ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ ПРИ ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НА ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ПОЛУОСЬ

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.929
c
⃝Ï. Ã. Ñóðêîâ
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МЕТОДОВ
ПРИ ПРОДОЛЖЕНИИ РЕШЕНИЙ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ НА ОТРИЦАТЕЛЬНУЮ ПОЛУОСЬ 1
Для линейной системы с запаздыванием рассматривается задача продолжения
решения в сторону убывания времени.
Ключевые слова: линейные системы с запаздыванием, некорректные задачи,
асимптотические методы.
Задача продолжения решений дифференциальных уравнений с запаздыванием на отрицательную полуось является некорректной. Для е¼ решения используется метод регуляризации А. Н. Тихонова [1], позволяющий
свести рассматриваемую задачу к нахождению компонент x решений следующей системы дифференциальных уравнений:
(1)
x′′ = P −1(ϑ)
¡
Q(ϑ)x −P ′(ϑ)x′¢
+ α−1P −1(ϑ)
¡
ψ −z(ϑ)
¢
,
χ′ = A(ϑ)χ + B(ϑ)x,
ψ′ =
³
B−1(ϑ)
¡
B′(ϑ) −A(ϑ)B(ϑ)
¢´⊤
ψ −B⊤(ϑ)χ,
с краевыми условиями
x′(−r) = 0,
ψ(−r) + αB⊤(0)
¡
Gx(0) + P(0)x′(0)
¢
= z(−r),
ψ(0) = B⊤(0)χ(0),
x(0) = χ(−r).
(2)
Здесь функция z является решением задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
z(0) = B⊤(0)ϕ(0),
z′ =
³
B−1(ϑ)
¡
B′(ϑ) −A(ϑ)B(ϑ)
¢´⊤
z −B⊤(ϑ)ϕ(ϑ),
1Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 060100399), Программы поддержки фундаментальных исследований Президиума РАН 13 ¾Математические методы в нелинейной динамике¿ и Программы поддержки ведущих научных
школ России.