Высшая математика для экономистов

ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ серия основана в 1 996 г.



О.А. КАСТРИЦА





                ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ




4-е издание, стереотипное




Допущено
      Министерством образования Республики Беларусь в качестве учебного пособия для студентов учреждений высшего образования по экономическим специальностям




Э л е ктр о н н о 
znanium.com

Минск «Новое знание»

Москва «ИНФРА-М»

2015

УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73
      К28










   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

Рецензенты:
  кафедра экономико-математических методов управления Академии управления при Президенте Республики Беларусь (зав. кафедрой — кандидат физико-математических наук, доцент Б.В. Новыш);
  зав. отделом Института математики НАН Беларуси, член-корреспондент, доктор физико-математических наук, профессор В.В. Гороховик

      Кастрица, О.А.
К28 Высшая математика для экономистов : учеб. пособие / О.А. Кастрица. — 4-е изд., стер. — Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2015. — 491 с. : ил. — (Высшее образование: Бакалавриат).
             ISBN 978-985-475-450-5 (Новое знание).
             ISBN 978-5-16-010960-2 (ИНФРА-М, print).
             ISBN 978-5-16-102992-3 (ИНФРА-М, online).
          В полном объеме содержит теоретический материал, соответствующий программе дисциплины «Высшая математика» для экономических специальностей. Включенные в пособие примеры иллюстрируют экономический смысл математических понятий и технику использования математического аппарата при решении практических задач. Большое число упражнений, снабженных ответами, позволяет использовать данное пособие при самостоятельном изучении математики.
          Для студентов и преподавателей экономических специальностей высших учебных заведений. Может быть полезно учащимся средних специальных учебных заведений.
УДК 51(075.8)
ББК 22.1я73











ISBN 978-985-475-450-5 (Новое знание)
ISBN 978-5-16-010960-2 (ИНФРА-М, print)
ISBN 978-5-16-102992-3 (ИНФРА-М, online)

© Кастрица О.А., 2005
© ООО «Новое знание», 2005

Предисёовие



   Предлагаемое учебное пособие написано на основе опыта преподавания высшей математики на факультете менеджмента Академии управления при Президенте Республики Беларусь. Содержание пособия соответствует программе дисциплины «Высшая математика», изучаемой на факультетах и отделениях университетов и колледжей экономического направления.
   Программа предусматривает изучение многих разделов математики, включая элементы аналитической геометрии, линейной алгебры, дифференциального и интегрального исчисления, теории рядов, и знакомство с обыкновенными дифференциальными уравнениями. Такая широта спектра изучаемых математических разделов обусловлена следующим. Во-первых, студенты получают математическую базу, необходимую для изучения специальных дисциплин, выполнения курсовых и выпускных работ и проведения самостоятельных исследований. Во-вторых, математические знания являются составной частью всего комплекса знаний, формирующих специалиста с высшим образованием экономического профиля, и должны гарантировать ему принятие грамотных и обоснованных решений в его работе.
   Сравнительно небольшое количество учебного времени, предусмотренного учебным планом на изучение дисциплины «Высшая математика», обусловливает краткое, насыщенное изложение учебного материала. Этот принцип использовался и при составлении настоящего пособия. Подробные выводы и доказательства теорем во многих случаях не приводятся. Вместо этого используются наводящие рассуждения, результатом которых является формулировка некоторого утверждения (теоремы, формулы и т.п.). Полученные результаты сопровождаются комментариями и иллюстрируются примерами, облегчающими восприятие нового материала. Используемые примеры можно подразделить на два типа. Примеры первого типа поясняют математические понятия и утверждения, а также показывают, как решаются математические задачи из данного раздела. Примеры второго типа — это примеры применения математического аппарата при изучении различных ситуаций, возникающих в реальной жизни — в экономике, торговле, производстве, управлении и т.п.
   Пособие состоит из 10 глав, включающих в совокупности 37 параграфов. Содержание параграфа, как правило, соответ-

Предисёовие

ствует одной лекции. В конце каждого параграфа имеется серия упражнений (заданий), предназначенных для самостоятельной отработки соответствующей темы. Этих упражнений достаточно для проведения практических занятий по данной теме. В конце пособия имеются ответы и указания по выполнению заданий.
   Содержание книги и изложение материала ориентированы на известные учебники по математике, основные из которых приведены в списке литературы. Как правило, прямых ссылок на литературу не делалось.
   Пособие адресовано студентам экономических специальностей университетов и колледжей как очных факультетов и отделений, так и заочных или изучающим высшую математику в системе дистанционного обучения. Оно может быть использовано и преподавателями при проведении практических занятий по высшей математике. Приведенный в конце книги список математических понятий и терминов позволяет использовать пособие как краткий справочник.
   Автор искренне благодарен профессору В.В. Гороховику и доценту Б.В. Новышу за ценные и принципиальные замечания, способствовавшие улучшению содержания этой книги.


О. Кастрица

O^OBhibie oбoз^aчe^ия


N — множество натуральных чисел.
Z — множество целых чисел.
R — множество действительных чисел.
Q — множество рациональных чисел.
C — множество комплексных чисел.
Re z — действительная часть комплексного числа z.
Im z — мнимая часть комплексного числа z.
arg z — главное значение аргумента комплексного числа z.
Arg z — множество всех значений аргумента числа z.
0 — пустое множество.
A = {a, b,c,..., s} — множество, состоящее из элементов a, b, c, ..., s.
A = {x|P} — множество A состоит из элементов x, удовлетворяющих условию P.
a e A — элемент a принадлежит множеству A.
a e A — элемент a не принадлежит множеству A.
A c B — множество A является подмножеством множества B.
A и B — объединение множеств A и B.
A n B — пересечение множеств A и B.
A\B — разность множеств A и B (множество элементов из A, не входящих в B).
n! — факториал n, n! = 1-2 ■ ■ • n.
Cn — число сочетаний из n элементов по k, Cn =-n! .
ⁿ                                    ⁿ k !(n - k)!
pp
Уaₖ — конечная сумма, уaₖ = am + am₊₁ +... + aₚ.
k = m                k = m
^                               ^        n
Vaₖ — ряд, сумма ряда с членами aₖ, Уaₖ = lim У aₖ.
                                      n ^<^^^
k=1                             k=1  ⁿ ^ k=1
A = [aij ] — матрица A с элементами aij.
det A — определитель матрицы A.
A T — транспонированная матрица A.
A⁻¹ — обратная для A матрица.
[A|b] — расширенная матрица линейной системы.
rank A — ранг матрицы A.

О^овные oбoз^aчe^ия

(a, b) — скалярное произведение векторов a и b.
[a, b] — векторное произведение векторов a и b.
a || b — коллинеарность векторов a и b.
aLb — ортогональность векторов a и b.
VxP(x) — для любого x выполняется Px).
3xP(x) — существует x, для которого выполняется P(x).
$ — не существует.
P ^ Q — из P следует Q.
P ^ Q — P и Q равносильны.
(an) — последовательность с n-м членом an.
lim aₙ — предел последовательности (aₙ ).
n ^^
an ^ a — последовательность (an) сходится к a.
lim f(x) — предел f(x) в точке a. x ^ a
f(a + 0) — предел f(x) в точке a справа.
f (a - 0) — предел f (x) в точке a слева.
f'(x) — производная функции f в точке x.
f⁽ⁿ⁾(x)— производная порядка n.
f+ (x) — производная функции f в точке x справа.
f-(x) — производная функции f в точке x слева.
f(x) ~ g(x) — эквивалентность f(x) и g(x).
Eₓ(y)— эластичность y по x.
у max — максимум значения функции y = f (x).
у min — минимум значения функции у = f (x).
sup y — наименьшая верхняя граница множества значений функции у = f(x).
infy — наибольшая нижняя граница множества значений функции у = f(x).
1(x) — функция единичного скачка Хевисайда.


* — начало доказательства.
) — конец доказательства.
^>. — необходимость.
^. — достаточность.

ГЁАВА I. ЧИСЁА И МНОЖЕСТВА



§ 1. Мужества и отображемя

10. Мужества
   Дать определение понятия множество можно лишь используя какой-либо синоним этого слова, такой как «совокупность», «семейство» и т.п. Множество в математике относят к первичным, изначально ясным, неопределяемым понятиям. Говоря, например, о множестве решений уравнения или о множестве студентов в аудитории, отдают себе отчет, о чем идет речь.
   Множества, как правило, обозначают большими буквами: A, C, X, ... . Множество состоит из элементов. Запись aе X означает, что a является элементом множества X (читают: «a принадлежит X»). Соответственно b i X означает, что b не принадлежит X. Два множества A и B равны, A = B, если они состоят из одних и тех же элементов.
   Символом 0 обозначают пустое множество, т.е. такое множество, в котором нет ни одного элемента.
   Задать множество можно, перечислив все его элементы:
A = {а 1, a 2,..., aₖ}.
Другим способом задания множества является указание условия P, которому удовлетворяет любой элемент данного множества и только элементы этого множества:
A = |x| P}.

   Пример 1. Пусть A = {x |x² - x = 0}, B = {0,1}. Можно записать A = B.

   Объединением множеств A и B называют множество A и B, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств A или B:

A иB = {x |x е A или x е B}.

Глава I. Чисёа и мужества

   Пересечение множеств A и B — это множество
A пB = {x |x е A и x е B},
т.е. A пB состоит из элементов, принадлежащих и A, и B. Запись A\B обозначает разность множеств,
A \ B = {x | x е A и x g B}.
   Разность A\B содержит все элементы множества A, которые не принадлежат B.
   Если любой элемент из B принадлежит также A, то говорят, что B есть подмножество множества A и записывают B с A.

   Пример 2. Пусть
A = {a, b, c, u}, B = {c, u, v, w}, C = {a, b, u}.
Тогда
A и B = {a, b, c, u, v, w}, A п B = {c, u}, A \ B = {a, b},
    B \ A = {v, w}, B \ C = {c, v, w}, C с A, c е A, {c} с A.
Здесь запись c е A означает, что c является элементом множества A, а запись {c} с A означает, что множество {c}, состоящее из одного элемента с, является подмножеством множества A.


20. Симвоёы
   Изучение и применение математики немыслимо без использования специальных символов. С помощью символов формулировки определений и утверждений, выкладки и доказательства можно сделать компактными и краткими. Многие математические символы известны из средней школы, например символы арифметических операций. По мере надобности будем вводить новые символы.
   В формальной записи утверждений (определений, теорем и т.п.) часто используют следующие символы:
   V — означает «любой», «для любого». Запись VxP читают так: «Для любого x выполняется P»;
   3 — означает «существует», «найдется». Запись 3xP читают: «Существует x, для которого выполняется условие P»;
   ^ — называют символом следования. Запись P ^Q читают: «Из утверждения P следует утверждение Q»;

§ 1. Мужества и отображемя

9

   « — означает равносильность. P«Q означает: «утверждение P выполняется тогда и только тогда, когда выполняется утверждение Q».

   Пример 3. Пусть A — множество предприятий, выполняющих план не менее чем на 90 %; B — множество предприятий, выполняющих план на 100 %. Запись V x е B, x е A означает: любое предприятие, выполнившее план на 100 %, выполнило его не менее чем на 90 %. Высказывание «Не все предприятия, выполнившие план не менее чем на 90 %, выполнили его полностью» можно записать в виде формулы: 3x е A, x g B.

   В нашем курсе часто используется построение утверждения, противоположного некоторому заданному утверждению. В таких случаях бывает удобным применять следующее правило.
   Правило Де Моргана. Пусть формальная запись высказывания P содержит символы V и 3 (в любом порядке и количестве) и заключение Q. Для формулировки высказывания «не P», противоположного высказыванию P, нужно заменить каждый символ V на 3, символ 3 на V и Q на «не Q».

   Пример 4. Предприятие имеет n цехов, Aᵢ — множество станков в i-м цехе; C — множество станков, требующих ремонта. Запись Vi е{1, ..., n} 3x е Aₜ, x еC означает: в любом цехе есть хотя бы один станок, нуждающийся в ремонте. Отрицание этого утверждения, построенное по правилу Де Моргана, записывают так: 3i е{1, ..., n} Vx е Ai, x gC. Это означает, что существует цех, в котором все станки исправные.

30. Отображемя
   Пусть заданы два множества Х и Y. Говорят, что на множестве Х определено отображение f со значениями в Y, если определен закон f, по которому каждому элементу х е Х ставится в соответствие один и только один элемент у е Y. Это соответствие, т.е. отображение х ^ у, обозначают
f: Х ^ Y,    f: x ^ у.
   Множество Х называют множеством задания отображения f, элемент у называют образом элемента х или значением f на х

Глава I. Чисёа и мужества

и обозначают y = f(x). В свою очередь, элемент x называют прообразом элемента y. Элемент y может иметь не один прообраз. Множество всех прообразов элемента y называют его полным прообразом.
   Если A с X, то множество

f(A) = {y|y = f(x), xe A}

называют образом множества A при отображении f, т.е. f(A) есть множество всех образов f (x), x e A.

   Пример 5. Пусть Y — множество мест в аудитории, X — множество студентов, присутствующих на лекции. На каждой лекции устанавливается отображение f: X ^ Y. (Заметим, что на разных лекциях отображения могут быть разными.)

   Пример 6. Пусть A — множество заводов, выпускающих тракторы; B — множество тракторов, выпущенных этими заводами в текущем году; C — множество предприятий, на которые эти тракторы поступили. Тогда могут быть установлены отображения f: B ^ A и g: B ^C (опишите эти отображения самостоятельно).

   Отображение f: Х ^ Y называют инъективным (инъекцией), если разные элементы из X имеют разные образы, т.е.

Xi * x2 ^ f(Xi) * f(x2).

   Это равносильно тому, что

f ( Х1) = f ( X2) ^ X1 = X2,

т.е. разные элементы из множества Y имеют разные прообразы, или каждый элемент из множества Y имеет не более одного прообраза в множестве X.
   Отображение f называют сюръективным (сюръекцией), если любой элемент из Y имеет хотя бы один прообраз. Это означает, что f(X) = Y.
   Отображение f называют биективным (биекцией), если оно инъективно и сюръективно. Это означает, что каждый элемент из множества Y имеет прообраз, причем единственный. Биективное отображение f: Х ^ Y называют также взаимно однозначным соответствием между множествами Х и Y.