Электромагнитные поля во вращающихся интерферометрах и гироскопах

Б. М. Петров





ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ПОЛЯ ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРАХ И ГИРОСКОПАХ








Москва
Горячая линия - Телеком
2015

   УДК 538.3
   ББК 32.841
       П29


Р е ц е н з е н т ы : доктор техн. наук, профессор Б. Д. Мануилов; доктор физ.-мат. наук, профессор А. М. Лерер

      Петров Б. М.
П29 Электромагнитные поля во вращающихся интерферометрах и гироскопах. - М.: Горячая линия - Телеком, 2015. - 208 с.: ил. ISBN 978-5-9912-0434-7.
          На основе ковариантных уравнений электродинамики получены строгие решения поставленных граничных задач о возможности существования электромагнитных волн и колебаний во вращающихся открытых и закрытых направляющих системах и резонаторах, являющихся математическими моделями вращающихся интерферометров и гироскопов; определены и проанализированы параметры электромагнитных полей, обнаружены эффекты появления критических частот вращения в направляющих системах и проявления серии собственных частот вращения в резонаторах; дан анализ применяемого в настоящее время приближенного многомодового способа измерения частоты вращения; уточнены расчетные формулы, предложены одномодовый (резонансный) и одноволновый способы измерения; показаны преимущества применения электромагнитных полей частот радиодиапазона.
          Для инженеров, магистров, аспирантов и научных работников радиотехнических, радиофизических и телекоммуникационных специальностей.
ББК 32.841
Адрес издательства в Интернет www.techbook.ru
Научное издание
Петров Борис Михайлович
Электромагнитные поля во вращающихся интерферометрах и гироскопах
Монография
Редактор Ю. Н. Чернышев Компьютерная верстка Ю. Н. Чернышева Обложка художника В. Г. Ситникова
Подписано в печать 08-12-14- Формат 90x88/16. Усл. печ. л. 24. Тираж 500 экз. (1-й завод 100 экз.). Изд. № 150424 ООО Научно-техническое издательство «Горячая линия - Телеком»
ISBN 978-5-9912-0434-7                        © Б. М. Петров, 2015
© Издательство «Горячая линия-Телеком», 2015

            Введение




                            Теория Эйнштейна еще не закончена, остается не выясненной роль электромагнитного поля,... но ядро теории стоит на очень твердом экспериментальном фундаменте. Такие теории растут, совершенствуются, но не погибают.
С.И. Вавилов



    Электромагнитное (ЭМ) поле во вращающихся интерферометрах и гироскопах находится под влиянием эквивалентного гравитационного поля, являющегося следствием возникающих центробежной и Кориолиса сил. Изучению проявляющихся в ЭМ поле эффектов и посвящена эта книга.
    Способ и устройства измерения скорости (частоты) вращения гироскопов и интерферометров, работа датчиков угловых перемещений объектов основаны на применении одного из эффектов — «оптического вихревого эффекта Саньяка», проявляющегося в изменении времени обхода ЭМ полем замкнутого контура L во внутренней полости при вращении последнего относительно инерциальной системы отсчета [1, 2]. Считается, что в таком интерферометре или гироскопе ЭМ поле, распространяясь в двух противоположных — относительно направления вращения — направлениях, испытывает разный набег фазы, а разность фаз пропорциональна частоте вращения О. Интерференционная картина сдвигается, величина этого сдвига используется для измерения скорости (частоты) вращения с помощью частотомера и решающего устройства (фотопластины, фотоприемника и др.).
    Фазовый сдвиг во вращающихся интерферометрах и гироскопах вычисляется на основе разного рода допущений. В ряде работ, например в [3] и во многих других, допускается возможность существования скорости распространения ЭМ поля, большей скорости света c в свободном пространстве, в других работах вычисления производятся на основе электродинамики классической физики. Но результаты вычислений одинаковы — они получены еще Максом Лауэ: расчетное соотношение для разности времен прохождения ЭМ полями путей по направлению движения часовой стрелки и против движения часовой стрелки At = SfFSC<?, где F = О/2п — число оборотов интерферометра в секунду, S — площадь, ограниченная

Введение

«путями распространения ЭМ поля». Разность фаз ЭМ полей при этом за счет разности хода вычисляется по формуле

АФ = wq A t = 8sS О / cX$,          (Bl)

где wq и Aq — частота и длина волны тока излучающего источника.
    Но А. Зоммерфельд [4], а потом и М. Лауэ [3] показали, что для вычисления разности фаз АФ необходимо поставить и решить граничную задачу в неинерциальной системе отсчета, поскольку на ЭМ поле во вращающемся интерферометре или резонаторе воздействуют эквивалентные гравитационные силы.
    Попытки строгих постановки и решения этой задачи предприняты в многочисленных работах [2, 3, 5-8]. Но при этом или применялась нековариантная формулировка уравнений Максвелла, или в материальных, или в дифференциальных уравнениях делались упрощающие допущения, что приводило к решениям, эквивалентным, по существу, решениям классической электродинамики. Поэтому в настоящее время расчеты ЭМ полей во вращающихся интерферометрах и гироскопах основаны на приближенных представлениях.
    В соответствии с выражением (В1) считают, что в случае резонатора «изменение его периметра» при вращении приведет к изменению «частот настройки» для «встречных волн», разность частот

A w = 8sS О/XL,                 (В2)

где X = 4nc/(wi + W2) — средняя длина волны, w± и w-> — частоты настройки вращающегося кольцевого резонатора для «волн», распространяющихся в направлении вращения и против последнего [2].
    Из решения задачи о возможности распространения ЭМ поля во вращающемся резонаторе на основе ряда допущений получена разность частот («расщепление» частот) встречных волн Aw = 2(Лещ), где 12исщ — векторы частоты вращения и коэффициента «расщепления собственных частот». «Расчет последнего представляет большие трудности и может быть произведен только на основе ряда упрощений», как отмечено в [2].
    Эти упрощения использованы при расчетах ЭМ полей в учебных пособиях, посвященных изучению гироскопов и интерферометров [1, 2].
    Из основных расчетных выражений (В1) и (В2) следуют выводы: отношение площади поперечного сечения интерферометра или гироскопа к длине волны источника ЭМ поля должно быть большим для того, чтобы разность фаз АФ была измеряемой величиной. Это означает, что, во-первых, ЭМ поле должно использоваться только

Введение

5

оптического диапазона длин волн, а во-вторых, вращающиеся интерферометры и резонаторы гироскопов должны работать при этом в многомодовом режиме. Частота вращения этим способом определяется с помощью измерителя разности фаз и решающего устройства по разности фаз АФ, т. е. косвенным способом.
    В первых трех разделах книги приведены необходимые для понимания электродинамики во вращающихся системах отсчета краткие сведения по тензорным алгебре и анализу, ковариантная форма уравнений электродинамики, материальные уравнения, постановки и решения граничных задач возбуждения первичного ЭМ поля в цилиндрической и сферической системах координат вращающихся систем отсчета. Материал этих разделов соответствует [23].
    В разд. 4 и 5 для обоснования предлагаемых новых резонансного (радиоэлектронного) и одноволнового способов измерения частоты вращения объекта по внутреннему ЭМ полю в полости этого объекта или вне полости сформулированы математические модели вращающихся интерферометров и гироскопов, даны на основе ковариантных уравнений электродинамики строгие постановки и решения граничных задач о возможности существования ЭМ полей электрического, магнитного или гибридного типов во вращающихся цилиндрическом, коаксиальном волноводах и в открытых направляющих системах, ЭМ полей колебаний электрического и магнитного типов во вращающихся цилиндрическом, коаксиальном, шаровом и открытых резонаторах. Полученные выражения позволяют исследовать возбуждаемые во вращающихся направляющих системах (интерферометрах) и резонаторах (гироскопов) ЭМ поля, обнаружить новый эффект электромагнетизма, сопровождаемый появлением собственных частот вращения полостей, критических частот вращения, уточнить выражение для разности фаз АФ в случае применения многомодового способа измерения частоты вращения и обосновать физическую картину ЭМ поля во вращающихся волноводах и резонаторах.
    Все результаты в настоящей работе получены без использования «как мирного, так и враждебного», по словам С.И. Вавилова, понятия эфира или некорректных предположений о скорости распространения ЭМ поля.
    Выражаю признательность рецензентам этой книги профессорам доктору техн, наук Мануйлову Борису Дмитриевичу и доктору физ.-мат. наук Лереру Александру Михайловичу за обсуждение результатов, а Ирине Николаевне Краснокутской — за помощь в оформлении рукописи книги.

            Уравнения электродинамики












    1.1. Общая постановка задачи для первичного электромагнитного поля
    Анализ работы интерферометров и гироскопов [1, 2], а также установок, применявшихся в опытах Гарреса, Саньяка, Погани [3], показывает, что при измерении скорости (частоты вращения с помощью ЭМ полей все случаи сводятся к следующим: 1) источник ЭМ поля покоится во вращающейся системе отсчета (СО), точка наблюдения ЭМ поля (или приемная антенна) покоится в той же вращающейся СО, 2) источник ЭМ поля покоится во вращающейся СО, а точка наблюдения покоится в «неподвижной» инерциальной СО, 3) источник ЭМ поля покоится в «неподвижной» инерциальной СО, а точка наблюдения ЭМ поля покоится во вращающейся СО.
    Первый и второй случаи соответствуют, например, излучателю (возбудителю, вибратору) ЭМ поля, расположенному во внутренней полости интерферометра или резонатора гироскопа, а приемная антенна (вибратор) в первом случае находится внутри полости, а во втором — вне полости, при этом возбуждение приемной антенны осуществляется за счет дифракционной связи (отверстия в оболочке интерферометра или резонатора). Примером реализации третьего случая является расположение возбудителя (вибратора) ЭМ поля вне полости, а возбуждение ЭМ поля происходит за счет дифракционной связи (отверстия в оболочке полости), а вибратор (электрический или магнитный) расположен внутри полости.
    Рассмотрим постановку электродинамических задач для первичного ЭМ поля. Введем в пространство инерциальную декартову СО K'^е'y y', z', ict) и покоящуюся в ней точку наблюдения P'(х', у', z', ict) р P'pp', ict), где p' = p'(x¹, y', z'), i = ——1, t - время.
    Пусть в некоторой области пространства Vj, вращающейся относительно точки P' с постоянной угловой частотой О, заданы плотно

Уравнения электродинамики

7

z, z'

Рис. 1.1. «Неподвижные» и вращающиеся цилиндрические координаты. Область Vj покоится во вращающейся системе отсчета

Рис. 1.2. Область Vj покоится во вращающихся координатах

сти сторонних электрических и магнитных токов и зарядов, возбуждающие ЭМ поле (рис. 1.1). Назовем это ЭМ поле первичным (падающим). Совместим начало СО K' с центром и направим ось z' вдоль оси вращения. Введем вращающуюся СО K(x,y,z,t) = K(p,t), где p = p(x,y,z), в которой область пространства Vj, занятая сторонними токами н зарядами, покоится во вращающихся координатах (рис. 1.2). Обозначим через P(x,y, z,t) = P(p, t) точку наблюдения поля, покоящуюся в СО K. Необходимо найти первичное ЭМ

поле, удовлетворяющее уравнениям электродинамики в системах отсчета K' и K и условию излучения в системе K'. Для определения первичного ЭМ поля в СО K' по найденному ЭМ полю в системе K необходимо установить общие формулы преобразования векторов (тензоров) ЭМ юля из системы K в инерциальную систему K'.

    Пусть теперь в области V', покоя-KoUcn в системе отсчета K' (рис. 1.3), заданы плотности сторонних электрических и магнитных токов и зарядов, возбуждающих первичное ЭМ поле. Необходимо найти в системе отсчета K векторы ЭМ поля, удовлетворяющие уравнениям электродинамики в системах K' и K и условию излучения в системе K'.
    Отмстим, что первичное ЭМ поле, возбуждаемое в инерциальной системе K' покоящимися в этой системе произ

коится в «неподвижной»

системе координат

вольно распределенными сторонними электрическими и магнитными токами и зарядами, известно [9]. Поэтому для решения задачи определения ЭМ поля, создаваемого в СО K покоящимися в системе

Раздел 1

K' источниками, надо установить общие формулы преобразования векторов (тензоров) ЭМ поля из инерциальной системы K' во вращающуюся СО K.
    Анализ ЭМ явлений во вращающихся системах связан с трудностями из-за необходимости решения граничных задач в неинерциальных СО.

    1.2. Криволинейные координаты
    1.2.1. Ковариантные и контравариантные тензоры
    Во вращающихся СО необходимо использовать криволинейные координаты. Поэтому рассмотрим те соотношения четырехмерной геометрии в произвольных криволинейных координатах, которые используются ниже при решении электродинамических задач.
    Пусть имеем некоторую голономную (т. е. установленную однозначно во всем пространстве — времени или в его конечной области) систему координат A,x²,x³,x° (координаты x'i}. Преобразуем ее в систему координат x¹ , x² , x³ , x° (координаты xi ): xi = xi {х¹)-, где xi — некоторые функции. Будем предполагать, что определитель этого преобразования А = Det(dx® /dx'd не равен нулю и, следовательно, преобразование обратимо.
    В системе координат xi дифференциалы преобразуются как [10]

dxl = dxk.                       (1-1)
dxk                       v ⁷
    Четыре величины, определенные как функции x'i, обозначим как компоненты А контравариантного вектора (тензора 1-го ранга), если они преобразуются при замене координат как дифференциалы dxd, т. е. по правилу (1.1). Следовательно, при преобразовании координат
., dx ,
А =     -А -                     (L²)
dxk
    Будем считать, что объекты, относящиеся к четырехмерному пространству — времени, имеют индексы, обозначенные через буквы латинского алфавита i,k,j и т. д., которые пробегают значения 1, 2, 3, 0.
    Объекты, относящиеся к трехмерному пространству, имеют индексы, обозначенные через буквы греческого алфавита а, в, & и т. д., последние принимают значения 1, 2, 3.
    Если p — некоторый скаляр, то четыре величины dpfdxi при преобразовании координат ведут себя согласно правилу
dp dxk dp dxi' dxi dxk

Уравнения электродинамики

9

    Всякая совокупность величин Ai, определенных как функции xi и преобразующихся при замене координат как производные скаляра, называется ковариантным вектором. Следовательно, при преобразовании координат
dxk
Ai' = у-д Aₖ.                    1.3
dxi
    В криволинейных координатах существуют три вида тензоров второго ранга, которые обладают контравариантными и ковариантными свойствами по каждому индексу. Как и в случае векторов, эти свойства указываются положением индекса. Aᵢₖ, Aik и Alₖ означают тензоры второго ранга соответственно — ковариантный, контрава-риантный и смешанный тензор, ковариантный по индексу k и кон-травариантный по индексу г, если они преобразуются по формулам, аналогичным (1.1)—(1.3):
A _     d-_ dxm A _   ak' _ dxi'd⁻   Aₗₘ.  A, _dxi_ dxm Aₗ
   i'k' dxi' dxk lm           dxl dxm ’    k' dxl dxk m.
(1.4)
    Так же как в теории линейных ортогональных преобразований, можно образовывать тензоры или сложением тензоров равного ранга и одинакового характера, или умножением, не нарушая индексов, например:
Aⁱk + Bk = Ck, Aik Bmi =Ckₘi.            (1.5)


    Тензоры можно образовывать сверткой по индексам разного характера, например:
Aiml = Bml,                    (1.6)
где тензорные свойства объекта Aim определяют тензорные свойства объекта Bₘₗ.
    Если один и тот же индекс разного характера (ковариантный и контравариантный) встречается дважды («немой» индекс), то по нему подразумевается суммирование (правило А. Эйнштейна).
    Тензор называется антисимметричным по нескольким одного характера индексам, если он умножается на —1 при транспозиции любых двух из этих индексов, например: Aᵢₖ = —Aₖᵢ, Aik = —Aki.
    Из некоторого тензора можно получить антисимметричный тензор с помощью операции альтернирования. Она выполняется следующим образом: из индексов одинакового характера выбирается некоторое число их N, над этими индексами производится N! всевозможных подстановок, результаты четных подстановок берутся со своим знаком, а у результатов нечетных подстановок знак меняется

Раздел 1

на обратный и берется затем среднее арифметическое всех полученных при этом N! тензоров. Участвующие в альтернировании индексы берутся в квадратные скобки. При N = 2 альтернирование принимает вид

A[k ⁼ AkAk — Aki) -                 (1-7)
    Если тензор антисимметричен по какой-нибудь паре индексов одинакового характера, то это имеет место в любой системе координат. Если тензор равен нулю в одной системе координат, то он равен нулю и во всякой другой системе координат.
    Единичным тензором в криволинейных координатах является смешанный тензор (символ Кронекера) 6k = 1 при i = к и 5к = 0 при i ф к. Например, если A — вектор, то A6k = Ak — вектор, т. е. 6k — единичный тензор.
    Квадрат элемента длины ds² есть квадратичная функция дифференциалов dxi, т. е.
—ds² = gᵢₖ dx¹ dxk,               (1-8)
где gᵢₖ — ковариантный метрический (фундаментальный) тензор [10]; gᵢₖ — симметриче н по индексам ink: gᵢₖ = gₖᵢ. Контрава-риантным метрическим деизором g'ⁱk называется тензор, обратный тензору gik, т.е. gik = glk = Sl.   ,          ,        ,
    В декартовой системе координат x¹ = x', x² = y', x³ = z', x⁰ = ict имеем gi'k' = gl k = 5k . В галилеевой системе координат x¹ = x', x² = y'', x³ = z', x° = ct метрические тензоры имеют вид a       a' ' OA'          '§'     ,\0'
ga'g' — g — ⁶в'1 g®'a' — g    — ⁶ₐ' ■
    Определяя no (1.4) gᵢₖ через gi'ₖ' и затем дважды используя теорему об умножении определителей [11], получаем
             Det(gik) = g = | А |⁻² g'; g' = Det(gi'k') ■ (1-9)
    Объектами, которые определяют связь между ковариантными и контравариантными компонентами тензоров, являются компоненты метрического тензора:
             Aik = gⁱlgkmAₘ- Aik = gₗₘAA и т- д.          (1-10)
    Под квадратом абсолютной величины вектора понимают скаляр AiA= gik A Ak 
    1.2.2. Тензорные плотности
    Скалярная шютность A веса q определяется [12] как величина с одной компонентой и законом преобразования
A= | А l⁻q A,                  (1-11)