Политематический сетевой электронный научный журнал Кубанского государственного аграрного университета, 2004, №5

УДК 622.011.43 

 

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ  

ДЛЯ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ 

 

Аршинов Г.А. – к. ф.-м. н. 

Кубанский государственный аграрный университет 

 

Исследуются условия возникновения уединенных продольных волн в физически и 

геометрически нелинейных вязкоупругих стержнях. 

 
В бесконечном стержне, свободном от внешних воздействий, отнесен
ном к системе координат с осью x, расположенной вдоль осевой линии 

стержня, и осями y, z  –  в одном из поперечных сечений, перемещения точек 

стержня аппроксимируются функциями 

)t,x
(
u
u1 =
,
x
2
yu
u
ν
−
=
,
x
3
zu
u
ν
−
=
, 
 
 
(1) 

где 
3
2
1
u
,
u
,
u
– соответственно перемещения по осям x, y, z; t  – время, ν – 

коэффициент Пуассона,   
x
u
u x
∂
∂
=
. 

Деформации стержня задаются тензором Грина: 

),
u
u
u
u
(
2
1
j,
k
i,
k
i,j
j,i
ij
+
+
=
ε
  
 
 
(2) 

где  
,x
x1 =
  
,y
x 2 =
  
.z
x 3 =
 
 

Реологические свойства стержня определяются уравнениями квадра
тичной теории вязкоупругости [1]: 

∫
∞
−

τ
τ
τ
µγε
+
τ
µε
+
δ
τ
λθ
τ
−
β
−
α
−
µε
+
λθδ
=
σ
t
d
)]
(
ij
e
)
(
2
u
2
)
(
ij
2
ij
)
(
[)
t(
e
ij
2
ij
)t(
ij
, (3) 

где λ ,µ – параметры Ламе, 
ii
ε
=
θ
 – объемное расширение, 
ij
δ  – символы 

Кронекера 
ij
ij
ij
3
1
e
θδ
−
ε
=
 – компоненты девиатора деформаций, 
γ
β
α
,
,
 
реологические константы материала, 
ij
ij
2
u
e
e
3
2
=
ε
 – интенсивность деформа
ций.  

Интегральные операторы в уравнениях (3) заменяются дифференци
альными путем разложения функций  

)
(
e)
(
2
)
(
2
)
(
)
(
f
ij
2
u
ij
ij
τ
τ
µγε
+
τ
µε
+
δ
τ
λθ
=
τ
  

в ряд Тейлора по степеням 
)
t(
τ
−
. 

При условии быстрого затухания памяти материала 
1
t >>
β
 в разложе
ниях можно сохранить два слагаемых ряда и записать 

),
e
(
p
2
)
2
(
P
ij
2
u
ij
ij
ij
ε
γµ
+
µε
+
λθδ
=
σ
 

где введены операторы  

)
1(
t
P
2
β
α
−
+
∂
∂

β
α
=
, 
 

β
α
−
∂
∂

β
α
=
t
p
2
, 

действующие на функцию 
)t(
f
 по правилам  

f)
1(
f
Pf
t
2
β
α
−
+
β

α
=
,  
f
f
pf
t
2
β
α
−
β

α
=
. 

Компоненты девиатора деформаций: 

+
ν
−
+
ν
+
=
2
x
2
x
11
u
)
1(
3
1
u
3

)
1(
2
e
, 

2
xx

2
2
2
x
2
x
22
u
6
r
u
)
1(
6
1
u
)
1(
3
1
e
ν
−
ν
−
−
ν
+
−
=
, 

xx
x

2

xx
12
u
u
2

y
u
2
y
e
ν
+
ν
−
=
, 

xx
x

2

xx
13
u
u
2

z
u
2
z
e
ν
+
ν
−
=
, 

где    
2
2
2
y
z
r
+
=
.  
  

Уравнение движения стержня выводится из вариационного принципа 

так же, как в работе [2] , и преобразуется к безразмерным переменным  

t
l
c

l
x −
=
ξ
, 
t
l
c
ε
=
τ
, 
A
u
*
u =
, 
d
x
x* =
, 
d
y
y* =
,  

где A  – амплитудный параметр возмущения, l, d – соответственно характер
ные длина волны и поперечный размер стержня, −
c
скорость волны, 
l
A
=
ε
 – 

характеристика нелинейности волнового процесса.  

Если длина волны l  значительно превосходит амплитудный параметр 

А, т. е.  
l
A
=
ε
– малый параметр, а поперечные размеры стержня и реологиче
ские постоянные 
γ
β
α
,
,
 определяют отношения порядков  

)
(
O
l

c

2
ε
=
β
α
,  
)
1
(ε
=
γ
O
, 
)
(
O
l
d
ε
=
, 

где d  – характерный размер поперечного сечения,  

то безразмерное уравнение движения стержня примет вид: 

(
)
[
]+
ε
+
ε
−
εν
+
ε
−
ε
+
−
ρ
ξξττ
ξξξτ
ξξξξ
ττ
ξτ
ξξ
u
u
2
u
u
u
2
u
E
c
2
2
2
2
 

+
+
β
α
−
ε
+
β
α
−
ξξ
ξ
ξξ
u
u
)
1(
u
)
1(
+
ε
+
⋅
ξ
∂
∂
−
τ
∂
∂
ε
β

α

ξξ
ξ
ξξ
]
u
u
u
[
)
(
l

c

2
 (4) 

+
0
u
u
a
2
2
=
γ
ε
ξξ
ξ
, 

где 

)
1(
a
ν
+
β

α
=
, а звездочки отброшены.  

Функцию u  представим в виде асимптотического разложения: 

...
u
u
u
1
0
+
ε
+
=
 и подставим в  уравнение (4). Из  нулевого приближения 

следует уравнение:   

0
u
1
E
c
0

2
=
β
α
−
+
ρ
−
ξξ
,  

  где E – модуль упругости. 

Так как  
,0
0
≠
ξξ
u
  то скорость распространения волны 
).
1(
E
c
β
α
−
ρ
=
 

Из первого приближения вытекает модифицированное уравнение Кор
тевега де Вриза – Бюргерса: 

0
b
b
b
b
4
3
2
2
1
=
ψ
+
ψ
+
ψ
ψ
−
ψψ
+
ψ
ξξξ
ξξ
ξ
ξ
τ
, 
 
(5) 

где  
,
u0ξ
=
ψ
β
α
−
= 1
b1
 ,
γε
= a
b2
,  
ε
β
α
−
=
l
c
b
2
3
,  
2

2
2
2

4
l
2

d
r
b

ε

ν
=
. 

Точное решение уравнения (5) находится из сингулярного многообразия 

1
0
ш
F
ш
ш
+
=
, 
 
 
 
 
(6) 

где 
F
,
ш
,
ш
1
0
 – неизвестные функции независимых переменных. 

 
Подстановка (6) в уравнение (5) дает 

2

1

4
2

3

2

4
1
2

4
0
b
2
b
b
b
6
b
F

F

b
b
6
2
1
   
,
F
b
b
6
+
=
ψ
±
=
ψ

ξ

ξξ
ξ
m
m
,  

где функция 
1
ψ  удовлетворяет уравнению (5).  

В результате
1
2

4
0
F

F

b
b
6
ψ
+
±
=
ψ
ξ
. Подстановка в последнее равенство 

функции 
n
)
k
(
2
1

e
1
F

ωτ
−
ξ
+
=
  приводит к точному решению уравнения (5) в виде: 

               

2

1

4
2

3
1

2

4
1
b
2
b

b
b
6

b
)]
n
k
(
th
b
b
6
n
k
+
ωτ
−
ξ
±
=
ψ
m
 ,          (7) 

где   
1
3
1
2
4
1
4

2
3

2

2
1
k
     
Z,
n
  ,
k
n

b
2
k
)
b
b
6
1
b
b
4
1
(
∈
−
−
=
ω
 – произвольный параметр. 

Далее исследуются случаи, когда полученное решение описывает струк
туру ударных волн. 

1) Пусть 
0
n
k1 >
  и  
0
b
2
b
b
b
6
b
b
b
6
n
2
k

2

1

4
2

3

2

4
1
=
+
±
m
, 

тогда  
 

2

1

4
2

3

2

4
1
b
2
b
b
b
6
b
b
b
6
n
2
k
m
=
 
 

и 

2

1

4
2

3
1

4
2

3

2

1
b
2
b

b
b
6

b
)]
n
k
(
th
)
b
b
6

b
b
2
b
(
+
ωτ
−
ξ
±
−
=
ψ
m
. 

В итоге 

))
n
k
(
th
1
)(
b
b
6

b
b
2
b
(
1

4
2

3

2

1
ωτ
−
ξ
−
±
=
ψ
. 

Если 

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
>
, то при выбранных условиях в стержне возникает 

уединенная ударная волна растяжения 
)
0
(
>
ψ
, если  

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
<
 – вол
на сжатия 
)
0
(
<
ψ
. 

2) Пусть 
0
n
k1 <
 и 
0
b
2
b
b
b
6
b
b
b
6
n
2
k

2

1

4
2

3

2

4
1
=
+
m
m
,  

тогда 

0
b
2
b
b
b
6
b
b
b
6
n
2
k

2

1

4
2

3

2

4
1
<
±
−
=
 

и 

  
 

2

1

4
2

3
1

4
2

3

2

1
b
2
b

b
b
6

b
)
n
k
(
th
)
b
b
6

b
b
2
b
(
+
ωτ
−
ξ
=
ψ
m
m
. 

 

В результате  

))
n
k
(
th
1
)(
b
b
6

b
b
2
b
(
1

4
2

3

2

1
ωτ
−
ξ
+
−
±
=
ψ
. 

Если  

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
>
±
  или  

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
>
, то при указанных усло
виях в оболочке возникает ударная волна растяжения 
)
0
(
>
ψ
. 

Если 

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
<
±
  или  

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
<
, то при выбранных ус
ловиях  – ударная волна сжатия 
)
0
(
<
ψ
. 

Из проведенного исследования следует: как при 
0
n
2
k1 >
, так  и  
0
n
2
k1 <
 в 

случае выполнения условия 

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
>
 в физически и геометрически 

нелинейном вязкоупругом стержне возникает уединенная ударная волна рас
тяжения. Если выполняется условие 

2
4

3

2

1
b
b
6
b
b
2
b
±
<
, то образуется ударная 

волна сжатия.  

Как и в линейном случае [2], при переходе к размерным переменным 

получается поправка к скорости распространения волны  
ε
ω

1
k
. 

Список литературы 

1. Москвитин В.В. Сопротивление вязкоупругих материалов. М.: Наука, 1972. 

2.  Аршинов Г.А. Математическая модель продольных колебаний  и эволюционные 

уравнения для линейно-вязкоупругого стержня  // Научный журнал КубГАУ. 2004. № 3 

(5). http: // ej. kubagro. ru. 

 

УДК 622.011.43 

 

 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 

 И ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ  

ДЛЯ ЛИНЕЙНО-ВЯЗКОУПРУГОГО СТЕРЖНЯ 

Аршинов Г.А. – канд. физ.-мат. наук 

Кубанский государственный аграрный университет 
 
 

Математическая модель продольных колебаний построена на основе вывода и ана
лиза эволюционных уравнений для линейно-вязкоупругого стержня. 

Бесконечный стержень, свободный от внешних объемных и поверхност
ных воздействий, отнесен к системе координат. Ось x  расположена  вдоль 

оси стержня, а оси y и z  –  в одном из поперечных сечений. 

Перемещения точек стержня аппроксимируются с помощью функций  

)t,x
(
u
u1 =
,
x
2
yu
u
ν
−
=
,
x
3
zu
u
ν
−
=
, 
 
 
(1) 

где 
3
2
1
u
,
u
,
u
– соответственно перемещения по осям x, y, z; t  – время, ν – 

коэффициент Пуассона. 

Буквенные индексы переменных функции (1)  определяют частную 

производную от функции по указанной переменной, т. е.  

x
u
u x
∂
∂
=
,  
2

2

tt
t

u
u

∂

∂
=
    и т.д. 

Конечные деформации стержня задаются  тензором Грина 

),
u
u
u
u
(
2
1
j,
k
i,
k
i,j
j,i
ij
+
+
=
ε
  
 
 
 
(2) 

а физико-механические свойства  – уравнениями линейной вязкоупругости: 

]
d
)
(
e
)t(
[
K
)t(

d
)]
(
e
e
)t(
e[
2
)t(
s

t
)
t(

ij

t
)
t(
ij
ij

τ
τ
θ
α
−
θ
=
σ

τ
τ
α
−
µ
=

∫

∫

∞
−

τ
−
β
−

∞
−

τ
−
β
−

, 
 
 
(3) 

 

где 
ij
ij e,
s
 − соответственно компоненты девиаторов напряжений и деформа
ций; 
ii
3
1 σ
=
σ
 − среднее напряжение, 
ii
ε
=
θ
 − объемное расширение, 

)
2
1(
3
E
K
ν
−
=
 − модуль объемной деформации, 
)
1(
2
E
ν
+
=
µ
 − параметр Ла
ме; 
β
α,
 - константы, определяющие реологические свойства стержня; Е − 

модуль Юнга; ν  − коэффициент Пуассона. 

При условии t
β >>1 интегральные операторы в уравнениях (3) заменя
ются дифференциальным разложением функции 
)
(
),
(
еij
τ
θ
τ
 в ряд Тейлора 

по степеням  (
τ
−
t
) с сохранением двух слагаемых. В результате получаются 

приближенные формулы для компонент напряжений 

)
2
(
L
ij
ij
ij
µε
+
λθδ
=
σ
,  
 
 
 
 
(4) 

где введен оператор L, определяемый равенством 
)
1(
t
L
2
β
α
−
+
∂
∂

β
α
=
 и дейст
вующий на функцию 
)t(
f
 по правилу 
f)
1(
f
Lf
t
2
β
α
−
+
β
α
=
, а 

)
2
1
)(
1(
E
ν
−
ν
+

ν
=
λ
 − параметр Ламе. 

 
В развернутом виде:  

(
)]
u
r
u
u
[
L
2
xx
2
2
2
x
1
x
11
Α
+
Α
+
Ε
=
σ
; 

(
)]
u
r
u
L[
у
у
2
xx
2

2
x
1
33
22

2
Β
+
Β
Ε
=
=
; 

(
)(
)+
−
+
=
xx
x
xx
12
u
u
н
нu
н
1
2
Еy
L
у
2
; 

(
)(
)−
+
=
+
xx
x
xx
13
u
u
н
u
н
н
1
2
z
Е
L
у
2
, 

где 
 

(
)1
2
a
3
1
+
ν
−
ν
=
Α
, 
(
)1
2
2
a
2
1
+
ν
−
ν
ν
=
Β
,  
(
)
ν
−
ν
=
Α
1
a
2
2
,

 
3
2
aν
=
Β
,  
(
)(
)
ν
−
ν
+
=
2
1
1
2
1
a
,    
2
2
2
y
z
r
+
=
. 

Уравнения движения стержня выводятся из принципа виртуальных ра
бот: 

∫∫∫
∫
=
δε
σ
−
δ
ρ
=
δ

V
ij
ij
i
i

t

t
0
dV
}
u
u
{
dt
J

2

1
&
&
, 
 
 
(5) 

где точкой обозначена производная по t, ρ − плотность материала стержня, 

ij
δε − вариации деформаций, 
iu
δ
 –  вариации перемещений, а тройной инте
грал вычисляется по объему стержня. 

С учетом (1), (2), (4) определяется вариация внутренней энергии стерж
ня 

(
[
{
+
Α
+
+
Α
+
Α
−
Ε
=
δ
xx
2
x
1
xx
x
xxx
xx
2
2
xx
x
1
xx
u
u
3
u
u
2
u
u
r
2
u
u
2
u
L
w
 

)
(
+
Α
+
+
ν
+
Α
+
Α
+
2
x
xxx
1
xxx
x
2
xx
2
2
xxx
xx
x
2
2
4
xx
2
2
u
u
u
u
u
r
u
u
u
r
2
u
r
 

)
(
−
Β
ν
+
Β
ν
+
Α
+
Α
+
xxx
xx
2
2
xx
x
1
x
xxx
2
xx
2
2
x
2
xx
1
u
u
r
2
u
u
2
2
u
u
r
3
u
u
2
 

 
)+
Β
ν
−
Β
ν
−
Β
ν
−
xxx
xx
x
2
2
2
3
xx
2
2
xx
2
x
1
u
u
u
r
2
u
r
u
u
3
 

 
+ (
)
(
)
(
xx
xx
x
2
xx
x
xxxx

2
2
u
u
u
u
2
u
1
4
r
ν
−
ν
−
ν
+
ν
(
) ) ] } u
u
u
u
x
2
xx
x
2
xx
δ
ν
+
−
ν
−
. 

Уравнение движения стержня получается  из (5) после подстановки в 

него значения вариации внутренней энергии  

(
)
{
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
+
Β
ν
−
Α
+
Ε
+
ν
+
−
ρ
xxxx

2
2

xx
x
1
1
xx
ttxx
2
2
tt
u
1
4
r
u
u
2
4
2
u
L
u
r
u
 

(
+
Β
ν
+
Α
ν
−
Α
+
ν
+
ν
+
Β
ν
−
ν
−
Α
+
2
2
1
2
2
2
xxx
xx

3

2
2
2
2
4
6
2
r
u
u
1
4
3
2
z
 

 
(
)
(
) )
(
)
−
α
+
Β
ν
+
Α
+
ν
+
ν
+
ν
+
ν
+
4
xx
2
2
xx
2
x
1
1
xxx
xx
x

3
4
u
r
u
u
6
3
u
u
u
1
2
1
2
3

 
(
)
(
)
+
ν
+
ν
−
Β
ν
+
Α
ν
−
+
ν
+
ν
+
ν
−
3
xx

4

2
2
1
2
2
xxxx
x

3
2
2
u
1
2
2
2
r
u
u
1
2
z
 

 
(
)
}
0
u
u
r
3
u
u
r
6
1
4
r
xxxx
2
xx
4
2
2
3
xxx
xx
4
2
2
2
1

4
2
=
ν
Α
−
ν
Α
−
ν
Α
−
ν
+
ν
+
 

и преобразуется  к безразмерным переменным   

 
 
t
l
c

l
x −
=
ξ
, 
t
l
c
ε
=
τ
, 
A
u
*
u =
, 
d
x
x* =
, 
d
y
y* =
,  

где A  – амплитудный параметр возмущения, l, d – соответственно характер
ные длина волны и поперечный размер стержня, −
c
скорость волны, 
l
A
=
ε
 – 

характеристика нелинейности волнового процесса.  

Допустим, что 
l
A
=
ε
 – малый параметр, т.е. характерная длина волны 

l значительно превосходит амплитудный параметр A , а поперечный размер 

стержня и реологические постоянные 
,
,β
α
 определяют отношения порядков 

 
 
 
 
)
(
O
l

c

2
ε
=
β

α
,  
)
(
O
l
d
ε
=
. 

 
В результате сохранения членами порядка не выше ε  получается без
размерное уравнение движения стержня: 

 
+
β
α
−
β
α
−
+
ν
+
ε
+
−
Ε
ρ
ξξξ
ξξ
ξξξξ
ξτ
ξξ
u
l
c
u
1
u
l
r
u
2
u
c

2
2

2
2
2

 
(
)
(
)

0
u
1
l
1
4
r
u
u
1
2
4
2
2

2
2

1
1
=
β
α
−
ν
+
ν
−
ε
β
α
−
+
Β
ν
−
Α
+
ξξξξ
ξξ
ξ
.  (6)