О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ШТУРМОВСКИМИ КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.927.2
c
⃝À. Ë. Òåïòèí
О ЗНАКЕ ФУНКЦИИ ГРИНА КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ И ШТУРМОВСКИМИ
КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ
Приведены условия, при которых функция Грина краевой задачи с двумя краевыми условиями Штурма и n −2 периодическими сохраняет знак.
Ключевые слова: знак функции Грина.
Рассматривается краевая задача
Ly ≡y(n) +
k=0
pk(t)y(k) = 0,
(1)
n−1
X
liy ≡
j=1
cijy(n−j)(ai) = 0, ci1 = 1, i = 1, 2, a1 = a, a2 = b,
(2)
n
X
y(k)(a) = y(k)(b),
k = 0, n −3,
(3)
где pk(t), k = 0, n −1 непрерывны на [a, b] и ω -периодически продолжены на R при ω = b −a, причем pk(a + iω) = pk(a + 0), i = 0, ±1, ±2, . . . ,
k = 0, n −1, а p0(t) не меняет знак и p(t) = p0(t) + c1n −c2n ̸≡0 в [a, b].
Пусть m = [n/2] −1; T12  множество таких линейных дифференциальных операторов Q n -го порядка, что всякое нетривиальное решение
(в расширенном смысле) уравнения Qy = 0, удовлетворяющее любым r
из краевых условий (2), имеет на [a, b + mω] не более n −r −1 нулей с
учетом кратности, r = 1, 2; I  единичный оператор.
Согласно теореме 1 из [1] при L ∈T12 существует разложение
L =
³ d
dt −ai(t)I
´
Ln−1,i,
Ln−1,i =
³ d
dt −aij(t)I
´
Ln−2,
(4)
Ln−2 = dn−2
dtk ,
dtn−2 +
k=0
qk(t) dk
n−3
X
где ai(t) суммируемы, aij(t) абсолютно непрерывны, i, j = 1, 2,
i ̸= j,
qk(t), k = 0, n −3 обладают абсолютно непрерывными производными в
[a, b+mω], (Ln−1,1y)(a) = l1y, (Ln−1,2y)(b) = l2y при всех y(t) ∈Cn−1[a, b],