Обнаружение сигналов

Москва
Горячая линия – Телеком
2015

УДК 621.37:621.391 
ББК 32.849 
    Ш32 

Р е ц е н з е н т ы :  доктор физ.-мат. наук, профессор  А. И. Козлов;   
доктор техн. наук, профессор  Н. Н. Удалов 

Шахтарин Б. И. 
Ш32  Обнаружение сигналов. Учебное пособие для вузов. – 3-е изд., 
испр. – М.: Горячая линия–Телеком, 2015. – 464 с.: ил. 
ISBN 978-5-9912-0395-1. 

Рассмотрены основы теории обнаружения сигналов и ее основные направления от классического подхода, включая последовательное обнаружение, до разделов, касающихся обнаружения сигналов при априорной 
неопределенности, включая непараметрическое обнаружение (знаковые 
обнаружители, обнаружители Вилкоксона, Манна–Уитли и др. с примерами АОЭ обнаружителей) и адаптивный прием. Приводятся алгоритмы 
обнаружения случайных сигналов на основе приемников Стратоновича–
Сосулина и приемника Швеппе. Рассмотрены обнаружители с постоянным уровнем ложной тревоги и примеры робастных обнаружителей. 
Для студентов старших курсов и аспирантов. 

ББК 32.841 

Адрес издательства в Интернет WWW.TECHBOOK.RU 

Шахтарин Борис Ильич ОБНАРУЖЕНИЕ СИГНАЛОВ 
Учебное пособие для вузов 
3-е издание, исправленное 

Все права защищены.
Любая часть этого издания не может быть воспроизведена в какой бы то ни было форме и 
какими бы то ни было средствами без письменного разрешения правообладателя
© ООО «Научно-техническое издательство «Горячая линия – Телеком»
www.techbook.ru
© Б.И. Шахтарин

Предисловие

В данном, третьем издании книги «Обнаружение сигналов» в основном сохранена структура первого издания. Как и в первом издании, рассмотрены основы теории обнаружения сигналов и ее основные направления от классического подхода, включая последовательное обнаружение, до разделов, касающихся обнаружения сигналов
при априорной неопределенности, включая непараметрическое обнаружение (знаковые обнаружители, обнаружители Вилкоксона, МаннаУитли и другие с примерами АОЭ обнаружителей), а также адаптивный прием сигналов.
Приводятся алгоритмы обнаружения случайных сигналов на основе приемника Стратоновича–Сосулина и приемника Швеппе.
В процессе работы над вторым изданием книги автором расширена глава 5 «Последовательное обнаружение» за счет материалов
по вычислению АОЭ обнаружителей и усеченному последовательному анализу.
Переработана также глава 10 «Адаптивный прием сигналов».
Кроме того, добавлена глава 14 «Обнаружители с постоянным
уровнем ложной тревоги» [ПУЛТ-процессоры (обнаружители), или
CFAR-processors (receiver)] и глава 15 «Робастные методы фильтрации».
Автор благодарит за помощь в работе д.т.н., проф.
В.И. Тихонова, д.т.н. В.В. Сизых, д.т.н., проф. В.И. Хименко, к.т.н., доц.
И.В. Шитова, к.т.н., доц. М.С. Долгих, В.М. Зинченко, А.А. Бутенко,
М.М. Трегубенко, которые не пожалели своих усилий и средств для
обеспечения автора столь необходимой в работе над данным учебным пособием литературой. Вячеслав Максимович Зимчук поделился
с автором своими результатами, использованными в главах шестой
и девятой, и подарил книгу Gibson J.D., Melsa J.L «Introduction to
nonparametric detection with application», без которой было бы весьма
затруднительно подготовить главу 9, а также снабдил автора копиями
статей F.C. Schweppe, L.L. Scharf и некоторыми другими.
За вклад в издание книги автор приносит искреннюю благодарность Б.А. Атаянцу, А.А. Быкову, А.А. Бутенко, В.А. Шадрину,
Д.И. Темирханову.
Автор искренне благодарен д.т.н., профессору Юрию Георгиевичу Сосулину за предоставленную им возможность использовать мате

Предисловие

риалы его книги «Теория обнаружения и оценивания стохастических
сигналов», без которых было бы трудно подготовить главы 10 и 13.
Автор благодарит к.т.н., доц. Ю.А. Сидоркину за набор нового
материала книги.
За внимание к работе автор благодарит чл. корр. РАН И.Б. Фёдорова, к.т.н., доц. В.В. Зеленцова, к.т.н., доц. А.К. Ковальчука.
Особую
благодарность
автор
выражает
к.т.н.,
профессору
Ю.Н. Чернышову за редактирование и верстку книги.
Автор благодарит рецензентов и д.ф-м. н. А.И. Козлова и д.т.н.,
проф. Н.Н. Удалова за благожелательные отзывы на данное учебное
пособие.

Введение

Теории обнаружения сигналов посвящены многочисленные работы, включая монографии, учебные пособия и статьи.
Современные обзоры [1–3] составлены авторами, принимавшими
непосредственное участие в разработке этой теории. Отметим, что
перевод обзора [3] на русский язык представлен в Дополнении.
Классическая теория обнаружения и различения сигналов основана на работах [4–10] и на предшествующих им статьях [11, 12]. Очевидно, в нашем Отечестве работы [5–12] являются первыми, в которых систематизировано изложена классическая теория обнаружения
сигналов. Дальнейшее развитие классическая теория получила в 60-х
годах прошлого века [13–17]. Докторская диссертация В.А. Котельникова (1947 г.) – одна из первых в мире, которая до сих пор широко
цитируется в России и в зарубежной литературе [1–3].
При написании первого раздела данного учебного пособия «Обнаружение и различение сигналов (классическая версия)» использовались в частности статьи и книги [18–26], а также другие источники,
на которые имеются ссылки по мере изложения материала первого
раздела.
При написании главы 5 «Последовательное обнаружение сигналов» использовались материалы [22, 27–29 и др.].
Материалы второго раздела «Обнаружения сигналов в условиях
априорной неопределенности» основаны на [22, 28, 30–49].
В основе материалов третьего раздела «Обнаружение случайных
сигналов» использованы книги [22, 24, 43, 50, 51] и статьи [3, 52, 53].
В данном пособии основное внимание уделяется алгоритмическим вопросам.
Такие понятия, как равномерно наиболее мощный
(РНМ) критерии, локально оптимальный (ЛО) обнаружитель и другие, связанные с общей теорией проверки гипотез практически не
рассматриваются.
В области непараметрических методов обнаружения необходимо
отметить работы П.С. Акимова, которые автор использовал при написании главы 9. П.С. Акимов (1931–2002) был не только выдающимся
ученым МГТУ им. Н.Э. Баумана, но и признанным в России [44, 77] и
за рубежом [96–105] как высококлассный и эрудированный специалист
в области непараметрического обнаружения сигналов и оценки их параметров. Так, например, в библиографическом списке С.А. Кассама

Введение

[48] имеются ссылки на 10 работ П.С. Акимова [96–105]. Следует отметить, что и в [95] также цитируются многие работы П.С. Акимова.
Безусловно, неоценим вклад в теорию обнаружения случайных
сигналов Р.Л. Стратоновича, который разработал теорию нелинейной
оптимальной фильтрации случайных сигналов и создал целое направление в этой теории [130, 133, 134, 139, 146 и др.].
Совместно с
Ю.Г. Сосулиным им предложен нелинейный оптимальный приемник
случайных сигналов, причем это сделано задолго до появления линейного приемника Швеппе [46].
В своей версии изложения данной темы автор старается придерживаться структуры замечательного обзора известных специалистов
[3]. В этой связи добавлены две главы: глава 14 «Обнаружители с
постоянным уровнем ложной тревоги» (ПУЛТ процессоры, или CFAR
processors) и глава 15 «Робастные методы фильтрации», поскольку в
последние 25 лет робастным методам обработки сигналов посвящено
значительное число работ [112, 155 и др.].

Обнаружение и различение сигналов
(классическая версия)

Посвящается светлой памяти

Ильи Николаевича Амиантова

Проверка статистических гипотез при
обнаружении (различении) сигналов

В данной главе рассматривается задача проверки двухальтернативных гипотез, а именно простейший случай проверки гипотез.
Пусть наблюдается некоторое событие, которое может быть порождено одной из двух взаимно исключающих друг друга причин П0
или П1.
Гипотеза о том, что событие обусловлено первой из двух
причин, обозначается через H0, а гипотеза о том, что событие обусловлено второй причиной, — через H1. Требуется установить подходящее правило для выбора между гипотезами H0 и H1 и тем самым
принять решение о том, которая из двух причин наблюдаемого события в каком-то смысле (по сформулированному критерию) более
правдоподобна. Данные измерений (выборки) x на основе которых
принимается решение, могут быть одномерными (скалярными) или
многомерными (векторными). Все пространство данных делится на
две области R0 и R1. Правило выбора D(x) гипотезы определено,
если определено одно из множеств R0 или R1, так что R0 ∪ R1 = R,
R0 ∩ R1 = ∅. Обычно проверка гипотез рассматривается с точки зрения одной из гипотез, например H0. Тогда R0 называется областью
принятия гипотезы, а R1 — областью отвергания гипотезы (или критической областью). Если результаты измерения попадают в область
R0 (x ∈ R0), то принимается решение D0 о том, что справедлива гипотеза H0, аналогично при (x ∈ R1) принимается решение D1 о том,
что справедлива гипотеза H1.
Если наблюдаемое значение x попадает в R1 так, что отвергается
гипотеза H0, а на самом деле H0 является истинной, то говорят, что
допущена ошибка первого рода, ее вероятность обозначается через
P(D1 | H0) = Q0. Если x попадает в R0, а правильной является H1,
то говорят об ошибке второго рода с вероятностью P(D0 | H1) =

Глава 1

= Q1.
При этом вероятность Q0 = P(D1 | H0) называется уровнем значимости или объемом критерия. Вероятность P(D1 | H1) =
= 1 − P(D0 | H1) отождествляется с мощностью критерия.
В радиолокации ошибка первого рода называется ложной тревогой, P(D1 | H0) = Q0 = Pлт — вероятность ложной тревоги (ВЛТ);
ошибка второго рода называется пропуском сигнала, P(D0 | H1) =
= Q1 — вероятность пропуска сигнала. Мощность критерия называется вероятностью обнаружения сигнала

Qd = P(D1 | H1) = 1 − P(D0 | H1).
(1.1)

В рассматриваемой бинарной задаче существует несколько способов для определения «наилучшей» стратегии в терминах вероятностей обнаружения и ложной тревоги. Одним из наиболее известных и
используемых в радиолокации является критерий Неймана–Пирсона,
который на языке математической статистики определяет критерий
выбора между H0 и H1, обладающий максимальной мощностью из
всех критериев с уровнем значимости, не большим заданного значения, или иначе в терминах радиолокации: по критерию Неймана–
Пирсона максимизируется вероятность обнаружения (1.1) при сохранении вероятности ложной тревоги Q0 на заранее заданном уровне,
т.е. решается задача

max
D(x) = P(D1 | H1);
P(D1 | H0) ⩽ Pлт,
(1.2)

где D(x) обозначает правило решения.
Вместе с тем критерий Неймана–Пирсона в другой формулировке предписывает добиваться минимума вероятности пропуска сигнала
при ограничении сверху на вероятность ложной тревоги. Таким образом, решается задача

D(x) = P(D0 | H1); P(D1 | H0) ⩽ Pлт.
(1.3)

Однако наиболее общей наилучшей стратегией выбора между гипотезами является байесовское решение (правило Байеса), из которого вытекают другие критерии, в том числе и критерий Неймана–
Пирсона.
Допустим, что за ошибку первого рода наблюдатель платит
штраф C0, а за ошибку второго рода — штраф C1, при этом величина C0Q0 называется риском, соответствующим гипотезе H0, тогда
C1Q1 — риск, соответствующий гипотезе H1.
Средний риск при принятии решения

¯C = π0C0Q0 + π1C1Q1,
(1.4)

где π0 и π1 — априорные вероятности гипотез, причем π0 + π1 = 1.

Проверка статистических гипотез
9

Наблюдатель должен выбрать такую стратегию (правило Байеса), которая минимизировала бы средний риск. Минимальное значение среднего риска ¯C = ¯C называется байесовским риском.
Далее для того чтобы найти границу раздела областей R0 и R1,
необходимо предположить наличие ПРВ W0(x) и W1(x), x ∈ R, каждая из которых определяет вероятностный закон, соответствующий
одной из двух взаимно исключающих друг друга причин.
Задача состоит в установлении разумного правила выбора между
H0 и H1. Это означает, что пространство R надо разделить на две
области R0 и R1 так, чтобы для всякого отсчета x можно было сказать, какая из двух причин считается действительно имеющей место.
В случае скалярных (одномерных) данных, требуется найти величину
x = x0 (рис. 1.1), разделяющую области R0 и R1.
При найденном значении x = x0

Q0 = P(D1 | H0) =
R1
W0(x) dx =
∞

x0
W0(x) dx;
(1.5)

Q1 = P(D0 | H1) =
R0
W1(x) dx =
x0

−∞
W1(x) dx;
(1.6)

Qd = P(D1 | H1) =
R1
W1(x) dx =
∞

x0
W1(x) dx.
(1.7)

Критерий Неймана-Пирсона (1.2) записывается в виде

max P(D1 | H1) = max
R1
W1(x) dx;

P(D1 | H0) =
R1
W0(x) dx ⩽ Pлт.
(1.8)

Согласно байесовскому решению должно выполняться условие
минимума среднего риска, когда граничное значение x0 находится из
уравнения

d¯C(x0)

dx0
= 0,

Глава 1

где

¯C(x0) = π0C0

∞

x0
W0(x) dx + π1C1

x0

−∞
W1(x) dx.

Тогда, дифференцируя интегралы с переменными пределами, получим

d¯C(x0)

dx0
= −π0C0W0(x0) + π1C1W1(x0) = 0.
(1.9)

Отсюда получаем уравнение для получения x0:

W1(x0)
W0(x0) = π0C0

π1C1
= Λ0.
(1.10)

Величина Λ(x) = W1(x)

W0(x) называется отношением правдоподобия (ОП).

Байесовское решение:

при Λ(x) > Λ0 принимается гипотеза H1;
при Λ(x) < Λ0 принимается гипотеза H0.
(1.11)

Критерий отношения правдоподобия является частным случаем
байесовского решения:
при Λ(x) > 1 принимается гипотеза H1;
при Λ(x) < 1 принимается гипотеза H0.
Этим реализуется принцип наибольшего правдоподобия.
Более общим, чем критерий отношения правдоподобия, критерием является критерий максимума апостериорной вероятности (МАВ)
(англ.: maximum a posteriori probability (MAP)). Если обозначить апостериорные вероятности причин П0 и П1 через P(П0 | x) и P(П1 | x),
то критерий МАВ принимает вид

P(П1 | x) > P(П0 | x)
(1.12)

в том случае, когда принимается гипотеза H1, в противном случае
принимается гипотеза H0.
Можно показать справедливость соотношения [7, 8]

P(П1 | x)
P(П0 | x) = π1W1(x)

π0W0(x).
(1.13)

Следовательно, критерий МАВ является частным случаем байесовского критерия (1.11) при C1 = C0:

следует выбирать гипотезу H1, если Λ(x) = W1(x)

W0(x) > π0

π1
= Λ0;

и выбирать гипотезу H0, если Λ(x) < π0

π1
.
(1.14)