Компьютерное моделирование физических систем

Л. А. БУЛАВИН, Н.В. ВЫГОРНИЦКИЙ, Н.И. ЛЕБОВКА

КОМПЬЮТЕРНОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ 
ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий, Н.И. Лебовка
Компьютерное моделирование физических систем: Учебное
пособие / Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий, Н.И. Лебовка –
Долгопрудный: Издательский Дом «Интеллект», 2011. – 352 с.
ISBN 9785915591010

В учебном пособии изложен материал по применению методов компьютерного моделирования для исследования физических систем. В каждой
главе рассмотрена самостоятельная физическая задача, в ней содержится
введение в суть проблемы, изложены рецепты и алгоритмы ее решения, дано
описание рабочей программы на языке Фортран 90, а также приведены
примеры ее использования. Рассмотренные задачи относятся к областям
статистической физики и физики конденсированных систем, физики фракталов, перколяционных и хаотических явлений. Для более глубокого усвоения материала, к каждой главе прилагаются задачи и упражнения для самостоятельной работы.
Для студентов, аспирантов и преподавателей физических, физикохимических специальностей, а также научных сотрудников.

                         © 2011, Л.А. Булавин, Н.В. Выгорницкий,
Н.И. Лебовка
                          © 2011, ООО «Издательский Дом
                                «Интеллект», оригиналмакет,
                                оформление

ISBN 9785915591010

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Глава 1. Использование языка программирования
Фортран 90 для компьютерного моделирования физических
систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

1.1. Краткое введение в язык программирования Фортран . . . . . . . .
14
1.1.1. Первичные понятия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.1.2. Основные типы величин, их представление и описание в
программе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1.3. Программирование арифметических выражений . . . . . . . .
23
1.1.4. Операции отношения и логические выражения . . . . . . . . .
25
1.1.5. Операторы присваивания и управления . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.6. Особенности работы с массивами . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.1.7. Программные единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
1.1.8. Операторы ввода-вывода и работа с файлами . . . . . . . . . .
38
1.1.9. Генерация случайных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
1.1.10.Использование графики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
1.2. Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
1.2.1. Табуляция и построение графика функции . . . . . . . . . . . .
53
1.2.2. Построение спирали Улама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.2.3. Вычисление многомерных интегралов и числа π методом
Монте-Карло . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
1.2.4. Построение эквипотенциальных линий для распределения
электрических зарядов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
1.2.5. Аполлониевы упаковки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
1.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69

Глава 2. Задача Ферми–Паста–Улама . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

2.1. Колебания в цепочке связанных осцилляторов . . . . . . . . . . . . .
70

Оглавление

2.1.1. Линейная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.1.2. Нелинейная цепочка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
2.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
2.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
2.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

Глава 3. Солитоны и уравнение Кортевега—де Вриза . . . .
83

3.1. Развитие представлений о солитоне. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
3.1.1. Распространение уединенной волны в узком канале . . . . . .
83
3.1.2. Уравнение Кортевега—де Вриза . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
84
3.1.3. Роль нелинейного и дисперсионного вкладов . . . . . . . . . .
84
3.1.4. Точное солитонное решение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
3.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
3.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
3.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89
3.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
3.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
91

Глава 4. Логистическое отображение и показатель
Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92

4.1. Хаотическое поведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.1. Логистическое отображение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
4.1.2. Показатель Ляпунова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
4.2. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
97
4.2.1. Бифуркационная диаграмма и поведение показателя Ляпунова
97
4.2.2. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98
4.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
100

Глава 5. Множества Жюлиа и Мандельброта . . . . . . . . . . .
101

5.1. Нелинейные отображения в комплексных координатах . . . . . . . .
101
5.1.1. Множество Жюлиа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
101
5.1.2. Множество Мандельброта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
105
5.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2.1. Алгоритм для построения множества Жюлиа . . . . . . . . . .
107
5.2.2. Алгоритм построения множества Мандельброта . . . . . . . .
107
5.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
107
5.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
109
5.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110
5.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
110

Оглавление
5

Глава 6. Детерминистические фракталы . . . . . . . . . . . . . . .
112

6.1. Примеры детерминистических фракталов . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
6.1.1. Кривые Коха и Мандельброта–Гивена . . . . . . . . . . . . . . .
113
6.1.2. Треугольник и ковер Серпинского. . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
6.1.3. Пирамида Серпинского и губка Менгера . . . . . . . . . . . . .
115
6.1.4. Канторовская пыль . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.2. Алгоритмы и описание программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116
6.2.1. Рекурсивный алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
117
6.2.2. Алгоритм на основе систем итерируемых функций (IFS) . .
119
6.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
121
6.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125
6.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
126

Глава 7. Рост бактериальных колоний: Модель Идена . . . .
128

7.1. Типы моделей стохастического роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
7.1.1. Базисная модель Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
128
7.1.2. Модель с подавлением шума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
129
7.1.3. Нерешеточные модели Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
7.1.4. Структура кластеров Идена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
7.1.5. Перколяционная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
131
7.1.6. Модель экранированного роста . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.1.7. Модель случайного последовательного роста . . . . . . . . . .
132
7.1.8. Модель «летающей бабочки» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
7.2. Алгоритм для базисной модели Идена и описание работы программы
133
7.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
133
7.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
135
7.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136
7.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
136

Глава 8. Агрегация, контролируемая диффузией . . . . . . . .
138

8.1. Варианты модели агрегации, контролируемой диффузией . . . . . .
138
8.1.1. Базисный вариант модели DLA . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
138
8.1.2. Модель DLA с подавлением шума . . . . . . . . . . . . . . . . .
141
8.1.3. Рост на множественных центрах . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
8.1.4. Фрактальная размерность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
142
8.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
8.2.1. Алгоритм для базисного варианта . . . . . . . . . . . . . . . . . .
144
8.2.2. Алгоритм для ускоренного варианта . . . . . . . . . . . . . . . .
145
8.2.3. Описание работы программы для базисного варианта . . . .
147

.

Оглавление

8.2.4. Описание работы программы для ускоренного варианта . . .
149
8.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
8.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
157
8.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
159

Глава 9. Имитация роста шероховатых поверхностей. . . . .
160

9.1. Структура и свойства шероховатых поверхностей . . . . . . . . . . .
160
9.1.1. Характеристики фронта роста поверхности . . . . . . . . . . . .
161
9.1.2. Концепция пространственно-временного скейлинга . . . . . .
162
9.1.3. Основные типы компьютерных моделей . . . . . . . . . . . . . .
164
9.1.3.1. Случайное осаждение (RD) . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
9.1.3.2. Осаждение с поверхностной релаксацией (RDR). . .
166
9.1.3.3. Баллистическое осаждение (BD) . . . . . . . . . . . . .
166
9.1.3.4. Смешанные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
168
9.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
169
9.2.1. Описание алгоритмов для моделей осаждения RD, RDR и BD
169
9.2.2. Описание работы программ для моделей осаждения RD, RDR
и BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
170
9.2.2.1. Модель RD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
9.2.2.2. Модель RDR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
172
9.2.2.3. Модель BD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.2.3. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
173
9.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
174
9.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
176

Глава 10. Случайная последовательная адсорбция . . . . . . .
178

10.1. Необратимая адсорбция и джамминг . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
178
10.1.1. Определение базисной модели RSA . . . . . . . . . . . . . . . .
178
10.1.2. Концентрация джамминга для разных вариантов модели RSA
180
10.1.3. Модель RSA для объектов анизотропной формы . . . . . . .
181
10.1.4. Влияние формы частиц и полидисперсности . . . . . . . . . .
183
10.1.5. Кинетика осаждения для решеточных и непрерывных моделей
185
10.2. Алгоритм и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . .
186
10.2.1. Алгоритм RSA для одномерной модели. . . . . . . . . . . . . .
186
10.2.2. Быстрый алгоритм RSA для двумерной квадратной решетки
186
10.2.3. Описание
работы
программы
для
определения
порога
насыщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
187
10.2.4. Описание работы программы для моделирования кинетики
насыщения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
10.2.4.1. Одномерная модель RSA . . . . . . . . . . . . . . . . .
189
10.2.4.2. Двумерная модель RSA . . . . . . . . . . . . . . . . . .
191
10.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
193
10.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195
10.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
195

Оглавление
7

Глава 11. Аномальная диффузия и диффузия в
неупорядоченных средах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
198

11.1. Модели диффузии в различных конденсированных средах . . . . .
198
11.1.1. Случайные блуждания и движение броуновской частицы .
198
11.1.2. Классификация типов диффузионного движения . . . . . . .
199
11.1.3. Модель «прыжков Леви» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
199
11.1.4. Модель диффузии с памятью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
200
11.1.5. Модель Эдвардса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
11.1.6. Модель решеточного газа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
201
11.1.7. Диффузия при наличии дрейфа частицы. . . . . . . . . . . . .
201
11.1.8. Диффузия в неупорядоченных средах и модель де Жена . .
202
11.1.9. Диффузия на фрактальных объектах
. . . . . . . . . . . . . .
203
11.2. Алгоритм и описание работы программы для изучения диффузии
на перколяционном кластере . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
206
11.2.3. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
214
11.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
11.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217

Глава 12. Алгоритмы кластерного анализа . . . . . . . . . . . . .
219

12.1. Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
219
12.2. Кластерный анализ методом прожига . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
12.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
221
12.2.2. Программа кластерного анализа методом прожига . . . . . .
222
12.2.3. Пример работы программы кластерного анализа методом
прожига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
225
12.3. Кластерный анализ с использованием метода Хошена–Копельмана
226
12.3.1. Решеточный вариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
12.3.1.1. Алгоритм. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
226
12.3.1.2. Описание программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
12.3.2. Нерешеточный вариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
229
12.3.2.1. Формирования списка связности . . . . . . . . . . . .
229
12.3.2.2. Алгоритм Хошена–Копельмана с использованием
списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
230
12.3.2.3. Описание программы, основанной на использовании списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
231
12.4. Вспомогательные программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1. Случайное заполнение плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1.1. Узлы квадратной решетки . . . . . . . . . . . . . . . .
235
12.4.1.2. Перекрывающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . .
235

Оглавление

12.4.2. Формирование списка связности . . . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.4.2.1. Узлы квадратной решетки . . . . . . . . . . . . . . . .
236
12.4.2.2. Перекрывающиеся диски . . . . . . . . . . . . . . . . .
238
12.4.3. Визуализация кластеров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
12.5. Примеры работы программ для кластерного анализа с использованием метода Хошена–Копельмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
240
12.6. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242
12.7. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
242

Глава 13. Метод Монте-Карло для анализа модели Изинга:
Алгоритм Метрополиса и кластерные алгоритмы . . . . . . . . .
244

13.1. Фазовые переходы в магнитных материалах и модель Изинга . . .
244
13.1.1. Определение Модели Изинга на квадратной решетке . . . .
245
13.1.2. Точное решения Модели Изинга на квадратной решетке . .
246
13.1.3. Простейшее обобщение модели Изинга: модель Поттса . . .
247
13.1.4. Конечномерный анализ для модели Изинга и метод кумулянт Биндера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
248
13.1.5. Алгоритм Метрополиса для решения модели Изинга . . . .
248
13.1.6. Замедление процедуры Метрополиса вблизи критической
точки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
13.1.7. Преодоление проблемы критического замедления с помощью
кластерных алгоритмов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
251
13.2. Алгоритмы и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.1. Алгоритм Метрополиса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.2. Алгоритм Свендсена–Ванга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
253
13.2.3. Алгоритм Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
254
13.2.4. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
255
13.2.4.1. Процедура Метрополиса . . . . . . . . . . . . . . . . .
263
13.2.4.2. Процедура Свендсена–Ванга . . . . . . . . . . . . . . .
264
13.2.4.3. Процедура Вольфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
266
13.2.5. Пример работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
267
13.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
268
13.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
269

Глава 14. Задача коммивояжера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272

14.1. Метод модельного отжига и задача коммивояжера . . . . . . . . . .
272
14.1.1. Метод модельного отжига . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14.1.1.1. Вероятность перехода . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273
14.1.1.2. Уменьшение температуры со временем . . . . . . . .
274
14.1.2. Задача коммивояжера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
275

Оглавление
9

14.2. Алгоритм для решения задачи коммивояжера и описание работы
программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.1. Алгоритм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
277
14.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
278
14.2.3. Примеры работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
282
14.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
283
14.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
285

Глава 15. Вычисление электропроводности
композиционных систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
287

15.1. Методы расчета электропроводности композиционных систем . . .
287
15.2. Алгоритм Франка–Лобба для расчета электропроводности и описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1. Алгоритм Франка–Лобба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1.1. Элементарные преобразования . . . . . . . . . . . . .
289
15.2.1.2. Преобразование звезда–треугольник и их обобщение
290
15.2.1.3. «Сворачивание» квадратной сетки сопротивлений
291
15.2.1.4. Применение метода Франка–Лобба для более сложных плоских решеток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
293
15.2.2. Описание работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
295
15.2.3. Примеры работы программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
301
15.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
302
15.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
304

Глава 16. Электрический пробой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
306

16.1. Простейшие модели электрического пробоя . . . . . . . . . . . . . . .
306
16.1.1. Модели типа резистор–изолятор (модель RI) и резистор–
сверхпроводник (модель RS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
307
16.1.2. Стохастические и детерминистические модели . . . . . . . . .
308
16.1.2.1. Стохастическая модель (модель NPW) . . . . . . . .
309
16.1.2.2. Детерминистическая модель (модель Такаясу) . . .
310
16.1.3. Термоактивационная модель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
311
16.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
16.2.1. Стохастическая модель NPW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312
16.2.2. Обобщенная модель Такаясу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
313
16.2.3. Термоактивационная модель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4.1. Стохастическая модель NPW . . . . . . . . . . . . . .
314
16.2.4.2. Обобщенная модель Такаясу. . . . . . . . . . . . . . .
320
16.2.5. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
324
16.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
325
16.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326

Оглавление

Глава 17. Самоорганизованная критичность . . . . . . . . . . . .
328

17.1. Модели самоорганизованной критичности . . . . . . . . . . . . . . . .
328
17.1.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
329
17.1.2. Землетрясения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
333
17.1.3. Горение лесных массивов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
335
17.1.4. Игра «Жизнь» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
339
17.2. Алгоритмы и описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
17.2.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
340
17.2.2. Лесной пожар. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3. Описание работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3.1. Обвал кучи с песком . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
341
17.2.3.2. Лесной пожар . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
343
17.2.4. Примеры работы программ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
345
17.3. Задачи для самостоятельной работы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347
17.4. Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
347