроль с использованием современных 
информационных и тестовых технологий. 

Во-вторых, в «Сборнике…» приводится краткая теория и 

подробно рассмотрены решения типовых примеров и задач. Это 
предоставляет 
возможность 
самостоятельного 
освоения 

употребительных методов решения типичных задач. 

Кратко о структуре второй части «Сборника заданий к типовым 

расчетам и контрольным работам по математическим дисциплинам», 
который состоит из четырех глав. В соответствии с уже сложившейся 
традицией в начале каждой главы приведена краткая теория. Как 

6

правило, для иллюстрации тех или иных теоретических результатов 
здесь же подробно разобраны решения типичных задач. В конце 
каждой главы приведены варианты заданий. Наибольшее число 
заданий (111 из 185) приходится на теорию вероятностей и 
математическую статистику. Для этого есть веское основание –
методы математической статистики становятся повседневным 
инструментарием 
не 
только 
в 
прикладной 
математике, 

естественнонаучных приложениях, но и в технике, экономике и 
гуманитарной сфере. Несмотря на различный уровень изучения 
теории вероятностей и математической статистики для указанных 
групп специальностей, я надеюсь, что «Сборник…» окажется 
полезным для всех перечисленных выше категорий обучающихся.

Мы будем признательны всем, кто сообщит нам о неизбежных в 

работе такого объема неточностях и ошибках. 

В заключение выражаю благодарность профессору И.П.Фирсову, 

который ознакомился с рукописью книги и сделал много полезных 
замечаний и программистам кафедры высшей математики Т.А. 
Десятовой 
и 
С.П. 
Суриной, 
вложивших 
большой 
труд 
в 

компьютерную верстку данного учебного пособия.

Главный редактор,
д-р физ.-мат. наук, профессор
А.И. Сухинов

7

I. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ

1. Вектор-функция скалярного аргумента

Пусть
1
2
3
( ,
,
)
n
n n n

− вектор, заданный в некоторой декартовой 

системе координат, 
2
2
2

1
2
3




n
n
n
n
 его длина. Тогда вектор 

o
n
n = n

 имеет единичную длину.

Если 
o
o
o
o

1
2
3
n =(n ,n ,n ),
o
n
1,

,
,

i
j k
 координатные орты, 





,
,
углы между векторами n
и i , n
и
j , n
и k

соответственно, то 
o
n
(cosα, cosβ,cosγ).


Координаты вектора 
o
n  называют направляющими косинусами.

Пример 1. 
Пусть 
)1
,2,2
(
n


, 
n
4
4 1
3


 
, 

.
3
1
,
3
2
,
3
2
n








 Тогда  
,
3
2
cos


,
3
2
cos


3
1
cos



.

Вектор 
r
 называется 
вектор-функцией 
скалярного 

аргумента t, если любому t из множества допустимых значений 
ставится в соответствие вектор 
).
t(r

В декартовой системе координат задание вектор-функции 

)t(r
 эквивалентно заданию трех скалярных функций x(t), y(t), z(t), 

являющихся координатами 
).
t(r

( )
( )
( )
( ) .
r t
x t i
y t j
z t k




Пусть вектор-функция
)t(r
определена в некоторой окрестности 

точки 
0t
t 
. Тогда

1. 




0
t
t
r
)t(r
lim

0
0
r
)t(r
lim
0
t
t
0




.

Геометрически это означает, что 
)t(r
 стремится к 
0r  как по 

длине, так и по направлению.

2. Вектор-функция 
)t(r
 называется непрерывной при 
0t
t 
, 

если 
)
t(r
)t(r
lim
0
t
t
0



.

3. Если при 
0
t 

 отношение 





t

)t(r

t

)t(r
)t
t(r






 имеет

8

предел, то этот предел называется производной вектор-функции 

)t(r
r 
 по 
скалярному 
аргументу 
t 
и 
обозначается 

t
r
lim
)t(
r
dt
r
d

0
t








.

4. Кривая 
)t(r


 называется гладкой, если вектор-функция 

)t(r
 непрерывно дифференцируема и r (t)
0


 для всех t из области 

допустимых значений.

Задачи. 1. Доказать, что 
)t(r
 (1) непрерывна (непрерывно 

дифференцируема) тогда и только тогда, когда функции x(t), y(t), 
z(t) непрерывны (непрерывно дифференцируемы) и 

.k
)t(
z
j)t(
y
i)t(
x
)t(
r








2. Доказать, что 


)t(
r
)t(
r
2
1




)t(
r
)t(
r
2
1
)t(
r
)t(
r
2
1


.

3. Доказать, что в каждой точке гладкой кривой существует 

касательная и производная 
)t(
r
 направлена  по этой касательной в 

сторону возрастания параметра t.

Понятие поверхности в трехмерном пространстве можно 

определить с различной степенью общности. Будем рассматривать 
поверхность, как образ замкнутой плоской области G  при 
непрерывном отображении. Такую поверхность можно задать 
различными способами:

а) поверхность, которая задается в явном  виде z
f (x,y)

, где 

f – функция непрерывная в замкнутой ограниченной области G . 
Аналогично 
)
z,y
(
q
x 
, или 
)z
,x
(
h
y 
.

 б) более 
общим 
заданием 
поверхности 
является 

параметрическое:
)
v
,u
(
x
x 
, 
)
v
,u
(
y
y 
,
)
v
,u
(
z
z 
, где 

функции x, y, z непрерывны в замкнутой ограниченной области G . 
Три равенства можно заменить одним векторным:

r = r(u,v) = x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k .
(2)

Рассмотрим два вектора 

k
z
i
y
i
x
r
u
u
u
u







, 
k
z
j
y
i
x
r
v
v
v
v








и их векторное произведение 
v
u
r
r



.

Поверхность (2) называется гладкой, если 
)
v
,u
(r
 непрерывно 

дифференцируема в области G  и 
0
r
r
v
u




 для всех точек (u,v)G .

9

Введем понятие ориентации 
поверхности.

Пусть поверхность S имеет 

представление (2). Фиксируем 

0v
v 
. Тогда 
0
r = r (u,v )

задаст некоторую кривую 
1γ , 

лежащую 
на 
S. 
Вектор
функция
)
v
,
u
(r
0
 определяет 

кривую 
2 , 

Рис. 1

также лежащую на S. Эти кривые проходят через точку 









0
0
0
0
0
0
0
M
x u ,v
, y u ,v
, z u ,v
 поверхности S.

Векторы 
)
v
,
u
(
r
0
0
u
 и 
)
v
,
u
(
r
0
0
v
 будут касательными к кривым 

1 и 
2  в точке 
0
M (см. задачу 1). Следовательно, они лежат в 

касательной плоскости к S в точке 
0
M , а вектор 
v
u
r
r
n




 (
0

, 

так как поверхность гладкая) направлен по нормали к поверхности 
S в точке 
0
M . Через 
o
n
обозначим единичный вектор этой 

нормали

u
v
o

u
v

r ×r
n =

r ×r







.
(3)

В каждой точке гладкой поверхности S существует нормаль, на 

которой можно выбрать два направления 
o
n  и 

o
n

.

Определение. Если из каждой точки M гладкой поверхности S

можно выпустить единичную нормаль так, что полученная векторфункция от М будет непрерывной на всей поверхности S, то S
называется ориентируемой поверхностью.

Для ориентируемой гладкой поверхности существуют две 

ориентации, одну из которых определяемой (3), называют 
положительной, а вторую 


o
n

 отрицательной.

Функцию 



o
n
M





o
n
M

 называют непрерывным полем 

единичных нормалей.

n

0
M

2

1

vr

ur



10