Математика для гуманитариев

МАТЕМАТИКА 
ДЛЯ ГУМАНИТАРИЕВ

Учебник

Под общей редакцией доктора экономических 
наук, профессора К. В. Балдина

3-е издание

Москва, 2012

Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°»

УДК 517
ББК 22.16
 
М34

Авторы:
К. В. Балдин — доктор экономических наук, профессор — 
введение, гл. 1, 2, 10;
В. Н. Башлыков — доцент — гл. 12, 13, приложение;
В. В. Мартынов — кандидат технических наук, доцент — 
гл. 8, 9, 11;
А. В. Рукосуев — доцент — гл. 3, 4, 5, 6, 7.

Рецензенты:
В. А. Лукинов  — доктор экономических наук, профессор;
В. А. Зотов — доктор физико-математических наук, профессор

Математика для гуманитариев: Учебник / Под общ. 
ред. д. э. н., проф., К. В. Балдина. — 3-е изд. — М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. — 512 с.

ISBN 978-5-394-01910-4

Настоящий учебник написан на базе лекционных курсов, которые 
авторы читали в ряде вузов столицы. В нем рассмотрены практически 
все аспекты дисциплины “Математика” Государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования и программы по специальностям “Психология”, “Лингвистика и межкультурные 
коммуникации”, “Юриспруденция”, “Философия” и “Менеджмент”.
Учебник содержит два основных раздела “Основы дискретной 
и высшей математики” и “Теория вероятностей и математическая 
статистика”. В учебник включены прикладные наработки авторов по 
математике, теории вероятностей и математической статистике, примеры использования классических методов и заданий для самостоятельной работы обучаемых.
Для студентов гуманитарных специальностей, аспирантов, преподавателей, а также научных сотрудников, предпринимателей, менеджеров и руководителей фирм.

УДК 517
ББК 22.16

М34

ISBN 978-5-394-01910-4
© Коллектив авторов, 2007

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение .....................................................................................................................................9

Раздел I
ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ И ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

1. 
Основы дискретной математики .............................................................14
1.1. 
Понятие множества ..............................................................................14
1.2. 
Основные понятия комбинаторики .........................................27
1.3. 
Основы теории графов .......................................................................31
Вопросы для самопроверки .........................................................................48
2. 
Элементы линейной и векторной алгебры .....................................49
2.1. 
Матрицы, определители и их свойства ...............................49
2.2. 
Системы линейных алгебраических уравнений .........65
2.3. 
Собственные числа и собственные 
векторы матриц ........................................................................................73
2.4. 
Некоторые сведения о векторах ................................................80
Вопросы для самопроверки .........................................................................85
3. 
Функции и пределы ............................................................................................86
3.1. 
Некоторые сведения о функциях .............................................86
3.2. 
Предел последовательности. Предел функции. 
Вычисление пределов. ........................................................................89
3.3. 
Комплексные числа ...........................................................................102
Вопросы для самопроверки ......................................................................106
4. 
Основы дифференциального исчисления ....................................107
4.1. 
Производная первого порядка. Дифференциал. 
Производная второго порядка ..................................................107
4.2. 
Некоторые сведения о функциях многих 
переменных. Понятие о частной производной ...........115
4.3. 
Некоторые приложения 
дифференциального исчисления ...........................................124

4.3.1. Формула Тейлора ...............................................................124
4.3.2. Правило Лопиталя .............................................................126
4.3.3. Асимптоты ................................................................................130
4.3.4. Исследование функций с помощью 
производных первого и второго порядков 
и построение их графиков ...........................................134
Вопросы для самопроверки ......................................................................146
5. 
Элементы интегрального исчисления .............................................147
5.1. 
Первообразная и неопределенный интеграл ..............147
5.2. 
Определенный интеграл ................................................................161
5.3. 
Некоторые сведения 
о несобственных интегралах ......................................................170
5.4. 
Некоторые приложения 
определенного интеграла ..............................................................175
5.4.1. Вычисление площадей плоских фигур ...........175
5.4.2. Нахождение длины дуги кривой ...........................181
5.4.3. Объем тела вращения .....................................................184
5.5. 
Приближенное вычисление 
определенных интегралов ...........................................................187
5.6. 
Понятие о двойном интеграле ...................................................194
Вопросы для самопроверки ......................................................................204
6. 
Некоторые сведения 
о дифференциальных уравнениях .....................................................205
6.1. 
Основные понятия и определения ........................................205
6.2. 
Дифференциальные уравнения 1-го порядка ............206
6.2.1. Общее понятие ......................................................................206
6.2.2. Дифференциальные уравнения 
первого порядка с разделяющимися 
переменными ..........................................................................207
6.2.3. Однородные дифференциальные 
уравнения ..................................................................................211
6.2.4. Линейные дифференциальные уравнения 
первого порядка ...................................................................214
6.3. 
Дифференциальные уравнения 2-го порядка ...........217
6.3.1. Общее понятие ......................................................................217
6.3.2. Линейные однородные дифференциальные 
уравнения второго порядка 
с постоянными коэффициентами .........................220

6.3.3. Линейные дифференциальные уравнения 
второго порядка с постоянными 
коэффициентами и с правой частью ..................224
6.4. 
Понятие о системах обыкновенных 
дифференциальных уравнений ..............................................231
Вопросы для самопроверки ......................................................................238
7. 
Ряды ..............................................................................................................................240
7.1. 
Числовые ряды ......................................................................................240
7.2. 
Функциональные ряды ...................................................................244
7.3. 
Степенные ряды....................................................................................246
Вопросы для самопроверки ......................................................................251
Литература к разделу I ................................................................................251

Раздел II
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

8. 
Случайные события .........................................................................................254
8.1. 
Предмет теории вероятностей .................................................254
8.2. 
Основные понятия и определения ........................................259
8.3. 
Частота и вероятность. Способы нахождения 
вероятностей случайных событий ........................................264
8.3.1. Статистическое определение 
вероятностей ...........................................................................264
8.3.2. Аксиоматическое построение теории 
вероятностей ...........................................................................266
8.3.3. Классический способ 
определения вероятности ............................................267
8.4. 
Понятие условной вероятности. Стохастическая 
зависимость случайных событий ..........................................269
8.5. 
Правила действий с вероятностями ...................................271
8.6. 
Повторение независимых испытаний. 
Схема Бернулли ...................................................................................274
8.7. 
Формула полной вероятности ..................................................277
8.8. 
Формула Байеса ...................................................................................278
Вопросы для самопроверки ......................................................................285

9. 
Случайные величины .....................................................................................286
9.1. 
Случайные величины и их классификация .................286
9.2. 
Закон распределения случайной величины 
и формы его представления .......................................................287
9.2.1. Понятие распределения 
случайной величины ........................................................287
9.2.2. Функция вероятности .....................................................288
9.2.3. Функция распределения ..............................................289
9.2.4. Плотность распределения...........................................295
9.3. 
Числовые характеристики скалярных 
случайных величин ............................................................................297
9.3.1. Характеристики положения .....................................298
9.3.2. Характеристики рассеивания .................................302
9.3.3. Моменты случайной величины ...............................306
9.4. 
Основные теоретические распределения 
скалярных случайных величин ..............................................309
9.5. 
Распределение случайного вектора ....................................323
9.6. 
Частные и условные распределения компонент 
случайного вектора ............................................................................328
9.6.1. Частные распределения ...............................................328
9.6.2. Условные распределения. Стохастическая 
зависимость случайных величин ..........................331
9.7. 
Числовые характеристики векторных 
случайных величин ............................................................................336
9.8. 
Нормальное распределение двумерного 
случайного вектора ............................................................................340
Вопросы для самопроверки ......................................................................344
10. Функции случайных аргументов .........................................................346
10.1. Общая характеристика задач исследования 
функций случайных аргументов ...........................................346
10.2. Теоремы о числовых характеристиках 
случайных величин ............................................................................347
10.3. Определение числовых характеристик 
функций случайных аргументов ...........................................352
10.4. Распределение однозначного 
преобразования случайных величин .................................358

10.5. Распределение неоднозначного 
преобразования случайных величин .................................362
10.6. Распределение функции двух 
случайных величин ............................................................................364
10.7. Композиция распределений ......................................................366
10.7.1. Композиция нормального 
и равномерного распределений ..............................366
10.7.2. Композиция нормальных распределений .....369
Вопросы для самопроверки ......................................................................372
11.  Статистические методы оценивания 
характеристик продукции .........................................................................374
11.1. Общая характеристика статистических методов 
оценивания характеристик продукции и 
результатов ее применения .......................................................374
11.2. Общая схема эксперимента ........................................................377
11.3. Сущность выборочного метода ................................................379
11.4. Понятие о законе больших чисел 
и центральной предельной теореме ....................................385
Вопросы для самопроверки ......................................................................390
12. Методы статистической обработки 
результатов испытаний ...............................................................................391
12.1. Постановка задачи оценивания вероятностных 
характеристик случайных величин ....................................391
12.2. Основные требования к оценкам ............................................392
12.3. Оценивание законов распределения 
случайных величин ............................................................................396
12.4. Точечное оценивание числовых 
характеристик случайных величин ....................................403
12.4.1. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................403
12.4.2. Оценивание математического ожидания 
случайной величины ........................................................405
12.4.3. Оценивание дисперсии и стандартного 
отклонения случайной величины .........................410
12.4.4. Определение числовых характеристик 
случайных величин при большом 
объеме выборки ....................................................................411

12.5. Интервальное оценивание числовых 
характеристик случайных величин ....................................412
12.5.1. Понятие доверительной вероятности 
и доверительного интервала .....................................412
12.5.2. Оценивание вероятности наступления 
случайного события ..........................................................416
12.5.3. Оценивание математического ожидания .......420
12.5.4. Оценивание стандартного отклонения ............426
Вопросы для самопроверки ......................................................................432
13. Статистическая проверка гипотез .....................................................434
13.1. Сущность проверки статистических гипотез .............434
13.2. Методы проверки гипотез 
о законах распределения ..............................................................442
13.2.1. Постановка задачи .............................................................442
13.2.2. Проверка гипотез 
о законе распределения ................................................445
13.3. Методы проверки гипотез о параметрах 
законов распределения ..................................................................454
13.3.1.  Проверка гипотез о равенстве 
математических ожиданий ........................................454
13.3.2. Проверка гипотез о равенстве дисперсий .....460
13.4. Проверка гипотез методом 
последовательного анализа ........................................................466
13.4.1. Сущность метода последовательного 
анализа .........................................................................................466
13.4.2. Проверка гипотезы о вероятности 
наступления события ......................................................468
13.4.3. Проверка гипотезы о математическом 
ожидании ....................................................................................471
Вопросы для самопроверки ......................................................................474

Литература к разделу II .........................................................................................476

Приложение ......................................................................................................................477

Введение

Название “математика” происходит от греческого слова 
“матема” () — знание, наука. Математика относится к 
числу наиболее старых наук. В Вавилоне и Египте во втором 
тысячелетии до нашей эры были известны многие сведения из 
арифметики и геометрии.
Академик А. Н. Колмогоров выделил четыре основных периода развития математики:
1. Период зарождения математики, который продолжался до 
VI–V вв. до н. э. Были известны разрозненные факты и формулы, которые использовались для решения сугубо практических задач: составление календарей, обмер земельных 
участков и т. д.
2. Период элементарной математики с VI–V в. до н. э. до XVI в. 
н. э. Были заложены начала дедуктивного, аксиоматического методов. Развитие дедуктивной теории связано с именем Аристотеля, а первое систематизированное изложение 
геометрии было сделано Евклидом. Начала современной алгебры было положены в трудах итальянского ученого эпохи 
Возрождения Леонардо Пизанского (Фибоначчи).
3. Период создания математики переменных величин включает период с XVII в. по середину XIX в., который характеризуется созданием аналитической геометрии Р. Декартом, 
дифференциального и интегрального исчислений И. Ньютона и Г. Лейбница, а также современной алгебраической символики француза Виета.
4. Современный период развития математики с середины 
XIX в. по наше время. Была создана теория действительных 
чисел, которая позволила строго выстроить математический 
анализ. В конце XIX столетия в работах Г. Кантора появилась теория множеств. В XIX и XX вв. были заложены ос

новы математической логики. В XX в. под влиянием успехов 
абстрактной алгебры появилось понимание математической 
структуры. Построению и исследованию математических 
структур были посвящены работы группы французских 
математиков, которые писали под псевдонимом Н. Бурбаки. 
Бурно развивались в XX в. теория вероятностей, математическая статистика, теория случайных функций. Здесь велик 
вклад российских и советских математиков П. Л. Чебышева, 
А. А. Маркова, А. Н. Колмогорова, Е. С. Вентцель.
В середине XIX в. Ф. Энгельс в своей работе “Анти — Дюринг” дал определение предмета математики. По Ф.Энгельсу, 
“чистая математика имеет своим объектом пространственные 
формы и количественные отношения действительного мира”. 
[30]. Это определение отражает развитие математики от ее зарождения до середины XIX в.
Второе определение предмета математики было дано 
Н. Бурбаки в первой половине XX в. Оно было обусловлено современным периодом развития математики и новым подходом к 
аксиоматическому методу.
По Н. Бурбаки, математика — “скопление математических 
структур, не имеющих к действительности никакого отношения” [8].
Н. Бурбаки выделяет три основных типа структур: алгебраические, порядка, топологические. Многие ученые считали, 
что определение Ф. Энгельса устарело. Но подход Н. Бурбаки 
встретил и негативное отношение, так как они не выяснили 
отношения рассматриваемых ими структур к действительному миру. Определение Ф. Энгельса не надо отбрасывать, его 
надо дополнить. Современное определение можно сформулировать, например, так [18]: математика — наука, которая 
исследует пространственные формы, количественные отношения, аксиоматические структуры и вопросы доказательства путем построения абстрактных моделей действительного мира.
Математика проникла практически во все сферы человеческой деятельности. Это объясняется, во-первых, тем, что