О структуре решения уравнения Гамильтона Якоби с кусочно-линейными входными данными

ВЕСТНИК
УДМУРТСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
МАТЕМАТИКА
2008. Вып. 2
УДК 517.95
c
⃝Í. Í. Ñóááîòèíà, Ë. Ã. Øàãàëîâà
О СТРУКТУРЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
ГАМИЛЬТОНАЯКОБИ С КУСОЧНОЛИНЕЙНЫМИ
ВХОДНЫМИ ДАННЫМИ 1
Рассматривается задача Коши для уравнения ГамильтонаЯкоби с гамильтонианом, зависящим только от импульсной переменной. Получены оценки для минимаксного (и/или вязкостного) решения этой задачи в случае кусочной линейности гамильтониана или краевой функции. Предлагаемые оценки дают явные
формулы для минимаксного решения, если входящие в них ¾минимаксы¿ и ¾максимины¿ совпадают.
Ключевые слова: уравнения ГамильтонаЯкоби, минимаксные решения, вязкостные решения, формулы Хопфа.
Рассматривается следующая задача Коши:
∂u(t, x)/∂t + H(∂u(t, x)/∂x) = 0,
t ∈(0, θ),
x ∈Rn,
(1)
u(θ, x) = σ(x),
x ∈Rn.
(2)
Предполагается, что θ  положительное число, σ(·) : Rn →R  непрерывная функция, а гамильтониан H(·) : Rn →R удовлетворяет условиям
|H(s1) −H(s2)| ⩽L∥s1 −s2∥,
∥s1∥⩽1,
∥s2∥⩽1
(3)
H(αs) = αH(s),
s ∈Rn,
α > 0.
(4)
Известно [1, 2], что минимаксное (и/или вязкостное [3]) решение этой
задачи существует и единственно. В некоторых случаях для минимаксного
решения известны явные формулы. Так, например, если какая-то из функций H(·) и σ(·) выпукла или вогнута, минимаксное решение задачи (1),
(2) можно представить с помощью формул ХопфаЛакса и Пшеничного
Сагайдак [4, 5, 6, 7]. Однако в общем случае выписать явные формулы для
решения не удается.
В работе [8] был предложен конечный алгоритм построения точного минимаксного решения задачи (1), (2) в случае, когда обе функции
1Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíò 050100609) è Ïðîãðàììû Ïðåçèäåíòà ÐÔ ¾Âåäóùèå íàó÷íûå øêîëû¿ (ïðîåêò ÍØ8512.2006.1).