Механика

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ 

 
 
 
 
 
 
 
Я.С. ГРИНБЕРГ, Э.А. КОШЕЛЕВ 
 
 
 
 
 
МЕХАНИКА 
 
 
Утверждено  
Редакционно-издательским советом университета 
в качестве учебного пособия для студентов 1-го курса  
РЭФ, ФЭН, ФТФ дневного отделения 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
НОВОСИБИРСК 
2013 

УДК 531(075.8) 
   Г 85 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Ю.Г. Пейсахович; 
канд. физ.-мат. наук, доцент Г.В. Харламов  
 
 
Работа подготовлена на кафедре  
прикладной и теоретической физики  
 
 
 
 
 
Гринберг Я.С. 
Г 85  
Механика : учеб. пособие / Я.С. Гринберг, Э.А. Кошелев. – 
Новосибирск : Изд-во НГТУ, 2013. – 140 с. 

ISBN 978-5-7782-2243-4 

Пособие представляет собой сборник заданий по разделу «Механика» курса общей физики. Изложение каждой темы начинается с краткого теоретического введения и сопровождается подробно разобранными примерами решения 
типовых задач. В пособии представлено 40 вариантов заданий (по 10 задач в 
каждом), предназначенных в качестве расчетно-графических заданий для самостоятельной работы студентов. Материал отражает требования, предъявляемые 
к курсу физики ФГОС третьего поколения. Пособие предназначено для студентов технических направлений 1-го курса дневного отделения НГТУ факультетов РЭФ, ФЭН, ФТФ. 
 
 
 
 
УДК 531(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-2243-4 
 Гринберг Я.С., Кошелев Э.А., 2013 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2013 

Предисловие 

Механика самая старая из физических наук. Этот раздел физики 
изучает движение тел. К задачам, которые решает механика, относятся 
такие как, например, полет теннисного шарика или полет космического аппарата, движение автомобиля или анализ траекторий элементарных частиц в электрических и магнитных полях.  
Настоящее пособие представляет собой сборник задач, соответствующих основным темам раздела «Механика» курса общей физики. 
1. Кинематика поступательного и криволинейного движения материальной точки. 
2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. 
3. Инерциальные системы отсчета. Принцип относительности Галилея. 
4. Динамика твердого тела. 
5. Законы сохранения. 
6. Специальная теория относительности. 
7. Движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях. 
Самостоятельное решение физических задач студентами – необходимое средство для усвоения курса физики, метод контроля за степенью усвоения учебного материала и понимания физических законов. 
Как показывает практика проведения практических занятий, студенты 
первого года обучения (особенно первого семестра), как правило, 
сталкиваются с трудностями квалифицированного применения аппарата математического анализа при решении физических задач. Поэтому 
материал сборника подобран так, что в большинстве случаев при  
решении конкретной задачи можно обойтись простыми способами, но 
там, где это необходимо, нужно использовать методы математического 
анализа. В сборнике не приводятся ответы, так как материал сборника предполагается использовать на контрольных мероприятиях и  
экзаменах. 
При решении индивидуального задания студент должен обоснованно объяснять применение конкретных физических законов и  

выполнение необходимых математических преобразований. При необходимости решение нужно доводить до числового результата с анализом размерностей. Все задачи по степени трудности соответствуют 
традиционному курсу общей физики И. В. Савельева. 
Особенность пособия в том, что многие из добавленных в новое 
издание задач взяты из разделов, темы которых обычно изучаются во 
втором и последующих семестрах. Сюда относятся, например, задачи, 
в которых рассматривается движение заряженных частиц в электрических и магнитных полях, рассеяние фотонов на свободных электронах 
(эффект Комптона) и ряд других. Правда, для решения этих задач не 
требуется никаких специальных знаний, кроме грамотного применения 
законов сохранения и законов Ньютона, т. е. тех разделов курса общей 
физики, которые должны быть освоены студентами в первом семестре. 
Включение этих задач имеет целью продемонстрировать студентам, 
что законы механики и законы сохранения  применяются во многих 
областях физики, часто очень далеких друг от друга. 
Все формулы и, как правило, все исходные данные в задачах и 
примерах приведены в системе единиц СИ. Исключение составляют 
некоторые задачи на применение законов сохранения при столкновении релятивистских частиц, где энергии даются не в джоулях (Дж), а в 
электрон-вольтах (эВ). 
 
Авторы выражают благодарность Г. В. Харламову, внимательно 
прочитавшему рукопись и указавшему на ошибки, неточности и нечеткие формулировки условий некоторых задач. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Методические указания 

Решение большинства физических задач можно условно разделить 
на четыре этапа. 
1. Анализ условия задачи и его наглядная интерпретация схемой 
или чертежом. На чертеже должны быть указаны все данные, приведенные в условии задачи. 
2. Составление уравнений, которые описывают то или иное физическое явление, т. е. применение физических законов, относящихся к 
данной задаче. Установление кинематических связей между искомыми 
величинами. 
3. Совместное решение полученных уравнений относительно определяемых величин и получение расчетной формулы в аналитическом 
виде. Подстановка в расчетную формулу численных значений условий 
задачи. При этом численные значения должны быть переведены в систему единиц СИ во избежание численных ошибок. 
4. Анализ полученного результата на проверку размерности искомой величины по расчетной формуле. Решение целесообразно проверить также на «здравый смысл»: рассмотрев асимптотику решения, 
устремить какой-либо параметр, определяющий результат, к нулю или 
к бесконечности и проверить, к чему стремится в этом асимптотическом случае решение.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

I. Элементы векторного анализа 

1. Скалярное произведение 

Скалярное произведение двух векторов А и В, угол между которыми , представляет собой скаляр (число) и вычисляется по одной из 
следующих формул: 

 
cos ;
AB

 

AB
A B cos
 
(I.1) 

 
,
x
x
y
y
z
z
A B
A B
A B



AB
 
(I.1а) 

где 

 
2
2
2;
x
y
z
A
A
A
A




Α
 
(I.2) 

 
2
2
2.
x
y
z
B
B
B
B




B
 
(I.2а) 

1.1. Свойства скалярного произведения 

 
AB = BA;  
(I.3) 

 
A(B + C) = AB + AC; 
(I.3а) 

 
2.

AA
A
  
(I.3б) 

Если AB = 0, то либо A = 0, либо B = 0, либо векторы A и B взаимно перпендикулярны: 

 
2
2
2
2
2
(
)
2
2
cos .
A
B
A
B
AB








Α
B
AB
 
(I.4) 

2. Векторное произведение 

Векторное произведение двух векторов А и В, угол между которыми , представляет собой вектор С, который перпендикулярен как вектору А, так и вектору В: 

 
[


C
A B].  
(I.5) 

Модуль вектора С вычисляется по одной из следующих формул: 

 
sin
sin ;
AB

 

C
A B
 
(I.6) 

 
2
2
2 ,
x
y
z
C
С
C
C




C
  
(I.6а) 

где 
,
,
x
y
z
С
C
C
 
 
 – компоненты вектора С: 

 
;
x
y
z
z
y
C
A B
A B


 
(I.7) 

 
;
y
z
x
x
z
C
A B
A B


 
(I.7а) 

 
.
z
x
y
y
x
C
A B
A B


 
 (I.7б) 

2.1. Свойства векторного произведения 

Если A  B = 0, то либо A = 0, либо B = 0, либо векторы A и B параллельны: 

 
[A  B] = [B  A]; 
(I.8) 

 
[A  (B + C)] = [A  B] + [A  C]; 
(I.8а) 

 
[(B + C)  A] = [B  A] + [C  A]. 
(I.8б) 

Двойное векторное произведение 

 
[A  [(B  C)]] = B(AC)  C(AB). 
(I.9) 

 

3. Свойства единичных ортов прямоугольной  
декартовой системы координат i, j, k 

 
1;



2
2
2
i
j
k
 
(I.10) 

 
ij = ik = jk = 0; 
(I.10а) 

 
i  i = j  j = k  k = 0; 
(I.10б) 

 
i  j = k; j  k = i; k  i = j. 
(I.10в) 

4. Разложение вектора  
по ортонормированному базису  
в декартовой системе координат 

 
;
X
Y
Z
A
A
A



A
i
j
k  
 (I.11) 

(
)
(
)
y
z
z
y
z
x
x
z
A B
A B
A B
A B






A B
i
j

(
) .
x
y
y
x
A B
A B


k  
(I.12) 

5. Компоненты вектора  
в криволинейных системах координат 

Полярные координаты: 

 

cos
sin ;

sin
cos ;

x
y

x
y

A
A
A

A
A
A






 


 
 


 
(I.13) 

 

cos
sin ;

sin
cos .

x

y

A
A
A

A
A
A








 



 


 
(I.13а) 

Сферические координаты: 

 

cos
sin cos
sin sin ;

sin
cos cos
cos sin ;

sin
cos ;

r
z
x
y

z
x
y

x
y

A
A
A
A

A
A
A
A

A
A
A






 

 



 
 

 



 
 


 
(I.14) 

sin cos
cos cos
sin ;

sin sin
cos sin
cos ;

cos
sin .

x
r

y
r

z
r

A
A
A
A

A
A
A
A

A
A
A











 

 




 

 



 


 
(I.14а) 

Пример I.1. Два вектора а и b имеют компоненты в произвольных 
единицах: 
3,2
x
а 
, 
3,6
y
а 
; 
0,50
x
b 
, 
4,5
y
b 
.  
Найти: 1) угол между векторами а и b; 2) компоненты вектора с, 
который лежит в плоскости xy, перпендикулярен вектору а и имеет 
абсолютное значение, равное 5,0 ед. 
Решение. 1. Зная компоненты векторов а и b, можно вычислить их 
скалярное произведение: 

3,2 0,50
3,6 4,5
17,6.
x x
y y
а b
а b






аb
+ 
 

С другой стороны, 

2
2
2
2
cos
cos .
x
y
x
y
ab
a
a
b
b

 



ab
 

Сравнив эти два выражения, получим 

2
2
2
2
cos
.
x x
y y

x
y
x
y

a b
a b

a
a
b
b


 



 

Подставив в эту формулу исходные данные, получим 

2
2
2
2
3,2 0,50
3,6
4,5
17,6
cos
0,81,
21,8
3,2
3,6
0,5
4,5




 





 

откуда   . 
2. По условию  

2
2
5,0.
x
y
c
c


 

С другой стороны, поскольку векторы а и с перпендикулярны, то  

0.
x x
y y
a c
a c



ac

Выразим из этого уравнения 
y
c : 

.
x x
y
y

a c
c
a
 
 

Тогда из первого условия получим 

2
2
2
2

5,0
5,0 3,6
18
3,73;
4,82
3,2
3,6

y
x
x
y

a
c
a
a









2
2
2
2
5,0
5,0 3,2
18
3,31.
4,82
3,2
3,6

x
y
x
y

a
c
a
a


 
 
 
 



 

 

II. Кинематика поступательного  
и криволинейного движения  
материальной точки 

Кинематика – это раздел механики, в котором описывается движение частиц, безотносительно к причинам, которые это движение вызвали. Основными параметрами, характеризующими движение частицы в кинематике, являются зависящие от времени: координаты 
частицы x(t), y(t), z(t), ее вектор скорости v(t) и ускорения a(t). 

1. Одномерное движение 

Основная задача кинематики одномерного движения формулируется следующим образом: по заданной зависимости от времени одной из 
величин – координаты x(t), скорости v(t) или ускорения a(t) – найти 
зависимость от времени двух других. Связь скорости и ускорения с x(t) 
определяется следующим образом: 

 
( )
;
dx
t
dt

v
 
(II.1)